经历数学建模过程，体会消元转化思想

滕敏

摘  要：根据前测结果，将“二元一次方程和方程组的概念及其解的概念、解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法”这部分难度不大的内容整合在一课时教学，利用“将一根绳子剪成两段”的情境串联的多个问题，引导学生完整经历从实际问题中逐步产生二元一次方程，再通过解二元一次方程组解决实际问题的数学建模过程，明晰方程（组）概念，并重点体会代入法和加减法背后的消元转化思想，感悟解法本质。

关键词：初中数学；学情前测；二元一次方程组

本文系江苏省南京市教育科学“十三五”规划课题“基于学习分析下优化初中数学课堂教学设计的实践研究”（编号：L/2018/179）的阶段性研究成果。

一、学情前测：“次”的认识有偏差，解法运用凭感觉

苏科版初中数学七年级下册第10章《二元一次方程组》前3节的内容主要包括二元一次方程和方程组的概念及其解的概念、解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法。以往的教学经验表明，这部分内容比较简单：学生迁移运用一元一次方程的学习经验，学得比较轻松。对于这样难点不显的内容，教师特别需要运用前测手段充分了解学情，让教学更有针对性。因此，笔者设计了如下前测题：

1.已知下列方程：（1）2x-3y=5；

（2）xy=3；

（3）x+3y=1；

（4）3x-y+2z=0；

（5）x2+y=6。其中是二元一次方程的有（  ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.已知下列各组取值：（1）x=2，

y=2；

（2）x=2，

y=1；

（3）x=2，

y=-2；

（4）x=1，

y=6。其中是方程4x+y=10的解的有（  ）

A.1组

B.2组

C.3组

D.4组

3.下列方程组中，属于二元一次方程组的是（  ）

A.xy=1，

x+y=2

B.5x-2y=3，

1x+y=3

C.2x+z=0，

3x-y=15

D.x=5，

x2+y3=7

4.二元一次方程组x+y=2，

2x-y=4的解是（  ）

A.x=0，

y=2

B.x=2，

y=0

C.x=3，

y=-1

D.x=1，

y=1

5.用适当的方法解下列方程组：

（1）y=2x-5，

x+3y=-1；

（2）8x+6y=15，

4x-6y=21。

前4题分别考查学生对二元一次方程和方程组的概念及其解的概念的掌握情况，第5题主要考查学生对二元一次方程组解法的掌握情况。

将前测题发布在“智慧课堂”网络平台上，学生答题之后，平台统计得到5题解答的平均用时分别为25秒、18秒、10秒、10秒、43秒，正确率分别为36%、97%、42%、94%、62%。其中，第5题两位学生的具体解答情况分别如图1、图2所示。

由前4题的正确率可以看出，学生对二元一次方程和方程组的解的概念掌握得较好，而对二元一次方程和方程组的概念有些不清楚。分析具体作答情况可以发现，学生的主要问题是对形如xy=a（a为常数）的方程认识有偏差，其根本原因是对“次”的认识有偏差。由第5题的正确率及具

体解答情况可以看出，学生对二元一次方程组的解法掌握得差强人意：大部分学生能够通过代入或加减的方法，消去一个未知数，解出另一个未知数，进而通过代回，解出之前被消去的未知数；但更多的是凭借经验和感觉使用方法，而没有认识到方法背后消元转化（将不熟悉的二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程）的思想，并因此更容易想到代入法，不容易想到加減法，即方法的使用缺少一点灵活性和优化意识。

二、教学设计：明晰方程（组）概念，感悟解法本质

根据前测结果，笔者认为，可以将这部分难度不大的内容整合在一课时教学，引导学生完整经历从实际问题中逐步产生二元一次方程，再通过解二元一次方程组解决实际问题的数学建模过程，明晰方程（组）概念，并重点体会代入法和加减法背后的消元转化思想，感悟解法本质。于是，笔者设计了一组情境串联的多个问题：

把一根12米长的绳子剪成两段。

（1）两段绳子分别有多长？

（2）如果两段绳长都为正整数，则两段绳长分别为多少？

（3）如果一段绳长是另一段绳长的2倍，则两段绳长分别为多少？

（4）如果两段绳长相差3米，则两段绳长分别为多少？

教学中，通过问题1引导学生得到一个数量关系，形成一个二元一次方程；然后再现前测题1，帮助学生克服对形如xy=a（a为常数）的方程的认识偏差，深刻理解“次”的含义，从而正确得出二元一次方程的概念。

通过问题2帮助学生强化方程解的概念，同时引导学生认识到：一般来说，一个二元一次方程的解有无数个，但在实际问题中，受到现实情况的制约，解可能只有有限个。

通过问题3引导学生增加一个数量关系，形成两个二元一次方程，顺势介绍二元一次方程组的概念；然后再现前测题3，引导学生在理解概念的基础上寻找出错原因；进而，引出二元一次方程组的解法，强调代入和加减只是方法（手段），消元和转化才是背后的思想（目的），引导学生体会到方法表象的灵活性和思想本质的统领性。

问题4是问题3的变式——第二个方程从倍比关系变成相差关系。通过此题，学生能够进一步感受到：使用代入法解二元一次方程组有时需要变形，而且比较灵活（代入任意一元都可以）；使用加减法有时更为便捷，而且比较灵活（相加、相减都可以），同时需要关注符号的问题。

课尾，笔者根据本课的知识点，结合前测题的完成情况，设计了一组练习题，帮助学生巩固本课所学，同时也作为后测题，检测学生的学习效果。练习（检测）结果表明，学生学习效果良好。例如，“方程2x-3y=5，xy=3，x+3y=1，3x-y+2z=0，x2+y=6中，是二元一次方程的有（  ）

A.1个；B.2个；C.3个；D.4个”一题的正确率为100%，表明学生对二元一次方程的概念，特别是形如xy=a的方程是不是二元一次方程掌握良好。“若x=-1，

y=4是二元一次方程3x+ay=5的一组解，则a=    ”一题的正确率接近100%，

表明学生对方程组解的概念理解深刻——能够逆用。两道解二元一次方程组的题目正确率都接近100%（个别做错的学生都是因为计算出错）；具体解答中，有学生采用代入消元法，有学生采用加减消元法，有学生消去x，有学生消去y。这表明学生对二元一次方程组的解法掌握良好，能够在消元转化思想的引领下灵活选用方法。