“构造辅助圆”在初中数学解题中的灵活运用

王雪

摘要：在数学解题过程中，常规的解题思路并不能应对一些比较复杂的几何问题，这时候就需要转换思路，有时利用“圆”，就可以有效解答一类问题.借助“辅助圆”将几何问题中分散的条件集中，有助于发现题目中的隐含条件，从而起到化繁为简的作用.本文中通过实例分析，帮助学生明确辅助圆的应用环境，以及针对不同题型如何构造辅助圆.

关键词：辅助圆；初中数学；几何问题

“构造辅助圆”是指在原有的几何图形上，构建一个辅助圆，利用圆的特性来完成题目的解答.通过辅助圆的构造，能够将几何题目中较为繁杂的已知条件进行集中处理，同时能够发现几何图形中的隐藏条件，利用对这部分条件的分析，快速解决问题.本文中结合实例，帮助学生明确辅助圆的应用环境，以及针对不同题型如何构造辅助圆.

1 “构造辅助圆”解决数学问题的应用现状

目前初中生在解题的过程中，较少应用辅助圆，且应用效果不理想.在几何题的解答过程中，辅助线的应用是比较常见的，但是有部分题目通过辅助线来解答依旧存在难度，甚至需要多条辅助线才能完成，如果学生用这种方法应对选择题和填空题，就会浪费大量的时间.而应用辅助圆则可以为相关问题披上圆的外衣，这样就可以依据圆的性质进行解题，从根本上起到化繁为简的作用^［1］.

2 “构造辅助圆”解决数学问题的实际案例

2.1 辅助圆在求线段长度的几何问题中的应用

在解决求线段长度的几何问题中，通常是利用相同端点的线段构造辅助圆，以端点作为圆心，选取相等的线段作为半径或直径，完成辅助圆的构建后再利用圆的基本性质求解线段长度^［2］.

例1 在四邊形DCBE中，点A在BE上，AE∥CD，AB=AC=AD=AE=5 cm，且BC=19 cm，求对角线BD的长度.

解析：由AE∥CD，得∠BDC=∠DBE.

由AB=AC=AD=AE，将点D，C，B，E视为圆上的点构建辅助圆，如图1.于是弦DE与弦BC的长度相等.

2.2 辅助圆在求度数的几何问题中的应用

在解决求度数的几何问题中，通常可以将公共点作为顶点，作三角形的外接圆.在构建辅助圆的过程中要将三角形与辅助圆建立明确的关系.

例2 如图2所示，△ABC为等腰三角形，且AB=AC，直线AP为△ABC外侧直线，点B与点D关于AP轴对称.

求证：∠1=∠2.

证明：∵点B，D关于直线AP对称，

∴直线AP为线段BD的垂直平分线.

∴△ADB为等腰三角形.

∴AD=AB=AC.

故可以AC为半径，点A为圆心，构建如图3所示的辅助圆.

∵P为BD中点，且AP为过点E的直线，

∴△DEB为等腰三角形.

∴DE=BE.

∴∠EDB=∠EBD.

∴∠2=2∠EDB.

又∠1=2∠CDB（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），

∴∠1=∠2.

2.3 辅助圆在求图形面积问题中的应用

在数学中考题中，涉及面积的题型也很多，当题目条件较多且分散的几何图形很难运用面积公式时，可以尝试构建辅助圆，利用圆的基本性质以及圆的面积公式进行计算^［3］.

例3 如图4，△ABC为等边三角形，且AB=AD，AH⊥CD于点H，且PC⊥BC，CP与AH交于点P，求证：S_△ABC=34AP·BD.

解析：依题意可知AB=AC=BC=AD，构建以点A为圆心，AB为半径的圆，得到如图5所示的辅助圆.

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°.

∴∠BDC=12∠BAC=30°.

又∠BCP=90°，∠BCA=60°，

∴∠PCA=∠CDB=30°.

∵∠CBD=12∠CAD=∠PAC，

∴△BCD∽△APC.

∴BC∶AP=BD∶AC.

又BC=AC，

∴BC²=AP×BD.

∴S_△ABC=34AP·BD.

2.4 辅助圆在求线段比或面积比问题中的应用

图形中的某两条线段成比例或图形面积成比例这类题型是中考的难点和重点.利用辅助圆则可以结合圆的性质，通过圆中的线与角的关系进行求解.构建辅助圆时，要将有关线段置于辅助圆的关键位置，例如，可作为直径、半径或弧所对的弦.这样容易发现线段之间的关系，从而更加简便地进行解答^［4］.

例4 在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P是CB延长线上的一点，BP∶BC=k，已知0≤k≤1，过点B作AB的垂线，过点P作AP的垂线，使两条垂线相交于点Q，且AP=PQ，连接AQ，求△ABC与△APQ的面积比.

分析：根据已知条件分析，△APQ的面积较难求解，所以可以根据△APQ来构建辅助圆.

解析：以AQ为直径，AQ的中点O为圆心，

构建如图6所示的辅助圆.

2.5 辅助圆在求线段极值问题中的应用

辅助圆在求线段极值问题中有着广泛的应用，特别是在数学竞赛中经常遇到.

例5 在边长为4的正方形ABCD中，P为对角线BD上的一个动点，且与点B，D不重合，连接AP，过B作AP的垂线，垂足为H，连接DH，求线段DH的最小值.

分析：由于无论点P如何运动，AB的长度都不会改变，因此可以AB为直径，AB的中点E为圆心构建辅助圆，通过圆确定点H的运动轨迹.

解析：取AB中点E，连接DE，构建如图7所示的几何图形，可得

当点H与点M重合时，线段DH的长度最短，此时DH=DM=DE-ME=25-2.

综上所述，“构造辅助圆”在初中数学解题中的广泛应用，不仅包含大量的几何问题，而且部分代数问题中也可使用.构建辅助圆时，要结合题目的具体情况，根据四点共圆的条件确定辅助圆.通过辅助圆在不同类型几何问题中的应用，明确构建辅助圆在初中数学解题中的可行性与实用性，通过辅助圆的灵活应用，提升学生的实际解题能力.

参考文献：

［1］刘怀权.“构造辅助圆”在初中数学解题中的应用［J］.数理天地（初中版），2022（12）：21-22.

［2］蒋天林.从江苏高考试题谈辅助圆在解题中的运用［J］.中学生数理化（高考使用），2020（5）：11-12.

［3］黄磊.“圆”来如此简单——“辅助圆”构造的解题探究［J］.数理化解题研究，2021（14）：10-11.

［4］徐勤.辅助圆在中考数学试题中的应用［J］.科学大众：科学中考，2022（4）：13-15.