椭圆曲线y2=7qx(x2-2)的正整数点

杜先存,赵正仙,邢怡然

(红河学院 教师教育学院,云南 蒙自 661199)

椭圆曲线的整数点是数论中很重要的问题,关于椭圆曲线y=mx(x2-22n-1),m,n∈Z+的整数点问题已有多篇文献报道[1-11],而对于椭圆曲线y2=7qx(x2-2)的整数点问题,目前还没有相关结论,本文主要讨论该椭圆曲线的整数点情况。

1 重要引理

引理1[12]a,b∈Z+,则方程ax4-by2=1至多有2组正整数解。

2 相关定理

y2=7qx(x2-2)

(1)

除整数点(x,y)=(0,0)外至多有2个正整数点。

3 定理证明

7qz2=x(x2-2)

(2)

因为gcd(x,x2-2)=1或2,故(2)式可分解为以下4种情况:

情形Ⅰx=ma2,x2-2=7nb2,z=ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b,m,n∈Z+

情形Ⅱx=2ma2,x2-2=14nb2,z=2ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b,m,n∈Z+

情形Ⅲx=7ma2,x2-2=nb2,z=ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b,m,n∈Z+

情形Ⅳx=14ma2,x2-2=2nb2,z=2ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b,m,n∈Z+

下面分别讨论下面四种情形下(3)的正整数点的情况。

3.1 情形Ⅰ的讨论

当n≠1时,若n含有素因子p,则x2-2=7nb2两边同时取模p,得

x2≡2(modp)

(3)

若n含有素因子qj(j=1,2,…,n),则x2-2=7nb2两边同时取模qj,得

x2≡2(modqj)

(4)

综上有n≠1时情形Ⅰ不成立,即椭圆曲线(1)无正整数点。

当n=1时,x=ma2,x2-2=7nb2为x=qa2,x2-2=7b2。将x=qa2代入x2-2=7b2,化简得q2a4-7b2=2,两边同时取模p,得

-7b2≡2(modp)

(5)

综上有n=1时情形Ⅰ不成立,即椭圆曲线(1)无正整数点。

3.2 情形Ⅱ的讨论

当n≠1时,若n含有素因子p,则x2-2=14nb2两边同时取模p,得

x2≡2(modp)

(3)

若n含有素因子qj(j=1,2,…,n),则x2-2=14nb2两边同时取模qj,得

x2≡2(modqj)

(4)

综上有n≠1时情形Ⅱ不成立,即椭圆曲线(1)无正整数点。

当n=1时,x=2ma2,x2-2=14nb2为x=2qa2,x2-2=14b2。将x=2qa2代入x2-2=14b2,化简得

2q2a4-7b2=1

(6)

由引理1知方程(6)至多有2个正整数解,则此时椭圆曲线(1)至多有2个正整数点。

3.3 情形Ⅲ的讨论

当n≠1时,若n含有素因子p,则x2-2=nb2两边同时取模p,得

x2≡2(modp)

(3)

若n含有素因子qj(j=1,2,…,n),则x2-2=nb2两边同时取模qj,得

x2≡2(modqj)

(4)

综上有n≠1时情形Ⅲ不成立,即椭圆曲线(1)无正整数点。

3.4 情形Ⅳ的讨论

当n≠1时,若n含有素因子p,则x2-2=2nb2两边同时取模p,得

x2≡2(modp)

(3)

若n含有素因子qj(j=1,2,…,n),则x2-2=2nb2两边同时取模qj,得

x2≡2(modqj)

(4)

综上有n≠1时情形Ⅳ不成立,即椭圆曲线(1)无正整数点。

当n=1时,x=14ma2,x2-2=2nb2为x=14qa2,x2-2=2b2。将x=14qa2代入x2-2=2b2,化简得

98q2a4-b2=1

(8)

由引理1知方程(8)至多有2个正整数解,则此时椭圆曲线(1)至多有2个正整数点。

综上所述,定理成立。