基于UG NX 的数学方程基本曲线研究及应用

陆龙福

（黄冈职业技术学院 智能制造学院，湖北 黄冈 438002）

CAD 软件广泛应用于各行各业的工业设计尤其是机械产品的模型设计中，任何三维模型设计都离不开曲线图形设计。目前，有关CAD 数学曲线方程的介绍和研究比较多，但仅仅局限于给定现有的公式和参数，没有更好地把数学方程和CAD 软件曲线方程加以关联研究，当需要建立类似正弦/余弦曲线、齿轮曲线、双曲线、抛物线等呈现规律的曲线模型时，往往苦于对现有数学方程在UG NX（Unigraphics NX）应用中研究不够，显得力不从心，很难快速设计出随心所欲的曲线模型。通过深度剖析数学方程和UG NX基本曲线方程函数含义[1]，找出参数间的内在联系，研究出所需的规律曲线模型设计，是每位CAD 模型设计师的共同追求。

1 基本曲线方程在UG NX 中的定义

1.1 变量值的定义

在UG NX 中常用字母t 定义为变量值，其变化范围为0～1 之间。也可以用其他字母定义为变量值[2]。经研究发现，当一个模型文件有两个或者两个以上的方程时，定义的变量值不能使用同一字母，例如一个模型文件里需要同时建立正弦曲线和抛物线，如果正弦曲线变量值定义为t，那么抛物线变量值只能定义为其它的u/v 等字母。

变量值的定义方法为：执行UG NX 中的“工具”→“表达式”，在弹出如图1 所示的表达式对话框中，“名称”输入t，转公式输入1→“应用/确定”，变量值即定义完成。

图1 表达式定义对话框

1.2 极坐标、球坐标与直角坐标转换

（1）极坐标与直角坐标系(x,y,z)的转换关系

一般地，x 变量→定义余弦函数或其它变量值；y 变量→定义正弦函数或其它变量值；z 变量→定于常数或其它函数，即：x=A*cos(w*θ*t+a)，y=A*sin(w*θ*t+a)，z=0。式中，A--幅值/半径值，w--角频（个数），θ--角度（0°≤θ≤360°），a--初相位角。

（2）球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系

x=A*sin(θ)*cos(φ)，y=A*sin(θ)sin(φ)，z=A*cos(θ)，式中，A--幅值/半径值，θ--角度（0°≤θ≤360°），φ--角度（0°≤φ≤360°）。

2 基本曲线方程转换

2.1 直线

数学方程：y-y0=tan(θ)*(x-x0)

如生成的直线通过点（10,20），长度L 为50mm，角度θ为60°，则UG NX 曲线表达式方程应为：t=1，xt=10+50*t *cos(60)，yt=20+50*t *sin(60)，zt=0（曲线位于X、Y 平面）。

通过UG NX 中的“工具”→“表达式”，在弹出表达式对话框中，依次键入直线表达式方程参数→“确定”。

执行UG NX 中的“曲线工具”→“规律曲线”，在弹出如图2 所示的规律曲线对话框中，“X 规律”、“Y 规律”、“Z 规律”中的规律类型均选“根据方程”→“确定”生成曲线如图3 所示。

图2 规律曲线对话框

图3 曲线方程（直线）

2.2 圆、圆弧

数学方程：(x-x0)2+(y-y0)2=r2。

如生成圆、圆弧的圆心通过点（20,30），半径r为60mm，则UG NX 曲线表达式方程应为：t=1；xt=20+60*cos(360*t)；yt=30+60*sin(360*t)；zt=0（曲线位于X、Y 平面）。

在表达式对话框中，依次键入圆表达式方程参数→“确定”，执行UG NX 中的“曲线工具”→“规律曲线”，在弹出如图2 所示的规律曲线对话框中，“X规律”、“Y 规律”、“Z 规律”中的规律类型均选“根据方程”→“确定”生成曲线如图4 所示。

图4 曲线方程（圆）

规律研究：（1）曲线坐标点的位置通过对应点方程（x,y）+的形式建立；（2）变量t 与直线长度、圆弧弧长建立变量关系；（3）若方程角度改为180*t，则生成如图5 所示的半圆曲线；（4）若yt 与xt 半径r 不一致，则生成如图6 所示的椭圆曲线。

图5 曲线方程（圆弧）

图6 曲线方程（椭圆）

2.3 正弦曲线

数学方程：y=Asin(ωx+φ)+k。

如生成正弦曲线振幅为5mm，一个正弦周期值为20，起点为（0,0），则UG NX 曲线表达式方程应为：t=1；xt=20*t；yt=5*sin(360*t)；zt=0（曲线位于X、Y 平面）。

在表达式对话框中，依次键入正弦表达式方程参数[3]→“确定”，执行UG NX 中的“曲线工具”→“规律曲线”，在弹出如图2 所示的规律曲线对话框中，“X”规律、“Y”规律、“Z”规律中的规律类型均选“根据方程”→“确定”生成曲线如图7 所示，如把方程yt=5*sin(360*t)改为：yt=5*cos(360*t),则生成如图8 所示余弦曲线。

图7 曲线方程（正弦）

规律研究：在一个已知的圆曲线方程中，如果希望得到与通过圆平面垂直方向呈现正弦（或余弦）变化，这可以通过方程zt=A*sin(w*θ*t)即可实现，如果希望得到圆的半径方向呈现正弦（或余弦）变化，这可以通过方程r=A*sin(w*θ*t)即可实现[4]。

（1）如生成圆圆心通过点（0,0），半径r 为40mm，在Zt 方向振幅为5mm，振频个数12 的正弦曲线，则UG NX 曲线表达式方程应为[5]：t=1；xt=40*cos(360*t)；yt=40*sin(360*t)；zt=5*sin(12 *360*t)。

在表达式对话框中，依次键入表达式方程参数→“确定”，执行UG NX 中的 “规律曲线”命令，生成曲线如图9 所示。

图9 圆、Z 向正弦曲线组）

（2）如生成圆圆心通过点（0,0），半径r 为30mm，在半径方向振幅为2mm，振频个数24 的正弦曲线，则UG NX 曲线表达式方程应为：t=1；r=30+2*sin(24*360*t)；xt=r*cos(360*t)；yt=r*sin(360*t)；zt=0。

在表达式对话框中，依次键入表达式方程参数→“确定”，执行UG NX 中的 “规律曲线”命令，生成曲线如图10 所示。

图10 圆、径向正弦曲线组合

（3）圆柱螺旋曲线表达式规律

圆柱形螺旋线，其螺距p=6，圈数n=10，半径r=30，则UG NX 曲线表达式方程应为：t=0；xt=30*cos(360*t*10)；yt=30*sin(360*t*10)；zt=6*10*t。

在表达式对话框中，依次键入表达式方程参数→“确定”，执行UG NX 中的 “规律曲线”命令，生成曲线如图11 所示。

图11 曲线方程（螺旋线）

2.4 抛物线

数学方程：

若抛物线焦距p=6,顶点坐标为（15,25），抛物线开口y 值范围为-20～+20，则UG NX 曲线表达式方程应为：t=1；p=6(系数变量)；xt=15+(yt-25)2/(2*p)；yt=25+40*t-20；zt=0

在表达式对话框中，依次键入抛物线表达式方程参数→“确定”，执行UG NX 中的 “规律曲线”命令，生成曲线如图12 所示。

图12 曲线方程（抛物线）

2.5 齿轮展开线

（1）齿轮基本参数：模数:m，齿数:z，齿顶圆直径:da=m*(z+2)，分度圆直径:d=m*z，齿根圆直径:df=m*(z-2.5)，压力角: a=20，基圆直径:db=d*cos(a)。

（2）齿轮推算公式：齿顶高:ha=m，齿根高hf=1.25*m，齿槽宽=齿厚=齿距/2=m*π/2。

（3）数学方程：r=db/2；k=t*45（展开角度）；x=r*cos(k)+r*sin(k)* k*pi/180；y=r*sin(k)-r*cos(k)* k*pi/180。

若齿轮模数为4，齿数30，压力角20°，则UG NX齿轮展开线曲线方程[6]应为：t=0；m=4；z=30；a=20；k=45*t；da=m*(z+2)；d=m*z；df=m*(z-2.5)；db=d*cos(a)；r=db/2；xt=r*cos(k)+r* rad(k)*sin(k)；yt=r*sin(k)- r* rad(k)*cos(k)；zt=0。

在表达式对话框中，依次键入齿轮展开线表达式方程参数→“确定”，执行UG NX 中的 “规律曲线”命令，分别绘制齿顶圆、分度圆、基圆、齿根圆、以及渐开线镜像中心线，生成曲线如图13（a）所示，过齿轮展开线端点绘制相切直线，中心线分别镜像渐开线及相切线，得到齿廓线如图13（b）所示。

图13 曲线方程（齿轮展开线）

3 曲线方程三维建模应用案例

3.1 案例1：圆柱齿轮建模

已知一圆柱齿轮，齿轮模数为6，齿数32，压力角20°，齿厚为30mm，其UG NX 三维建模过程为[6]：

（1）打开记事本，建立如下表达式，保存为：齿轮展开线表达式.exp 文件：t=0；m=6；z=32；a=20；k=45*t；da=m*(z+2)；d=m*z；df=m*(z-2.5)；db=d*cos(a)；r=db/2；xt=r*cos(k)+r* rad(k)*sin(k)；yt=r*sin(k)- r* rad(k)*cos(k)；zt=0。

（2）执行UG NX 的“表达式”命令→在表达式对话框中，导入文件“齿轮展开线表达式.exp”齿轮展开线表达式方程参数导入结果如图14 所示→“确定”，执行UG NX 中的 “规律曲线”命令，分别绘制齿顶圆、分度圆、基圆、齿根圆、以及渐开线镜像中心线，创建齿轮廓曲线，创建过程如图13 所示。

图14 表达式导入对话框

（3）执行UG NX 的“拉伸”命令，在弹出如图15 所示的拉伸对话框中，分别选择齿根圆、齿顶到齿根的齿廓线进行对称拉伸，拉伸值设置15→“确定”，对齿根进行倒圆角，结果如图16（a）所示。

图15 拉伸对话框图

图16 齿轮建模图

（4）执行UG NX 的“阵列特征”命令，对拉伸对的齿廓曲线模型、倒圆角进行环形阵列，设置阵列数量32，阵列总角度360 →“确定”，结果如图16(b)所示。

3.2 案例2：波纹果盘建模

已知一异形波纹果盘，端部开口为34 个凹凸相间波纹状正六边形，边长58mm，高27mm，底部为椭圆形，长半轴36mm，短半轴28mm，其UG NX 三维建模过程为：

（1）建立凹凸相间波纹表达式：t=0；r=32+2*sin(34*360*t)；xt=r*cos(360*t)；yt=r*sin(360*t)；zt=0

（2）在表达式对话框中，依次键入表达式方程参数→“确定”，执行UG NX 中的 “规律曲线”命令，生成曲线如图17 所示的波纹曲线[5]。

图17 波纹曲线图

（3）新建草图1，在草图环境中分别绘制如图18 所示的圆、椭圆、正六边形以及变化扫掠辅助圆等截面曲线。

图18 变化扫掠截面曲线

（4）新建草图2，在草图环境中分别绘制如图19 所示的交点及“变化扫描”驱动曲线。

图19 变化扫掠驱动曲线

（5）执行UG NX 中的 “变化扫描”命令，弹出如图20 所示“变化扫掠”对话框，选择图19 创建驱动线，执行片体“加厚”指令，弹出如图21 所示的“加厚”对话框，生成波纹果盘模型，如图22 所示。

图20 变化扫掠对话框

图21 加厚对话框

图22 波纹果盘

3.3 案例3：鸡蛋托盘建模

（1）建立余弦曲线表达式：t=1；xt=10*t；yt=4*cos(8*360*t)；zt=0。

（2）在表达式对话框中，依次键入表达式方程参数→“确定”，执行UG NX 中的 “规律曲线”命令，生成曲线如图23 所示的余弦曲线，对曲线进行旋转、阵列得到如图24 所示网格余弦曲线。

图23 余弦曲线

图24 网格余弦曲线

（3）执行UG NX 中的 “通过网格曲线”命令，弹出如图25 所示“网格曲线”对话框，分别选择图24 所示一组对应边网格余弦曲线为“主线”，另一组对应边为“交叉线”→“确定”，鸡蛋托盘模型，如图26 所示。

图25 网格曲线对话框

图26 鸡蛋托盘模型

3.4 案例4：编织面建模

（1）第1 条水平方向曲面

①建立正弦曲线表达式：t=1：xt=4*8*4*t。

式中，第一个数值“4”指4 个周期，8*4*t 指一个周期内x 方向的长度。yt=0；zt=1.3*sin(4*360*t)。

②第2 条水平方向曲面：xt=4*8*4*t；yt1=8；zt1=1.3*sin(4*360*t-90)。

③第3 条水平方向曲面：xt=4*8*4*t；yt2=16；zt2=1.3*sin(4*360*t-180)。

④第4 条水平方向曲面：xt=4*8*4*t；yt3=24；zt3=1.3*sin(4*360*t-270)。

（2）在表达式对话框中，依次键入表达式方程参数(xt 方程只键入一次)→“确定”，分别执行UG NX中的 “规律曲线”命令，生成曲线如图27 所示的正弦弦曲线，分别对曲线进行拉伸→得到如图28 所示的水平编织曲面。

图27 正弦曲线1

图28 编织曲面1

（3）执行UG NX 中的 “阵列几何特征”命令，在弹出如图29 所示对话框中，分别选取图28 所示拉伸的四条曲面，“布局”类型→“线性”，“方向”→Y,“数量”→4，“间隔”→32，“输出”→复制特征，“确定”→结果如图30（a）所示。

图29 阵列几何特征

图30 阵列编织曲面

（4）按照下列步骤，分别执行UG NX 中的 “规律曲线”命令。

①第1 条数值方向曲面：规律曲线中，x 规律输入yt，y 规律输入xt，z 规律输入zt1；②第2 条数值方向曲面：规律曲线中，x 规律输入yt1，y 规律输入xt，z 规律输入zt2；③第3 条数值方向曲面：规律曲线中，x 规律输入yt2，y 规律输入xt，z 规律输入zt3；④第4 条数值方向曲面：规律曲线中，x 规律输入yt3，y 规律输入xt，z 规律输入zt1。

生成曲线如图31 所示的正弦弦曲线，分别对曲线进行拉伸→得到如图32 所示的竖直平编织曲面，执行UG NX 中的 “阵列几何特征”命令，参照步骤（3）→结果如图30（b）所示。

图31 正弦曲线2

图32 编织曲面2

4 小结

通过UG NX 建立数学方程表达式，可以快速创建各种规律曲线形状，当需要修改设计模型时，可方便地通过修改数学方程表达式的相关参数、改变其曲线形状或规律，重新调用曲线即可得到想要的设计模型。建立的数学方程表达式模型不仅呈现规律变化，而且为数值精确的参数化模型设计提供数据支撑保障。参数化方程建模是包括UG NX 在内的所有三维软件最重要的内容，通过全方位研究UG NX 数学方程曲线规律及造型案例，为UG NX 设计者提供了较完整的理论依据和技术保障。