RMI视角下高中数学教学的“四化”

姜卫东

关系映射反演法则（简称RMI法则）作为数学方法论中的一种重要法则＼，一般可以表述如下：给定一个目标原象x的关系结构S，如果能找到一个映射φ，将S映入或映满S*，则可从S*通过一定的数学方法把目标映象x*=φ（x）确定出来，进而通过反演φ－1又可以把x=φ－1（x*）确定出来，这样原来的问题就得到解决.利用RMI法则解决问题的过程可用框图1表示如下：

RMI法则不仅对数学科学的发展起过推动作用，而且对高中数学教学也有着指导意义.在平时的教学工作中，如能从RMI的视角来审视高中数学教学，定会优化解题教学、深化教材理解、强化大单元整体教学及催化创新思维等，在提高教学效益的同时，进一步提升学生的数学思维能力与学科核心素养.

1 RMI视角下，解题教学的优化

数学解题有各种不同的方法，所有这些方法，其实就是RMI法则在解题中的具体运用，只不过不同的方法对应的映射φ不同而已.特别是在处理一些难度较大的试题时，如能巧妙地利用RMI法则，有时能起到事半功倍的效果.

案例1-1求证：C0nCkm+C1nCk－1m+……+CknC0m=Ckn+m.

解析：本题是一个组合恒等式证明问题.设等式左边为ck，即证ck=Ckm+n.若采用RMI法则求解，可分以下五步完成.

步骤1：明确原象的关系结构S.若记ai=Cin，

bi=Cim，ci=Cim+n，则ck由

ck=∑ki=0aibk－i（k≤m，k≤n）确定，这就是S.

而要求解的问题x便是ck=？

步骤2：选择映射φ.可用母函数作为映射工具，即φ：ai→A（x）=∑ni=0aixi，bi→B（x）

=∑mi=0bixi，ci→C（x）=∑m+ni=0cixi.

步骤3：确定映象关系结构S*.由原象关系及多项式乘法规则，可得A（x）B（x）=∑m+nk=0（∑ki=0aibk－i）xk=∑m+nk=0ckxk=C（x），所以S*的关系结构是A（x）B（x）=C（x），而要求解的问题x对应的映象x*便是C（x）=？

步骤4：确定映象C（x）.根据二项式定理，可得C（x）=A（x）B（x）=（∑ni=0aixi）

（∑mi=0bixi）=（1+x）n＼5（1+x）m=（1+x）m+n.

步骤5：作反演φ－1.φ－1就是寻求（1+x）m+n展开式中xk前的系数ck，显然可得ck=Ckm+n.

由上可知，利用RMI法则解题的关键在于选择适当的映射工具φ及反演工具φ－1，将需求解问题x与其映象x*进行转换.因此，在后续的论述中，笔者将注重对φ及φ－1的分析，而不严格按照上面的五个步骤进行.

案例1-2〔2021年全国高中数学联赛（福建赛区）预赛题〕如图2，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为23，A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，B为椭圆的上顶点，F1为椭圆C的左焦點，且△A1F1B的面积为52.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点D（1，0）的动直线l交椭圆C于E，F两点（点E在x轴上方），M，N分别为直线A1E，A2F与y轴的交点，求|OM||ON|的值.

解析：（1）x29+y25=1.（2）这是一个动态情况下求定值（比值）的问题，可以先通过特殊位置（EF与x轴垂直）得到比值，然后再验证结论在一般情形下的正确性.整个解题过程的运算量不小，而且需要解题者具有非常强的目标意识！但是，如果通过RMI法则来解决，就能避开繁杂的计算，只需要利用平面几何的知识就能完成.

如图3，设映射φ：x=3x′，y=5y′，则椭圆C变换为单位圆O′：x′2+y′2=1，D′13，0，A1′（－1，0），A2′（1，0），直线l与⊙O′的交点变为E′，F′，直线A1′E′及A2′F′分别与y′轴交于点M′，N′.由于伸压变换保持比值不变，因此即求|O′M′||O′N′|的值.

连接A2′E′，A1′F′，则可根据Rt△A1′O′M′∽Rt△A1′E′A2′，得O′M′1=A2′E′A1′E′（记为①式），同理根据Rt△A2′O′N′∽Rt△A2′F′A1′，得O′N′1=A1′F′A2′F′（记为②式）.由①÷②得O′M′O′N′=A2′E′A1′F′·A2′F′A1′E′（记为③式）.又由△A1′D′F′∽△E′D′A2′，得A2′E′A1′F′=D′A2′D′F′=23D′F′（记为④式）.

同理，根据△A1′D′E′∽△F′D′A2′，得A2′F′A1′E′=D′F′A1′D′=3D′F′4（记为⑤式）.由④×⑤，可得A2′E′A1′F′·A2F′A1′E′=12，代入③式得|O′M′||O′N′|=12.从而|OM||ON|=12.

上述解法就是RMI法则的具体运用，它的解题过程可用框图4表示如下.

需要指出的是，在解决同一个问题时，选择不同的映射φ，就会出现不同的解法.因此，要得到问题的简解，应根据不同的问题背景，灵活选择φ.

2 RMI视角下，教材理解的深化

尽管在高中数学教材中并未明确地提及RMI法则，但是它的方法与内容一直以不同的水准被隐含在数学教材及教学活动中，教师只有经过分析观察，才能把它抽象出来，进而更加有效地组织教学.

案例2-1指数函数与对数函数.

在苏教版必修一教材中，对数函数的知识是安排在指数函数之后的，在学完指数函数的概念、图象及性质以后，如何组织对数函数的学习，实际上体现了教师对教材编写意图的理解.

笔者以为，教材将这两类函数放在一起学习，正是关注了它们之间的紧密联系，其本质就是RMI法则的体现！这里S可看成是对数函数的结构体系，是待研究的内容.引入映射φ：求反函数，在φ的作用下，对数函数就映射成指数函数，而指数函数的知识结构S*（图象及性质等）已经研究清楚了，所以只需根据φ－1：求反函数，反演回去，就可以得到对数函数的图象及性质等（即S）.当然，这里φ与φ－1也可以从形上来构造，那就是作关于y=x对称的图象，它们的关系可以用下面的框图5表示.

由上可知，指数函数与对数函数是彼此依存的统一体，了解这一点，对于课堂教学的组织以及知识的建构都大有裨益！

案例2-2数学建模.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出了数学学科六大核心素养以及贯穿高中数学课程的四条主线［2］，数学建模是其中之一，而且在每册教材中，都有数学建模的专题.毋庸讳言，在教学实践中，数学建模教学的开展并不尽如人意，其中的原因固然是多方面的，但教师自身的观念与数学建模能力是制约当下数学建模教学的关键因素.

而要提升教师的数学建模素养，建立关于数学建模的正确观念，就必须从RMI法则的视角来了解数学建模，这里S是指现实问题，φ就是通过化简、假设等方法进行抽象，S*就是抽象出来的数学模型，反演工具φ－1就是将数学模型的解进行解释或翻译，从而解决现实问题.

因此，数学建模不是有些人所认为的就是解应用题，它远比解应用题复杂得多.究其本质而言，数学建模实际上就是RMI法则中一种重要的类型——概念映射法（抽象分析法），它的过程可用框图6表示如下：

3 RMI视角下，大单元整体教学的强化

在新课改的大背景下，高中数学教学的根本任务是培养学生的数学思维能力与学科核心素养.因此，在平时的教学中，必须着眼于帮助学生建立起完整的、系统化的知识体系，促进学生对数学知识的整体化认知，避免所学知识碎片化与零散化.所以，教师需在仔细分析新课标、新教材、教学重难点及教学方法等教学要素的基础上，深刻把握单元知识，抓住内容主线，厘清知识的关联，积极开展大单元整体教学，从而有效促进学生的深度学习及高阶思维能力的发展.笔者以为RMI法则是实施大单元整体教学的一种重要手段，它可以强化这种教学方式的落实与实施.

案例3-1解析几何的大单元教学.

苏教版选择性必修一中第1章、第2章及第3章（直线、圆、圆锥曲线与方程）构成了解析几何的一个大单元，完全可以实施大单元整体教学，它们的RMI法则几乎是一致的.这里原象关系结构S就是曲线及其性质，建系后，映射φ：点→坐标，曲线→方程，映象关系结构S*：方程及其关系，φ－1：坐标→点，方程→曲线，从而由方程（组）的解的情况，反演推出曲线的几何性质及位置关系.通过RMI法则，学生不仅能清晰地理解處理曲线与方程的解析法思想，而且能了解处理直线、圆及圆锥曲线问题的一致性，以利于学生对解析几何的整体把握.

案例3-2平面向量与空间向量的大单元教学.

尽管平面向量与空间向量分属于苏教版必修二第9章和选择性必修二第6章，但是也可以利用RMI法则进行大单元教学.它们的RMI法则基本一致.这里S是指（平面或空间）向量及其关系、运算，建系后，映射φ：向量→坐标，这时S*：实数（坐标）运算及其关系，通过φ－1：坐标→向量，反演推出向量的运算及位置关系.以上RMI法则，不仅可以让学生理解研究（平面或空间）向量的坐标法思想，而且能够深刻地揭示向量所具有的数与形两个方面的特征，因而向量是沟通代数、几何与三角函数的纽带，为解决平面及空间图形的位置关系及度量问题提供了十分有效的工具.这无疑对学生整体建构向量知识体系，领会知识本质是有益的！

实际上，对于案例3-1及3-2，我们还可以在更大范畴下进行整体教学.无论是曲线还是向量，它们都是数学中要研究的对象，要研究的都是数学对象及其关系、性质等，采用的映射工具，都是建系后得到它们的坐标或方程，所以案例3-1与3-2，还可以用以下统一的框图7来表示.

这样，学生就能从宏观上更深刻地理解数学是研究数量关系与空间形式的科学、数学所具有的数形特征及研究通法.

4 RMI视角下，创新思维的催化

培养数学创新思维是当今数学教育的重要使命与时代呼唤.尽管大家对培养学生创新思维的重要性与紧迫性已达成共识，但对培养学生创新思维的教学策略还有所欠缺.笔者以为RMI法则是催化学生创新思维的一个重要策略，可以挖掘数学史中数学发现与发明中的RMI法则对学生进行创新思维的培育，也可以通过开展研究性学习的方式，让学生亲历运用RMI法则进行“再发现”“再创造”的历程.

案例4解析几何的发现.

解析几何是十七世纪前半叶产生的一个崭新的数学分支，从本质上来看，它的发现过程就是RMI法则的具体应用.坐标法的建立使点与有序实数对之间、曲线与方程之间建立对应关系，从而把研究曲线的几何问题转化为研究方程的代数问题，通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质，这一过程可用框图8表示如下.

通过解析几何发展史的介绍，学生明白数学知识的发现与创造并不是凭空产生的，而是有规律可循的，RMI法则在其中就扮演着重要的角色！数学家可以利用RMI法则创造数学，教师也能够在平时的教学实践中，鼓励学生运用RMI法则体验“数学发现与创造”的乐趣.

在一次研究性学习中，笔者跟学生介绍了RMI法则后，让学生尝试运用RMI法则自主编制习题、提出问题.其中一个学生结合伸压变换的性质，编制了一道较高质量的试题，其编制过程如下：

在单位圆x′2+y′2=1中（如图9），它的任一个圆内接正方形P′Q′P1′Q1′的面积都为2，也即kO′P′·

kO′Q′=－1时，直线O′P′，O′Q′与单位圆的四个交点P′，Q′，P1′，Q1′所构成的正方形的面积为2.

于是，想到对上述问题进行映射φ：x′=x2，y′=y3，则在此映射的作用下，单位圆就变为椭圆x24+y23=1（如图10），则kOP·kOQ=32kO′P′·32kO′Q′=34kO′P′·kO′Q′=－34.

由伸压变换的性质可知，单位圆中的正方形变为了平行四边形PQP1Q1，且SPQP1Q1的值保持不变，面积为（2）2×2×3=43.

在教师的引导下，学生对试题进行了包装：椭圆的标准方程不直接给出，而是由焦点坐标与准线方程来确定.这样一道完整的椭圆原创题就新鲜出炉了：

已知椭圆的中心在坐标原点，左焦点为F1（－1，0），右准线方程为x=4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）P，Q是椭圆上两个动点，直线OP，OQ与椭圆的另一交点分别为P1，Q1，且直线OP，OQ的斜率之积等于－34，试探求四边形PQP1Q1的面积是否为定值？

以上应用RMI法则编题的过程可用框图11来表示.

通过这次研究性学习，学生都惊诧于自己的表现，他们不仅发现了RMI法则的巨大作用，更体会了“数学发现与创造”的乐趣，实现了从“问题解决者”到“问题发现者”“问题提出者”的转变.这正是新课标所倡导的理念，也是落实数学核心素养的根本遵循！

参考文献：

[1]徐利治，朱梧槚，郑毓信.数学方法论教程[M].南京：江苏教育出版社，1992：56.

[2]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018：98-101.