2023年新疆高三第一次适应性检测一道几何试题的探究

2024-01-04张元志

中学数学·高中版 2023年12期

关键词：二面角余弦直角坐标

张元志

1 题目

（2023年新疆自治區第一次检测第18题）如图1，在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，BC=CD=22，且BC⊥CD，以BD为折痕把△ABD和△CBD向上折起，使点A到达点E位置，点C到达点F的位置，且E，F不重合.

（1）求证：EF⊥BD；

（2）若点G为△ABD的重心（三条中线的交点），EG⊥平面ABD，求直线BD与平面ABE所成角的余弦值.

2 解法分析及详解

2.1 第（1）问思路及解析

第（1）问思路及解析如下.

思路1：利用直线与平面垂直的判定定理，证明异面直线垂直问题.

思路2：利用向量坐标运算证明异面直线垂直.

证法1：设BD的中点为O，连接EO，FO.由EB=ED，FB=FD，得EO⊥BD，FO⊥BD.又EO∩FO=O，所以BD⊥平面EOF.又EF平面EOF，所以BD⊥EF.

证法2：依据题意知BD=1，假设把△ABD和△CBD分别向上折起α，β（0<α，β<π）.以BD的中点O为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则E0，32cos α，32sin α，F0，－12cos β，12sin β，则EF=0，－12cos β－32cos α，12sin β－32sin α，BD=（1，0，0），于是BD·EF=0.

故BD⊥EF.

2.2 第（2）问思路及解析

建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，可用三种方法计算平面ABE的法向量.

依据该思路，绘制如图3所示的思维导图.

解析：同第（1）问建立空间直角坐标系，则E0，32cos α，32sin α，D12，0，0，A0，32，0，B－12，0，0，其中cos α=13，sin α=223，则E0，36，63.

下面计算平面ABE的法向量，有如下三种方法.

法1：（方程组）AB=－12，－32，0，AE=0，－33，63.设平面ABE的法向量为n=（x，y，z），则有n·AB=0，n·AE=0，即

－12x－32y=0，－33y+63z=0.化简整理，可得x=－3y，6z=3y.令y=2，则n=（－6，2，1）.

法2：（向量叉积）AB=－12，－32，0，AE=0，－33，63，则AB×AE=ijk－12－3200－3363=36（－6，2，1），因此平面ABE的一个法向量为n=（－6，2，1）.

法3：（平面方程）设平面ABE的方程为x-12+y32+zc=1，将点E0，36，63代入该平面方程得c=62，则平面ABE的一个法向量为n=（－6，2，1）.

由cos 〈BD，n〉=BD·n|BD||n|=－63，得直线BD与平面ABE所成角的余弦值为33.

3 相关链接

链接1（2020年天一大联考高三皖豫联盟体第三次考试＼5理）

如图4，在正方形ABCP中，AB=4，D是CP的中点.把△ADP沿AD折叠，使△PAB为等边三角形，得到如图5所示的几何体.

（Ⅰ）证明：AB⊥PD;

（Ⅱ）求二面角A-PB-C的余弦值.

（Ⅰ）证明：取E为AB中点，连接DE.以D为原点，建立如图6所示的空间直角坐标系，则A（4，－2，0），B（4，2，0），C（0，2，0）.设P（x，y，z）.依据题意可知|PA|=4，|PB|=4，|PD|=2，即（x－4）2+（y+2）2+z2=16，（x－4）2+（y－2）2+z2=16，x2+y2+z2=4，

解得x=1，y=0，z=3.所以P（1，0，3）.由AB=（0，4，0），DP=（1，0，3），可得AB·DP=0，

故AB⊥PD.

（Ⅱ）解：设平面PAB的方程为x4+0+zc=1，将点P（1，0，3）代入得c=43，

则平面PAB的方程为x4+0+3z4=1，平面PAB的一个法向量m=（1，0，3）.

设平面PBC的方程为0+y2+zc=1，将点P（1，0，3）代入得c=3，

则平面PBC的方程为0+y2+z3=1，平面PAB的一个法向量中n=（0，3，2）.

所以cos 〈m，n〉=m·n|m||n|=37=217.

由图知二面角A-PB-C为钝角，故所求的余弦值为－217.

链接2（2021年安徽六校教育研究会高三第一次联考＼5理）

在平面α内的四边形ABCD（如图7），△ABC和△ACD均为等腰三角形，其中AC=2，AB=BC=3，AD=CD=6，现将△ABC和△ACD均沿AC边向上折起（如图8），使得B，D两点到平面α的距离分别为1和2.

（1）求证：BD⊥AC;

（2）求二面角A-BD-C的余弦值.