借助特殊思维，构建熟知模型

刘海杰

在解决一些数学问题时，经常借助构建适当的特殊数学模型，有效实现数学问题的基本化、模型化、熟知化，实现数学知识的合理迁移与转化，通过熟知数学模型问题的分析、处理与破解，实现特殊思维化处理数学问题的目的.

1 巧构函数模型妙解题

熟知的基本函数模型是数学中最常见的数学模型之一，借助一些基本的初等函数模型的构建与应用，有效联系函数与方程、不等式等的问题，是解决与之有关的问题中比较常用的技巧方法，在此类问题的应用中经常有数学构造法的影子.

例1（多选题）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），则（）.

A.f（0）=0

B.f（1）=0

C.f（x）是偶函数

D.x=0为f（x）的极小值点

分析：综合题干与选项，通过特殊值的赋值与应用，并利用特殊函数的构建来分析与判断.

解析：令x=y=0，代入可得f（0）=0；令x=y=1，代入可得f（1）=0.故选项A，B正确.

令x=y=－1，代入可得f（－1）=0.单令y=－1，则有f（－x）=f（x）+x2f（－1）=f（x），可知f（x）是偶函数.故选项C正确.

对于条件f（xy）=y2f（x）+x2f（y），当x，y≠0时，有f（xy）x2y2=f（x）x2+f（y）y2，利用关系式的结构特征，取特殊函数f（x）x2=ln|x|（x≠0），于是f（x）=x2ln|x|，x≠0，0，x=0，此时x=0不是函数f（x）的极小值点.故选项D错误.

故选择：ABC.

点评：在解决一些抽象函数及其相关的应用问题时，经常借助抽象函数所满足的基本性质加以具体化，通过熟知的函数模型的构建，以具体函数来解决抽象函数问题，实现问题的破解与应用.

2 巧构方程模型妙解题

二次方程等熟知模型与对应函数紧密相关，借助方程模型的构建，可以很好地破解一些和代数式、函数与方程有关的问题，通过方程的应用，特别是利用构造法来转化与处理一些问题.

例2已知a>0，b>0，则1a+ab2+b的最小值为.

分析：根据所求代数式进行待定系数法处理，将问题方程化，结合关于参数a的二次方程有正数解，建立对应的不等式，分离系数，利用基本不等式来确定t的最小值，从而得以求解代数式最值问题.

解析：由于a>0，b>0，令1a+ab2+b=t>0，变形整理可得a2+（b3－tb2）a+b2=0.

要使关于参数a的二次方程有正数解，

则需满足b3－tb2<0且Δ=（b3－tb2）2－4b2≥0有解，整理可得b3－tb2<0且Δ=（b3－tb2）2≥4b2有解，解得b3－tb2≤－2b，即t≥b+2b有解.

利用基本不等式，可得t≥b+2b≥2b×2b=22，當且仅当b=2b，即b=2时，等号成立，此时a=2.

所以1a+ab2+b的最小值为22.

故填：22.

点评：引入参数进行待定系数法处理，结合方程模型进行数学构造，借助方程思维，利用不等式的求解以及基本不等式的应用来巧妙破解.

3 巧构数列模型妙解题

数列模型是函数模型的一个特例，借助数列模型的构建，通过新数列的通项公式、基本性质等来巧妙解决数学问题.借助新数列的构建，有效转化一些陌生的数列问题，变形为常见的数列问题，利用构造法来处理.

例3若ai∈N*（i=1，2，……，9），对关系式ak=ak－1+1或ak=ak+1－1（2≤k≤8）中有且仅有一个成立，且满足a1=6，a9=9，则a1+a2+……+a9的最小值为.

分析：根据题设条件，数列相邻两项的差值是1或－1，进而借助数学构造法，构建新数列bk=ak+1－ak，结合新数列的结构特征加以分类讨论，从奇数项与偶数项两个不同层面来分析，通过比较即可确定相应的最值问题.

解析：设bk=ak+1－ak（k≥1），由题意可得bk，bk－1恰有一个为1.

（1）如果b1=b3=b5=b7=b9=1，那么a1=6，a2=7，a3≥1，a4=a3+1≥2，同样也有a5≥1，a6=a5+1≥2，a7≥1，a8=a7+1≥2，则a1+a2+……+a9≥

6+7+1+2+1+2+1+2+9=31；

（2）如果b2=b4=b6=b8=1，那么a8=8，a2≥1，a3=a2+1≥2，同样也有a4≥1，a5≥2，a6≥1，a7≥2，则a1+a2+……+a9≥6+1+2+1+2+1+2+8+9=32.

综上可知所求的最小值是31.故填：31.

点评：通过作差换元处理，合理构建数列模型，进行数学构造，可操作性强，破解起来自然流畅，是一种不错的解题方法.借助数学模型的构建，合理“翻译”题意来分析与应用.

4 巧构平面几何模型妙解题

熟知的平面几何图形与相应模型是初中数学的基础，也是用来解决一些与之相关的高中数学问题的常见模型，特别是与三角函数、平面向量以及解三角形等问题相关时，通过合理构建，直接有效.

例4已知向量a+b+c=0，|a|=1，|b|=|c|=2，则a·b+b·c+c·a=.

分析：根据平面几何作图处理，合理构造，利用图形的对称性，结合平面几何中特殊图形的几何性质来分析并确定对应的线段长度，通过平面向量的投影确定对应三个向量两两之间的数量积.

解析：如图1所示，设a=OA，b=OB，c=OC，连接BC，交AO的延长线于点M，过点C作BO的延长线的垂线，垂足为N.结合题目条件以及图形的对称性可知，4|OM|=2|OA|=|OB|=|OC|=2，BC⊥AM，

则有b+c=2OM.结合勾股定理，可得|BM|=|CM|=22－122=152.由△BMO∽△BNC，可得|BM||BO|=|BN||BC|，即1522=2+|ON|15，解得|ON|=74.

而利用投影，可知a·b=a·c=1×－12=－12，b·c=2×－74=－72，所以a·b+b·c+c·a=－92.故填答案：－92.

点评：借助平面几何图形的构建，几何直观对称，垂直投影运算.特别在解决一些解三角形、平面向量等问题中，合理利用构造法，结合三角形、四边形、圆等几何模型确定边、角等元素，直观形象，实现问题的破解.

5 巧构解析几何模型妙解题

熟知的平面解析几何模型可用于解决与三角函数、解三角形、代数与创新等相关的问题.借助解析几何模型，引入坐标，通过代数运算加以逻辑推理，快捷处理.

例5若α∈0，π2，tan 2α=cos α2－sin α，则tan α=（）.

A.1515

B.55

C.53

D.153

分析：根据题设条件，抓住已知条件中三角关系式的结构特征加以合理构造，借助平面直角坐标系，将问题转化为平面坐标系中相关直线的位置关系问题，化“数”为“形”，利用平面解析几何知识来分析与处理.

解析：如图2，建立平面直角坐标系xOy，其中A（0，2），点P在单位圆x2+y2=1上，且点B在直线AP上.令∠POC=α，则P（cos α，sin α）.

设∠BOC=2α，

由tan 2α=cos α2－sin α，得tan 2α=－1sin α－2cos α－0，则有kOB·kAP=－1，即OB⊥AP.

又∠POC=∠BOP=α，所以∠OAB=∠BOC=2α，∠OPA=π2－α.由|OB|=|OA|sin 2α=|OP|sinπ2－α，得2sin 2α=sinπ2－α.

整理可得4sin αcos α=cos α.

由α∈0，π2，可知cos α≠0，则有sin α=14，利用平方关系有cos α=1－sin 2α=154.

所以tan α=sin αcos α=14154=1515.故选择答案：A.

点评：利用平面解析几何模型，从直观图形层面来解决一些特殊的三角函数问题，有效回避了复杂的三角函数公式与应用.特别，利用数学构造法，结合解析几何模型的构建，有奇效.

巧妙構建特殊且熟知的数学模型来解决问题，特别是借助函数与方程、不等式与数列、三角函数、平面向量与解三角形，以及解析几何与立体几何等基本数学模型的特征与性质，解题时才能无形中将问题与这些熟知的基本数学模型加以巧妙融合，“化生为熟”“化繁为简”“化难为易”，开拓思路，柳暗花明，迎刃而解.