平面向量的极化恒等式解题研究

刘胜男

摘要：极化恒等式是解决向量数量积问题的利器，可以简化运算.本文中介绍了极化恒等式的两个模型及几何意义，并结合极化恒等式的具体应用案例，通过比较解法，分析极化恒等式在解决问题时的优点.

关键词：极化恒等式；平面向量；解题研究

高考对于向量部分知识点的考查中，数量积运算占比极大，解决平面向量数量积问题主要有公式法和坐标法这两种常规方法.本文中介绍一种新的解法，利用极化恒等式解决一般方法不容易计算的数量积问题，特别在“求取值范围”问题中有着广泛应用.“极化恒等式”这一内容源自大学数学“泛函分析”，它表明数量积可以由它诱导出的范数来表示，把极化恒等式降维至二维平面，则可以非常巧妙地建立起向量数量积与向量模长之间的联系，即仅用向量模长表示向量的数量积，从而实现向量和几何、向量和代数的精妙结合.

1 极化恒等式

极化恒等式标准形式：对于两个非零向量a，b，有

a＼5b=14［（a+b）2－（a－b）2］.

其几何意义为非零向量a，b的数量积等于以这组向量对应的线段为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.由此可以得到极化恒等式在平行四边形中的推广.

推广1如图1，在ABCD中，有AB＼5AD=14（AC2－BD2）.

在平行四边形中，可以用它来解决一些与数量积范围或最值相关的问题，同时保留了更直观的几何意义.当然，也可以在三角形中构造极化恒等式，这也是极化恒等式的第二个推广.

推广2如图2，在△ABC中，I为BC的中点，有AB＼5AC=AI2－14BC2=AI2－BI2.

2 极化恒等式的优越性

例1（2017年新课标Ⅱ卷）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA＼5（PB+PC）的最小值是.

解法1：（坐标法）如图3所示，以BC的中点O为坐标原点，直线BC为x轴，直线AO为y轴建立平面直角坐标系，

则A（0，3），B（-1，0），C（1，0）.

设P（x，y），则PA=（－x，3－y），PB=（－1－x，－y），PC=（1－x，－y）.

所以PA＼5（PB+PC）=2x2－23y+2y2=2x2+y－322－34，当x=0，y=32时，取得最小值，且最小值为2×－34=－32.

解法2：（极化恒等式法）设BC的中点为O，OA中点为D，由向量加法法则和极化恒等式，可得PA＼5（PB+PC）=2PA＼5PO=2（PD2－OD2）=2PD2－34≥－32.故PA＼5（PB+PC）的最小值为-32.

变式在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=π2，AB=BC=2，M，N（不与A，C重合）为AC边上的两个动点，且满足|MN|=2，则BM＼5BN的取值范围为.

解法1：（坐标法）如图4，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则直线AC的方程为x+y=2.设M（a，2－a），0

所以BM=（a，2－a），BN=（a+1，1－a），可得BM＼5BN=a（a+1）+（2－a）（1－a）=2a2－2a+2=2a－122+32.又0

解法2：（极化恒等式法）设MN的中点为D，点D（t，2－t），12

点评：从例1及其变式的解法可以发现，使用常规坐标法步骤繁琐，在计算上花费时间较长，还可能會由于疏忽导致做错，而采用极化恒等式法，只需找到三角形边的中点，可以代入公式，题目便迎刃而解.把平面向量数量积这种抽象的问题转变为代数问题进行求解，可以简化计算.解法2体现出极化恒等式在计算向量的数量积中的优越性.

3 极化恒等式的应用举例

题型1：定值问题.

例2如图5，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则EF＼5FG+GH＼5HE等于.

解：设HF的中点为O，则EF＼5FG=EF＼5EH=EO2－OH2=1－122=34，GH＼5HE

=GH＼5GF=GO2－OH2=1－122=34.

故EF＼5FG+GH＼5HE=32.

题型2：范围问题.

例3边长为1的正方形内有一个内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM＼5PN的取值范围是.

解：如图6，设正方形ABCD的内切圆为圆O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，

则PM＼5PN=|PO|2－|OM|2=|PO|2－14.

当P为正方形ABCD的某边中点时，|OP|min=12；当P与正方形ABCD的顶点重合时，|OP|max=22.所以12≤|OP|≤22.

故PM＼5PN=|PO|2－14∈0，14.

题型3：求参问题.

例4如图7，已知AB是圆O：x2+y2=1的任意一条直径，点P在直线x+2y－a=0（a>0）上运动，若PA＼5PB的最小值为4，则实数a的值为.

解：由题意可知，O为AB的中点，AB=2.由极化恒等式，得PA＼5PB=|PO|2－14|AB|2=|PO|2-1.故当PA＼5PB取最小值4时，|PO|min=5，此时，|PO|为点O到直线x+2y－a=0的距离，因此|－a|12+22=5，解得a=5.

例5设P0是△ABC中AB边上的定点，满足P0B=14AB，且对于AB边上任意一点P，恒有PB＼5PC≥P0B＼5P0C，则△ABC的形状为.

解：如图8，取BC的中点D，连接PD，P0D，则PB＼5PC=|PD|2－14|BC|2，P0B＼5P0C=|P0D|2－14|BC|2.因为PB＼5PC≥P0B＼5P0C恒成立，即|PD|2－14|BC|2≥|P0D|2－14|BC|2，亦即|PD|≥|P0D|恒成立，所以P0D⊥AB.设O为AB的中点，连接OC，则P0B=12OB，可得P0D∥OC，所以OC⊥AB且AC=BC，即△ABC是以C为顶角的等腰三角形.

4 总结

数学解题不是简单的做题训练，它更像是知识的再创造.解题是学习数学的重要一环，学会了解题意味着学生不仅具备了解决新问题的能力，同时也培养了他们的逻辑思维、创造性思维和问题解决的技能.利用极化恒等式可以求数量积的值、界定数量积的取值范围、探求数量积的最值、处理长度问题，以及解决一些综合性问题.因此，教师站在更高层面，为学生讲解一类新的解题模型是有必要的［1］.

参考文献：

［1］陈晓明.极化恒等式在平面向量中的应用举例[J].数理化学习（高中版），2021（12）：3-5.