“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用

李硕

“转化与化归”思想是高学数学中的一种重要的数学思想，运用非常广泛，尤其是一些特殊的问题，运用“转化与化归”思想解题可以提高效率，同时还可以降低问题解决的难度.因此，在数学课堂引入并应用转化与化归思想，能够让学生在学习数学及解题的过程中，加深对数学概念的理解，同时也能有效锻炼数学思维，提高学习效率，进一步发展数学核心素养.

在高中数学的解题过程中，基于“转化与化归”思想的三大原则，主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化、命题的等价转化，以及函数、方程、不等式之间的转化等一些常见的转化方法.

1 特殊与一般的转化

将一般问题进行特殊化处理，可使问题的解决变得更为直接和简便，并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维；除此之外，对特殊性问题进行概括性研究，实现特殊问题一般化，也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律，并能有效地解决特殊性问题.

例1“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C：x2a+1+y2a=1（a>0）的离心率为12，则椭圆C的蒙日圆的方程为（）.

A.x2+y2=9

B.x2+y2=7

C.x2+y2=5

D.x2+y2=4

分析：根据题目中的已知条件，在椭圆上，两条相互垂直的切线可以随意选择，但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的，也即答案是唯一的.由此，可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路，不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题.

解：因为椭圆C：x2a+1+y2a=1（a>0）的离心率为12，所以1a+1=12，解得a=3.

所以椭圆C的方程为x24+y23=1，且椭圆C的上顶点为A（0，3），右顶点为B（2，0），

则椭圆在A，B两点的切线方程分别为y=3和x=2，

这两条切线的交点坐标为M（2，3）.

由题意可知，交点M必在一个与椭圆C同心的圆上，可得与椭圆C同心的圆的半径r=22+（3）2=7.

所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=7.

故选：B.

以问题的特征为依据，对命题进行转化，将原问题转化为与之相关的、容易解决的新问题，这也是解决数学问题常见的转化思路，并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力.

2 命题的等价转化

把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化，化难为易，是解决较难问题常用的转化手段.其主要方法包括：数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化等.

例2由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命題，得m的取值范围是（－∞，a），则实数a的值是.

分析：利用转化思想可以将命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题转化为“对任意x∈R，e|x－1|－m>0是

真命题”，由此得出m

解：由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知“对任意x∈R，e|x－1|－m>0是真命题”，由此可得m的取值范围是（－∞，1），而（－∞，a）与（－∞，1）为同一区间，故a=1.

例3若对于任意t∈［1，2］，函数g（x）=x3+m2+2x2－2x在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是.

分析：根据函数g（x）=x3+m2+2x2－2x在区间（t，3）上总不为单调函数，可以利用正难则反的转化思想先找出g（x）在（t，3）上单调的条件，再利用补集思想求出m的取值范围.

解：求得g′（x）=3x2+（m+4）x－2.

若g（x）在（t，3）上单调递增，则g′（x）≥0，即3x2+（m+4）x－2≥0，

亦即m+4≥2x－3x在x∈（t，3）上恒成立.

故m+4≥2t－3t在t∈［1，2］上恒成立，则m+4≥－1，

即m≥－5.

若g（x）在（t，3）上单调递减，则g′（x）≤0，即

m+4≤2x－3x在x∈（t，3）上恒成立，所以m+4≤23－9，即m≤－373.

综上，符合题意的m的取值范围为－373

根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路；对复杂问题采用正难则反的转化思想，更有利于问题得到快速解答.

3 函数、方程、不等式之间的转化

函数与方程、不等式之间有着千丝万缕的关联，通过结合函数y=f（x）图象可以确定方程f（x）=0，不等式f（x）>0和f（x）<0的解集.

例4若2x－2y<3－x－3－y，则（）.

A.ln（y－x+1）>0

B.ln（y－x+1）<0

C.ln|x－y|>0

D.ln|x－y|<0

分析：由题意，可将2x－2y<3－x－3－y转化为2x－3－x<2y－3－y，进而实现不等式与函数之间的转化，从而解得答案.

解：由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y.

故构造函数y=2x－3－x，即y=2x－13x.

由于函数y=2x－13x在R上单调递增，

因此x1.

所以ln（y－x+1）>ln 1=0.

故选择：A.

例5已知函数f（x）=eln x，g（x）=1ef（x）－（x+1）.（e=2.718……）

（1）求函数g（x）的最大值；

（2）求证：1+12+13+……+1n>ln（n+1）

（n∈N+）.

分析：第（1）问要求函数g（x）的最大值，关键在于需要运用转化与划归思想，通过g′（x）得出函数g（x）单调性，即可求出g（x）的最大值.将第（1）问得出的g（x）最大值-2转化成ln x－（x+1）≤－2，即ln x≤x－1

（当且仅当x=1时等号成立），再利用换元法最终证明出结论.

解：（1）由g（x）=1ef（x）－（x+1），

即g（x）=ln x-（x+1），得

g′（x）=1x－1（x>0）.

令g′（x）>0，則0

令g′（x）<0，则x>1.

所以，函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减.

故g（x）的最大值为=g（1）=－2.

（2）证明：由（1）知x=1是函数g（x）的极大值点，也是最大值点，故g（x）≤g（1）=－2.

所以ln x－（x+1）≤－2，即ln x≤x－1（当且仅当x=1时等号成立）.

令t=x－1，则有t≥ln（t+1）（t>－1）.

取t=1n（n∈N+），则有1n>ln1+1n=

lnn+1n.

故1>ln 2，12>ln32，13>ln43，

……，1n>lnn+1n.

上面n个不等式叠加，得1+12+13+……+1n>ln2×32×43×……×n+1n=ln（n+1）.

故1+12+13+……+1n>ln（n+1）（n∈N+）.

在分析此类题目的过程中，利用函数、方程、不等式进行转化与化归更有利于问题的解决，因此，利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密，同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助.

转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥，为高中数学问题的解决提供了多种思路，对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用，值得我们不断地探索与研究.因此，在解决高中数学问题的过程中，要灵活运用“转化与化归”的解题思想.有些数学问题看似复杂，但通过分析可知出题者采用的是“障眼法”，其中有的是多余或无用的条件.同时，在高中数学课堂教学中，教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想，加强学生在特殊与一般转化、命题的等价转化以及函数、方程、不等式之间的转化等方面的技能，逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识，最大程度提高解题效率.