核心素养立意下的函数与导数命题
2024-01-04周建锋
周建锋
1 命题
原创题已知函数f（x）=ex－1－ln x（其中e=2.718 28……是自然对数的底数），过点（a，b）（a≠0）可作曲线f（x）的两条切线.
（1）请给出a，b应满足的充要条件；
（2）求证：b<2ea－1－2ln |a|－12a2+a－32.
（参考数据：e≈1.65.）
考查目标：重点考查学生综合运用函数和导数解决实际问题的能力，以及对新情境问题分析理解的能力.
设计思路：近几年全国及各地高考数学卷对极值点偏移问题考查得比较多，广大师生对这类题的研究比较深入，难以考查出学生的实际能力.2022年全国Ⅰ卷别出心裁，考查交点问题并证明三个交点横坐标成等差数列，体现出推陈出新的导向.
本题融入切线问题，考查学生对切线问题的分析能力.f（x）是一个下凸函数，过某些平面区域的点可作两条切线，过某些平面区域的点可作一条切线，过某些平面区域的点没有切线，这需要学生进行深入分析，并作出严谨的论述.得到a，b应满足的充要条件后，第（2）问设计了一个不等式，需要利用第（1）问的结论，将不等式进行优化，而且优化后直接证明也有难度，需要用放缩或分析隐零点等手段进一步证明.
2 命题过程
原始题已知函数f（x）=ex－1－ln x（其中e=2.718 28……是自然对数的底数）.
（1）求f（x）的最小值；
（2）若过点（a，b）（a≠0）可作曲线f（x）的两条切线，求证：a+b－2f（a）<115+ln 2.
（参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 5≈1.609 4.）
说明：命题的最初想法就是角度新一些，从分析过一点作函数曲线的两条切线，得到a，b应满足的充要条件a>0，b 修改1已知函数f（x）=ex－1－ln x（其中e=2.718 28……是自然对数的底数）. （1）求f（x）的最小值； （2）若过点（a，b）（a≠0）可作曲线f（x）的两条切线，求证：b<2f（a）－a2+2a－1. （参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 5≈1.609 4.） 说明：通过这次修改，第（2）问需要证明一个复杂的不等式ex－1－ln x－x2+2x－1>0，但可以通过第（1）问的结论，放缩为－x2+2x>0在0 修改2已知函数f（x）=ex－1－ln x（其中e=2.718 28……是自然对数的底数）. （1）求f（x）的最小值； （2）若过点（a，b）（a≠0）可作曲线f（x）的两条切线，求证：b<2ea－1－2ln |a|－a2+2a－54. （參考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 5≈1.609 4.） 说明：解决了修改2的两个问题后，题目已经比较完善了，但又觉得第（1）问与第（2）问没有关联性，显得别扭（仅仅为了给学生送几分而已），故修改为删去第（1）问，把第（2）问分割成两个问题. 修改3已知函数f（x）=ex－1－ln x（其中e=2.718 28……是自然对数的底数），过点（a，b）（a≠0）可作曲线f（x）的两条切线. （1）请给出a，b应满足的充要条件； （2）求证：b<2ea－1－2ln |a|－a2+2a－54. （参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 5≈1.609 4.） 说明：到第四稿，还是觉得第（2）问的结构不是很完美，证明过程中过多地用到一些特殊数据，所以再次修改，得到最终稿，即本文开头的原创题. 3 试题分析 第（1）问分析：对f（x）求导，f′（x）=ex－1－1x， f″（x）=ex－1+1x2>0，发现f（x）是一个下凸函数（如图1），x=0是它的一条渐近线.当点（a，b）在渐近线右侧、曲线y=f（x）下方时，过点（a，b）可作曲线y=f（x）的两条切线，但要进行论证.设切点为（t，f（t））（t>0），则切线斜率为f′（t）=et－1－1t，f′（t）在区间（0，+∞）上单调递增，不同的t值对应的切线斜率不同，故当且仅当关于t的方程b=（a+1－t）et－1－ln t－at+1有两个实根时符合题意，从而通过分析解的个数得到a，b应满足的充要条件. 解答第（1）（2）问的思维导图如图 2、图3所示. 4 实测结果 本题为2023届某市四校联考压轴题，满分12分.我校本题平均分3.07，难度0.26，区分度0.21.由于整套试卷题目偏难，导致能做到本题的学生比较少.学生出现的问题主要有如下几个方面： （1）运算能力不过关 ①求导出错：如f′（x）=（x－1）ex－2－1x，f″（x）=ex－1－1x2. ②忽略了定义域（0，+∞）对函数性质的影响. （2）论证不严谨 使用“易得a>0，b （3）转化能力不足 在第（2）问中，少数学生没有考虑用第（1）问的条件进行放缩，而是用切线方程将b替换成以两个切点x1，x2为元的不等式，难以证明. 5 体会 通过几次修改，笔者对题目的构思角度、结构设计、考查素养等方面颇为满意.首先，对函数曲线切线的分析是一个比较新颖的角度，通过对切线条数的分析，将问题转化为方程解的个数问题，也即函数交点问题，与导数完美结合.其次，利用a，b满足的条件证明一个双变量不等式，通过第（1）问的条件进行放缩，消去b，转化为关于a的不等式的证明 .要证明指对数混合的不等式，需要扎实的化归转化基础，对学生的应变能力是一个很大的考验.
