高考数学情境类创设试题的命题方向

刘学

摘要：数学情境创设类试题是新高考数学试卷中的一类基本考点，体现了社会发展对高考的要求.根据数学情境创设中几类比较常见的形式，从自主创新与科学发展、文化传承与“五育”并举、生活情境与数学应用，以及研究探索与迁移创新等方面展开，结合实例来剖析与应用，有效培养学生的数学能力与数学核心素养等.

关键词：新教材；新课程；新高考；情境；创新

在新教材（人民教育出版社2019年国家教材委员会专家委员会审核通过）、新课程〔《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》〕、新高考的“三新”背景下，数学情境创设类试题已经成为高考命题中的一个热点，借助现实情境、数学情境、科学情境等的构建，巧妙渗透教学改革的价值导向及综合化、情境化与开放化等意识，有效考查学生的数学能力与数学核心素养等.

1 自主创新与科学发展

习近平总书记指出：“自主创新是我们攀登世界科技高峰的必由之路.我国要在科技创新方面走在世界前列，必须在创新实践中发现人才、在创新活动中培育人才.”

数学被称为科学的“皇后”，是学习一切科学的基础，也是人的发展的必要条件.数学学习的好坏决定着人才的发展高度，更是新时代科技创新与发展方面人才选拔的一个重要基础.借助自主创新与科学发展这方面的数学情境创设，引领高中数学教学与人才培养方向，为新时代选拔更多更优秀的人才.

例1（山东省济南市2023年3月高三模拟考试数学试卷）机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于由数据和算法来模拟人类学习的方式.在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式.两点A（x1，y1），B（x2，y2）的闵氏距离为Dp（A，B）=（|x1－x2|p+|y1－y2|p）1p，其中p为非零常数.如果点M在曲线y=ex上，点N在直线y=x－1上，则D1（M，N）的最小值为.

分析：根据数学情境，利用闵氏距离的创新定义并结合具体的曲线条件，构建对应距离的表达式，进而结合重要不等式结论ex≥x+1与绝对值不等式性质加以合理放缩，从而得以分析与求解对应的最值问题.

解析：

设N（x，x-1），M（t，et）.则D1（M，N）=|x-t|+|x-1-et|.

令f（x）=1+ex-x，则f′（x）=ex-1.

当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0;当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0.

所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增.

因此f（t）≥f（0）=2，即1+et≥t+2＞t.

当x≤t时，D1（M，N）=t-x+1+et-x=et+t+1-2x≥et-t+1≥2;

当t＜x＜1+et时，D1（M，N）=x-t+1+et-x=1+et-t≥2;

当x≥1+et时，D1（M，N）=x-t+x-1-et=2x-t-1-et≥2（1+et）-t-1-et=1+et-t≥2.

综上所述，可知D1（M，N）的最小值为2.

故填答案：2.

点评：涉及自主创新与科学发展方面的数学情境创设问题，往往以新时代前沿科学发展或创新应用为场景来创设，合理数学建模，转化为对应的数学问题，进而利用数学知识来分析与应用.

2 文化传承与“五育”并举

任子朝先生认为：文化与数学史考题体现“创造性转化、创新性发展”.借助数学文化类的情境创设试题，把弘扬中华优秀传统文化与学习借鉴国外优秀文化成果相结合，增强中华优秀传统文化的生命力和影响力，促进学生培养文化探究和创新意识，培育人文精神，实现文化传承，增强文化自觉和文化自信，体现高考选拔以及德、智、体、美、劳等“五育”全面发展的育人的重大使命.

例2（2023届江苏省南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试数学试卷）三星堆古遗址作为“长江文明之源”，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现.如图1，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12 cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为（）.

A.72π cm2

B.162π cm2

C.216π cm2

D.288π cm2

分析：根据数学情境，结合对应玉琮的结构特征，利用圆柱与正方体这两个基本空间图形之间的位置关系，通过设圆柱底面圆半径与球的半径，构建对应的关系式，得以求解球的半径，进而求球的表面积.

解析：设圆柱底面圆的半径为r，球O的半徑为R，则正方体的棱长为2r，

依题可得

2R=（2r）2+（2r）2+（2r）2，62+r2=R2.

解得R2=54.

所以球O的表面积为S=4πR2=216π（cm2）.

故选择答案：C.

3 生活情境与数学应用

数学源于生活，高于生活.在生活情境中提炼抽象出数学问题，本身就是将数学与生活结合在一起，真正体现学以致用.劳动创造了数学，活动是数学的表象，高考中的生活情境类问题就是考查学生透过表象抓住问题的数学本质的能力，充分体现数学的应用.

例3〔2023届广东省名校联盟高三（下）学期大联考数学试卷〕“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（）.（参考数据：lg 2≈0.3，1g 3≈0.48，lg 17≈1.23.）

A.6

B.7

C.8

D.9

分析：根据数学情境，结合“打水漂”游戏构建对应的等比数列与不等式，通过函数运算以及不等式的性质，利用对数运算来求值处理，进而通过不等式的求解来确定与应用.

解析：设小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为x，x∈N*，

依題可得20×0.85x－1<6，即0.85x－1<0.3，则有x－1>log0.850.3.

而log0.850.3=lg 0.3lg 0.85=lg 3－1lg 85－2=lg 3－1lg 5+lg 17－2=lg 3－1lg 17－lg 2－1≈7.4，即x－1>7.4，所以x=8.

故选择答案：C.

点评：涉及生活情境与数学应用方面的数学情境创设问题，借助生活中的实际问题来阐述相应的数学应用问题，充分展示数学来源于生活，又高于生活，同时有效指导生活.

4 研究探索与迁移创新

借助数学情境创设，引导考生进行合理的研究探索或知识迁移，结合数学中的概念类比、公式设置、性质应用、知识拓展与创新应用等，通过“再加工”，进行创新与应用.创新意识与创新应用是新时代的一个主旋律，也是高中数学教学与学习中不断渗透与培养的一种基本精神与能力.

例4（2023届江苏省盐城市、南京市高三第一学期期末调研测试数学试卷）在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量X，Y的取值集合均为{0，1，2，3，……，n}（n∈N*），则X，Y的散度D（X‖Y）=∑ni=0P（X=i）lnP（X=i）P（Y=i）.若X，Y的概率分布如表1所示，其中0

分析：根据数学情境，从创新定义X，Y的散度D（X‖Y）入手，结合创新公式与数据处理来构建对应的函数关系式，利用二次函数与对数函数的性质来确定函数的取值范围问题.

解析：根据题设中的创新公式，可得D（X‖Y）=P（X=0）lnP（X=0）P（Y=0）+P（X=1）lnP（X=1）P（Y=1）=12ln121－p+12ln12p=－12ln ＼.

由0＜p＜1，可得p（1－p）=－p－122+14∈0，14〗，则ln ＼≤0.

所以D（X‖Y）=－12ln ＼≥0，即D（X‖Y）的取值范围是＼点评：涉及探索与迁移创新方面的数学情境创设问题，以方法操作或创新定义等方式给出，通过对此类问题的研究与探索，合理迁移对应的数学知识，在此基础上加以有效创新应用.