指向深度学习的高中数学课堂学习共同体构建研究

摘要：指向深度学习的高中数学课堂学习共同体是以深度学习为目标，在以深层思维为主要认知活动的课堂氛围中，追求问题探究的深度性、思维品质的深刻性与批判性以及情感投入的深沉性，师生以协作、共享、补充等行为获得对数学知识本质的理解及运用的一种课堂教学组织形式.本文中提出了深度学习理念下的高中数学课堂学习共同体构建策略.

关键词：深度学习；课堂学习共同体

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，教学中要关注育人目的，注重培养学生核心素养，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力，帮助学生把握学习的深度＼.深度学习提供了开展素养导向学习的一条重要途径.深度学习强调学生的主体立场与有意义的学习；强调对“四基”的深度加工与理解；强调问题的深度探究与思考；强调有效的学习迁移和问题解决；强调活动的深度参与与体验；强调教学的育人功能与目标.

目前，高中课堂教学过程存在压缩化现象，从教学目标、教学内容、教学进度、教学设计和教学过程来看，学生虽已没有虚假学习现象，但学习动机还是外在驱动的，学习认知处于浅表层，学习中还存在“不理解”和“夹生”，课堂中批判性的反思和思考较少，思考的惰性使学生学习不能深入，真正的学习能力得不到提升.课堂上师生间的互动也存在不和谐的现象，学生自主思考与合作交流的时间较少，只能被动接受数学知识.这样不仅制约了学生对数学知识的认知与思考，而且降低了课堂效率.其实，学生习得知识并不是课堂教学的真正目的，而是通过学习知识，了解知识背后孕育的思想方法、意义和价值.在课堂上，如何有效开展教学活动，以助推学生的思维发展？笔者结合自己的教学实践，探索出以指向深度学习为目标、助推学生思维发展为核心、培养学生终身学习研究能力和团队精神为抓手的教学模式——指向深度学习的高中数学课堂学习共同体模式，与同行共同探讨.

1 指向深度学习的高中数学课堂学习共同体模式的主要内涵

深度学习是一种基于理解的学习，是指学习者围绕学习主题积极主动地、批判性地学习新的知识和思想，全身心积极参与、体验成功、获得发展，既能将已有知识迁移到新情境中，又能将所学知识融入原有认知结构中的有意义的学习.数学深度学习强调对数学知识本质的理解以及对数学知识内在联系的认识与把握，追求有效的学习迁移和问题的解决，属于以深层思维为主要认知活动的学习.

共同体是具有共同愿景的个人或组织，围绕共同的发展目标结成的具有较强互补性的团队或联盟.课堂学习共同体是指在课堂教学环境中，由教师和学生共同构成，以学生为本位、以“学”为中心的新型课堂教学组织形式.它以学习资源为载体，在民主和谐的学习情境中，强调师生以共同愿景为基础，以师生间活动性、合作性、反思性的协作为学习方式，以真实任务为核心，通过对话、协作、补充、竞争，分享师生的情感、智慧、体验与观念，从而达到共识、共享、共进，实现知识的深度学习和个体的真正成长.

“指向深度学习的高中数学课堂学习共同体”课堂模式旨在以深度学习为目标，在以深层思维为主要认知活动的课堂氛围中，追求问题探究的深度性、思维品质的深刻性与批判性以及情感投入的深沉性，师生以协作、共享、补充等行为获得对数学知识本质的深度理解及运用.

2 指向深度学习的高中数学课堂学习共同体模式的教學实施方略

2.1 概念研学，助推学生思维走向融通

从概念理解的角度来看，概念的学习本身就是一个“同化”或“顺应”的过程，“同化”或“顺应” 是通过概念间的联系来实现的.从教与学的角度来看，概念间的逻辑联系应该成为最有效的联系，这种联系的确定不仅能促进学生思维的深度参与，亦能帮助学生建立牢固的概念知识网络＼.因此，对于概念研学应充分利用概念间的逻辑关联设置有价值的问题，帮助学生主动建构概念.我们可以构建课堂学习共同体实现成员间的“研学对话”，在合作学习中学生经历概念的生成和发展全过程，在亲身体验中形成自己的见解；在同伴的分享中学生获得概念的深度思考，在质疑批判中寻求问题的答案；在交流展示中学生获得表达能力和反思性思维能力的锻炼，在研究学习中构建融通的认知结构.教师作为课堂学习的主导者，也是共同体成员的助学者，在充分倾听学生看法或问题的基础上将学生与文本、学生与学生、教师与学生、学生与认知经验进行串联，引发学生深度思考，形成学习共同体的思维共振，促进师生共同成长.

案例1曲线的切线概念研学

曲线的切线对微积分的发现以及帮助学生直观理解导数的概念都起到重要的作用.曲线的切线问题也是历年高考考查的热点和重点，如果学生对曲线的切线概念不理解，那么这些高考试题就难以攻破.在高三复习教学中，为了让学生深度理解曲线的切线的概念，笔者设计了以下三个问题.

问题1曲线的切线是如何定义的？

设计意图：检测学生对曲线y=f（x）在点P0（x0，f（x0））处的切线及切线斜率的认知程度.理解当点P（x，f（x））沿着曲线y=f（x）无限趋近于点P0（x0，f（x0））时，切线P0T是割线P0P的极限位置（图1）、切线P0T的斜率是割线P0P斜率的极限值.让学生体会导数中的“以直代曲”和“无限逼近”思想.

问题2能否以直线与曲线公共点的个数来判定该直线是否为曲线的切线？

设计意图：纠正学生由“直线与圆相切则直线与圆有且只有一个公共点”迁移形成的错误认知.尝试让学生举反例发现曲线的切线与曲线交点情况的不确定性.比如直线x=0与曲线y=x2只有一个公共点，但该直线不是曲线的切线.又比如函数y=x3，曲线在x=0处的切线y=0与曲线只有一个交点，但曲线在x=1处的切线y=3x－2与曲线有两个交点（1，1）和（－2，－8）.再比如函数y=sin x，曲线在x=π2处的切线是y=1，该切线与曲线有无数个交点2kπ+π2，1（k∈Z）.

问题3曲线的切线都在曲线的一侧吗？即曲线y=f（x）在点P0（x0，f（x0））处的切线是y=g（x），则有f（x）≥g（x）或f（x）≤g（x）吗？若正确，请证明;若错误，请举出反例.

设计意图：通过问题2的举例以及几何画板的演示，容易发现曲线的切线不都在曲线的一侧.笔者追问有没有哪些曲线的切线在曲线一侧，在学生认知范围内很容易举例说明.比如，函数f（x）=ex在各点处的切线y=g（x）都在曲线下方，满足f（x）≥g（x）.再比如，函数f（x）=ln x在各点处的切线y=g（x）都在曲线上方，满足f（x）≤g（x）.笔者再次追问一般满足什么特征的曲线会有这样的性质，最终得到上凸、下凸函数与切线放缩的一般性结论.上凸函数与切线放缩（图2）：若函数f（x）在定义域I上可导，且f′（x）在定义域I上可导.若f″（x）≤0恒成立，则x0∈I，f（x）≤f′（x0）（x－x0）+f（x0）恒成立.下凸函数与切线放缩（图3）：若函数f（x）在定义域I上可导，且f′（x）在定义域I上可导.若f″（x）≥0恒成立，则x0∈I，f（x）≥f′（x0）（x－x0）+f（x0）恒成立.师生合作共同给出了证明.

2.2 本质探源，助推学生思维走向深刻

新课程改革强调对数学本质的深刻理解.在课堂教学中，不仅要揭示数学概念、定理、法则的生成与发展过程，还要对数学问题进行深层次加工，引导学生通过深度体验和深度思考，深刻理解数学知识的内涵与外延，深刻领悟蕴涵的数学思想与方法，使思维不断深入，让学习不是单纯的模仿和机械的训练，而是成为一种“再发现、再创造”的深度学习过程.

案例2求曲线的切线本质探源

求曲线的切线问题主要涉及求曲线切线的斜率与方程、切线的条数、公切线问题，以及由切线满足的条件求参数或参数范围.在高三复习教学中，为了让学生深度理解曲线的切线问题的求法，笔者设计了以下问题.

问题4已知曲线f（x）=ex.则f（x）过点（－1，0）的切线方程为________________.

设计意图：让学生体会“在”一点处的曲线切线与“过”一点的曲线切线的区别，理解曲线的切线问题关键是抓住切点，运用切点的三个性质（切点处的导数等于切线的斜率、切点在切线上、切点在曲线上）就可求其切线，即曲线f（x）在切点P0（x0，f（x0））处的切线方程是y－f（x0）=f′（x0）（x－x0）.

2.3 问题拓展，助推学生思维走向灵活

在教学中，课堂上师生对话大多数是通过问题思考实现的，通常会经历“提出问题—思考问题—回答问题—反馈评价”这一系列流程.问题的提出者可以是教师，也可以是学生，教师应鼓励学生发现并提出问题.当然，在思考问题前有必要判断一下问题是否贴合教学内容、是否能有效促进知识的生成.因此，教师应以课堂学习共同体为抓手，设置精准、开放且有效的问题，引领学生思维走向灵活.

案例3用曲线的切线问题拓展

用曲线的切线可以研究函数最值、不等式恒成立、函数零点等问题.在用切线法解题时可以全面考查学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养，因此这类试题一直备受高考命题者的青睐.在高三复习教学中，为了让学生深度理解用曲线的切线来解题，笔者设计了以下四个问题.

问题5过点（a，b）作曲线f（x）的切线有且仅有一条吗？思考该问题，尝试编制出与曲线f（x）=ex有关的切线问题，并给出解答.

学生编题1：过点（a，b）作曲线f（x）=ex的切线，研究切线的条数.

问题6过点（－1，0）的直线与曲线f（x）=ex交点的情况如何？思考该问题，尝试编制出与曲线f（x）=ex有关的切线问题，并给出解答.

学生编题2：已知不等式ex≥a（x+1）对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________________.

学生编题3：已知方程ex=a（x+1）有两个不等的实根，则实数a的取值范围为________________.

学生编题4：已知方程ex=ax2在（0，+∞）只有一个实根，则实数a的值为________________.

问题7仿照问题5和问题6，尝试编制出与曲线g（x）=ln x有关的切线问题，并给出解答.

學生编题5：过点（a，b）作曲线g（x）=ln x的切线，研究切线的条数.

学生编题6：已知曲线g（x）=ln x，则g（x）过点（0，－1）的切线方程为________________.

学生编题7：已知不等式ln x≤ax－1对x>0恒成立，则实数a的取值范围为________________.

学生编题8：已知方程ln x=ax－1有两个不等的实根，则实数a的取值范围为________________.

学生编题9：已知方程ln x=ax2在（1，+∞）只有一个实根，则实数a的值为________________.

学生编题10：试讨论曲线g（x）=ln x与y=ax2（a>0）公切线的条数.

问题8尝试编制出与曲线f（x）=ex和g（x）=ln x有关的切线问题，并给出解答.

学生编题11：若直线l与曲线y=f（x）和y=g（x+2）都相切，则直线l的方程为________________.

学生编题12：试判断曲线y=f（x）与y=g（x）公切线的条数.

学生编题13：当a≤2时，证明f（x）>g（x+a）.

学生编题14：若f（x+a）+a≥g（x）对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________________.

设计意图：设置开放性问题，并尝试让学生编题，旨在启发学生立足问题再拓展，于引申中品味，于编题中发现，于比较中鉴别，于反馈中深入，于拓展中激发，于联想中感悟，于创新中陶冶，让学生在编制试题和问题解答中经历多次螺旋式循环探究，不断地进行有意义的知识与方法的构建而达到举一反三、触类旁通之效＼.

2.4 总结延伸，助推学生思维走向广阔

课堂以活动为抓手，让学生在探究中理解并掌握知识，并能灵活运用到解题中去.在数学活动中要想更好地达成教学目标，就需要及时归纳、总结与反馈，不断生成核心知识及框架体系，让学生从“知其然”到“知其所以然”，再到“知其何由所以然”，从而助推学生的思维走向广阔.

案例4曲线的切线总结延伸

掌握曲线的切线问题需要攻破三个难点：一是什么是曲线的切线；二是怎么求曲线的切线；三是如何用曲线的切线.笔者在问题解决中逐层显现思维结构图（图4），旨在让隐性的思维变外化显现、抽象的思维变形象可视、零散的思维变整体有结构＼，使学生在大脑中把曲线的切线问题的知识、方法与思想逐步建立起来，真正实现“深度学习，发展素养”.

总之，数学教学不仅要让学生掌握数学知识，更重要的是要让学生的思维得到切实有效的提升.在“指向深度学习的高中数学课堂学习共同体”课堂上，教师精心设计教学策略，引导和激励学习共同体自觉研究数学问题，在问题解决中学生的思维活动由表层数学知识转向数学思想方法的形成过程，进而实现深度学习.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020：5.

[2]陈唐明.数学微课题研学 助推学生思维灵性发展[J].教学与管理，2013（7）：68-70.

[3]陆丽.借助思维可视导引 优化高三复习效果[J].中学数学月刊，2021（11）：31-34.