初中数学解题中逆向思维的应用策略探究

【摘要】初中数学解题中应用逆向思维，能使学生在解决复杂问题时快速找到突破口.文章从初中数学解题中逆向思维的应用优势切入，分析初中数学解题中逆向思维的应用类型，提出如何指导学生在初中数学解题中应用逆向思维，以供借鉴.教师应正确认识逆向思维对初中数学解题的重要价值，指导学生应用逆向思维提高解题效率，并使学生在逆向思维的实际应用中发展数学思维，夯实理论基础.

【关键词】初中数学；解题；逆向思维

逆向思维也称求异思维，指的是在思考问题时敢于打破常规，反其道而行.应用逆向思维，从问题的相反面分析事物，能够从更多角度把握解决问题的基本方法，并在一定程度上发展创新能力.初中数学解题中，逆向思维发挥着不可替代的应用优势.逆向思维可以应用于哪些问题，如何将逆向思维应用于具体的解题过程，都是教师和学生应当重点关注的内容.文章以此为线索，探讨初中数学解题中逆向思维的应用，具有一定参考价值.

一、初中数学解题中逆向思维的应用优势

逆向思维作为一种特殊的思维方式，既是初中数学解题的重要工具，也是日常强化对学生培养的手段.初中数学解题中逆向思维的应用，不仅有助于解决问题，而且有益于培养学生的数学思维，使其稳固数学地基.

（一）应用逆向思维，提高解题效率

逆向思维对于初中数学解题起着提高效率的直接作用.许多初中数学问题由于题目信息的复杂性，学生不能通过正向分析快速形成解题思路，更有一些时候，学生会因为一味地正向分析复杂题目而掉入“陷阱”，陷入运算瓶颈.应用逆向思维重构问题分析路径，能够有效避免这些情况，进而提高学生的解题效率.

（二）应用逆向思维，发展数学思维

将逆向思维应用于初中数学解题，还能起到发展学生数学思维的间接作用.初中数学学习的根本不仅是使学生理解数学是什么、怎么用，而且是培养学生的数学思维.将逆向思维应用于解题，表面上对学生的数学思维提出了更高要求，实际上对学生的数学思维起着锻炼和培养作用.随着初中数学解题中逆向思维的应用，学生能不断发展数学思维，提升学科思维水平，这也对学生未来发展意义深远.

（三）应用逆向思维，夯实理论基础

夯实理论基础，同样属于初中数学解题中逆向思维的应用优势.初中数学学习的过程是从理论到实践逐步过渡的过程，学生要基于坚实的理论基础展开实践，也要在实践中巩固理论基础.应用逆向思维解题时，学生多角度分析解决问题的理论条件，如“想要证明两个三角形全等，至少应该使两个三角形满足哪些条件？”“如果证明两条直线不平行，这两条直线至少应具有怎样的特点？”等，便是对数学理论的多角度巩固.久而久之，学生自然可进一步夯实理论基础.

二、初中数学解题中逆向思维的应用类型

初中数学问题类型丰富，使得逆向思维在初中数学解题中实现多元应用.比如：学生可应用逆向思维妙巧解决计算问题，简化数学运算；可应用逆向思维巧妙推理几何关系，优化证明过程；还可以应用逆向思维巧妙解决图像问题，梳理函数关系.教师可结合典型例题，指导学生在具体题型中如何应用，明确初中数学解题中逆向思维的应用类型.

（一）逆向思维巧解计算题

初中数学计算题通常呈现“条件简明”的特征，包括有理数运算、整式运算、方程运算、不等式运算、函数运算等.但在一些情况下，越是简明的条件信息，越易增加解题难度，使学生毫无头绪，应用逆向思维尤为必要，如例1.

例1 已知a≤2，b≥-3，c≤5，且a-b+c=10，那么a+b+c的值是（ ）.

分析 题目并不复杂，形式上由不等式和等式组合而成，内容上通过三个不等式给出未知数的取值范围，要求学生围绕三个未知数计算等式的结果.但是，如果直接按照给定等式进行计算，由于无法判断未知数的具体数值，很难得出正确结果.由此应用逆向思维，可先思考“如果使a-b+c=10成立，则a，b，c应该取多少”，将b≥-3转化为-b≤3，则在a≤2，-b≤3，c≤5的前提下，想使a-b+c=10成立，a取值应当为2，b取值应当为-3，c取值应当为5.逆向思考后，未知数取值已知，a+b+c结果可算，即2-3+5=4.可见，在看似简单但对解题技巧要求较高的计算题中，可通过逆向思维的合理应用找准计算要点.

（二）逆向思维巧解证明题

证明题多以图形与几何为背景，要求学生证明点、线、面位置关系，以及长度、角度等数量关系.一些情况下，题目给出大量点、线、面、角度关系，使学生难以确定证明起点.及时应用逆向思维，可由待证问题逆向推理已知条件，通过“想要证明……，应该证明……”或“如果不……，则……”的逆向思考路径，让问题迎刃而解，如例2.

例2 如图1所示，D，E是△ABC中AC边上的两点，且在△ABC中，存在AB=AD，BD是∠CBE的角平分线，请证明AD2=AE·AC.

件中精准证明待证问题，可在建立证明思路时多次应用逆向思维.

（三）逆向思维巧解图像题

图像题通常伴随函数问题出现，如函数图像的平移问题、旋转问题、相交问题等.有时，题目同时给出图像与对问题的文字描述，促进学生思考和解题.有时，题目仅对图像关系进行抽象描述，学生不易建立解题思路.对此应用逆向思维，可在图像的“变”与“不变”中落实逆向思考，如例3.

学生可在教师指导下，有序探究逆向思维在初中数学计算题、证明题、图像题中的实际应用，建立逆向思维解题意识.紧接着，学生可自主应用逆向思维，举一反三地解决问题，内化初中数学解题中的逆向思维应用能力，这也是下文重点探讨的内容.

三、初中数学解题中逆向思维的应用技巧

从典型例题到举一反三，学生应在初中数学解题中总结应用逆向思维的一般规律，提高应用逆向思维的主动性与能动性.为此，学生应深入探究问题，探索逆向思维的应用技巧.

（一）打破题目原有逻辑，转化问题分析视角

以上文例1、例2为例，初中数学解题中逆向思维的应用，重点在于打破题目的原有逻辑，转化问题分析视角.学生可通过应用逆向思维，避免盲目地“跟着题目信息呈现顺序走”，从而顺利找到解题切入点.而打破题目原有逻辑，一方面可从题目中间切入问题分析，另一方面可从题目末尾切入问题分析.

1.从题目中间切入问题分析

从题目中间切入问题分析，学生可以先从前到后地阅读题目，再对比已知条件，确定“中间的重点”，然后“从中间向前”逆向思考已知条件的具体含义和作用.这也要求学生对复杂信息的主次具有一定敏感度，可通过自主加强解题训练达到此目的.

与直接将医院一共储存的氧气设为未知数进行比较，在题目中间应用逆向思维，通过假设“剩下了多少氧气”，先逆向推理“使用了多少氧气”，再逆向推理“储存了多少氧气”，学生可在问题分析视角的转化中，以更加简单的计算灵活解决问题.其他具有前后关联的初中数学题目，亦可考虑逆向思维的这一应用技巧.

2.从题目末尾切入问题分析

从题目末尾切入问题分析，包括“逆推法”与“反证法”.逆推法即“想要证明……，应该证明……”，反证法即“如果不……，则……”.前文例2已详细说明逆推法的应用技巧，此处重点探讨反证法.学生可根据问题特征，在证明部分初中数学问题时，先假设题目末尾结论不成立，再分析使该假设成立的条件（简称“新条件”）与题目已知条件（简称“原条件”）.若使假设成立时“新条件”与“原条件”一致，则待证问题不可证；若使假设成立时“新条件”与“原条件”矛盾，则待证问题可证，题目原结论成立.

如：“求证：在一个三角形中，不能同时存在两个钝角.”直接证明在一个三角形中不能同时存在两个钝角，不如先证明当两个钝角同时存在于一个三角形时三角形的基本特点.具体步骤如下：（1）假设在一个三角形中同时存在两个钝角；（2）已知一个钝角的角度大于90°，则两个钝角的角度之和大于180°；（3）已知三角形的内角和为180°；（4）当一个三角形中同时存在两个钝角时，“新条件”与“原条件”矛盾；（5）假设不成立，原命题正确，在一个三角形中，不能同时存在两个钝角.较难根据已知条件直接证明题目结论的初中数学证明题，均可考虑反证法.

（二）逆向转化题目条件，优化问题推理程序

逆向转化题目条件是指，在一些不能直接提炼解题要素的已知条件中，可以先应用逆向思维转化已知条件，再灵活应用已知条件，优化问题推理程序.前文例1在一定程度上体现此技巧，升级例1，设置更加烦琐的初中数学题目，更能发现该技巧的实际价值.

结 语

总之，初中数学解题中应用逆向思维是提高学生解题效率的关键举措，也是发展学生数学思维，使其夯实理论基础的重要途径.教师应通过有效指导，使学生巧妙应用逆向思维解决计算、证明、图像等问题.同时，教师应向学生传授“打破题目原有逻辑，转化问题分析视角”等逆向思维在实际解题中的应用技巧，让学生实现“知其然，更知其所以然”的高效学习.

【参考文献】

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