基于四足机器人的运动学分析与仿真

2023-12-29赫万恒任国全韩保红曹洪娜张淑琴韩校粉

机械工程师 2023年12期

赫万恒，任国全，韩保红，曹洪娜，张淑琴，韩校粉

（中国人民解放军陆军工程大学石家庄校区，石家庄 050003）

0 引言

自波士顿动力公司研发出军用运输机器人Bigdog[1]以来，因其强大的负载能力和优秀的运动能力，引起四足机器人研究热潮。四足机器人的运动主要体现在，随着腿部机构的摆动使足端相对地面发生运动，从而带动躯干运动。机器人运动学就是依据已有的机构尺寸及约束，利用数学的方法建立各个连杆和足端位置的关系[2]。在运动学分析的前提下，我们可以利用多刚体动力学分析四足机器人的动力学分析，同时可以对其运动轨迹进行规划，对其运动速度、加速度等进行控制。

1 运动学建模

本文采用经典的Denavi-Hartenberg方法（D-H）进行分析。针对中间铰链约束和连接杆件的类型，Denavit和Hartenberg在1955年提出了该方法，经过分析应用证明该方法的普适性很好，既可用于简单的连杆机构，也可以用于复杂的机器人结构，并且对坐标系的选取没有任何限制，只需要引入相应的变换矩阵[3]。四足机器人在运动过程当中一般可以忽略各个零部件的变形，因此可以将各连杆简化为刚体，而连接的各个关节就是铰链。在运动过程中，各个连杆相对铰链发生相对转动，从而带动其它部位发生转动或移动[4]。通过分析相邻运动连杆上相互之间的约束类型确定相应的约束方程，从而得到机器人各部件之间的运动关系。为了研究方便，将铰链作为坐标原点，建立一系列的坐标系，根据连杆连接顺序依次确定相邻坐标间的坐标变换关系，从而利用矩阵乘法得到最终的总变换矩阵。由四足机器人结构可知，腿部结构是依据串联的关系将多个铰链约束和杆件连接在一起。为研究方便，将机器人躯干定义为编号0，然后依据从躯干出发逐渐远离的顺序依次定义为1、2、3……。

为了研究方便，依据机器人的实际结构可以利用4个几何参数来定义连杆间的关系：连接关节n-1和n的杆件长度li、关节n-1和n的布置的相对平移量di、关节n的转角θi，以及连接关节n-1和n的扭角αi[5]。其中关节n-1和n的长度li指的是沿运动传递方向上四足机器人腿部结构两端相邻两个铰链轴线之间的最短垂线长度；铰链平移量di指的是沿运动传递方向，连续3个铰链轴线中边界两条依次向中间轴线所做垂线垂足间的距离；铰链回旋量θi指的是通过该铰链相连的连杆，向某个以其轴线为垂线的平面上的投影的夹角；连接关节n-1和n的扭角αi指的是连杆沿轴线方向投影到一个平面上的关节n-1和n的轴线夹角。建立四足机器人腿部各个坐标后，使用li、di、θi及αi，各运动连杆之间的位置姿态关系就可以使用空间坐标系变换的方法确定了。

结合关于空间的几何知识，将一个坐标系{i-1}和{i}设置在相互挨着的两个连杆i-1和i之间，可以得到：第i根连杆的坐标系{i}是第i-1根连杆坐标系{i-1}绕xi-1轴旋转αi-1角度，同时沿xi-1平移li-1的距离，再绕zi轴旋转θi，同时沿着zi轴平移距离di得到的。利用不同坐标系的坐标变换可以得到，从{i-1}到{i}坐标系的坐标变换矩阵。

1）绕xi-1轴旋转αi-1角度：

2）沿xi－1轴平移li－1的距离：

3）绕zi轴旋转θi角度：

4）沿着zi轴平移di距离：

从以上四个转换矩阵可得到相邻连件之间的位姿矩阵：

使用D-H方法建立坐标系的规则一般有：

1）建立局部坐标系。规定如下的连杆坐标系：按运动传递方向，第i+1个铰链旋转轴方向为Zi坐标轴方向；前一个Zi－1轴与Zi轴的公垂线为Xi坐标轴，且指向背离Zi－1轴的方向；根据右手笛卡尔坐标系来判断Yi坐标轴的方向。

2）单连杆参数。沿运动传递方向相邻两个铰链轴线之间的公垂线长度即为连杆长度，也就是Zi和Zi－1轴的公垂线长度，并且等于沿Xi轴方向的长度。由于长度Li≥0，如果Li=li，则说明两关节轴线平行，li为连杆的长度；如果Li=0则说明两关节轴线垂直。

3）相邻两杆之间的参数。连杆距离Di为在Zi－1轴上测量的两条公垂线Xi与Xi－1轴之间的距离。如果Di为常数，说明为转动铰链；如果Di为变量，说明为移动铰链。Xi与Xi－1轴之间的夹角为连杆转角Θi，也就是两条公垂线之间的夹角。如果Θi为变量，说明铰链为转动铰链；如果Θi为常数[4]，说明铰链为移动铰链。

由此可以用4个参数来表示变换矩阵，连杆自身尺寸和相对位置关系各占2个参数。为了计算方便，可以每次只变化1个参数，从而得到4个子矩阵，4个子矩阵相乘得到最终的变换矩阵。

2 四足机器人的正运动学分析

进行正运动学分析，就是把D-H 坐标系设置在四足机器人一条腿上的3个关节上面，从X转角、Y转角、Z转角以及坐标变换值4个参数关系出发考虑，利用前述的D-H方法，各个关节的参数如表1所示。

表1 机器人单腿各关节参数

根据位置和姿态矩阵公式，将表1中关节参数代入矩阵公式可得：

因此可得：

式中：矩阵中的c1=cos θ1，s1=sin θ1，c23=cos θ2cos θ3－sin θ2·sin θ3，s23=sin θ2cos θ3+cos θ2sin θ3。

由此可得足端运动解：

相应的雅可比矩阵为

3 计算机建模及仿真

仿真采用YoboGo-10B型机器人实际尺寸进行建模，如图2所示。

4 仿真结果分析

图8为机器狗身体（躯干）的位移（水平位移）曲线，从曲线上可以看出，每间隔1 s，曲线上有一个陡降，此瞬时为每个步态周期对角足发生了两次支撑相与摆动相的交换，此瞬时四足都为支撑相。支撑相的四条腿关节在转动时，会产生一个转矩反作用于身体，使身体有一个微小的后移。在其余时间段，机器狗都正常向前运动。

图9为机器狗的速度曲线，由图得知，机器狗在运动过程中，处于摆动相的两腿抬起时，作用于机器狗的反作用力使机器狗的身体有一个微小的后倾，在图上表现为起始时的一小段时间速度为负值。仿真截取的较短的时间（8 s）内，机器狗的速度以线性增加并以1 s为周期（也即1/2个步态周期）上下波动。随着仿真时间的延长，速度在一个步态周期内的波动会趋于平缓，最终的速度也会收敛到一个恒定的值。

图10为机器狗的加速度曲线，从曲线上可以看出，机器狗的加速度呈周期性波动。与速度曲线初始时的负值相对应的，启动时，加速度突变到一个比较大的负值，随后迅速回归正值，机器狗开始正常地向前运动。支撑相的两腿伸直时，加速度达到最大值，并在随后的时间里迅速回落，当支撑相的两腿转入摆动相，原本摆动相的两腿还未落地，加速度迅速下降。每一个运动的周期（2 s），机器狗都要经历两次对角腿在支撑相与摆动相之间的转换，在图线上就表现加速度曲线、速度曲线及位移曲线都大致以1 s为周期的波动。

图1 串联结构表示方法

图2 YoboGo-10B

图3 躯干

图4 髋部

图5 大腿

图6 小腿

图7 整体及步态控制

图8 机器狗位移曲线

图9 机器狗速度曲线

图10 机器狗加速度曲线

图11为机器狗右后第1关节角速度的图线，由于左前右后为仿真时人为预先设定的主动运动的驱动腿，因此在图线上表现为平滑的正弦波曲线，周期为2 s。

图11 右后（左前）第1关节角速度曲线

通过对比角速度分析可以发现，作为驱动腿的右后腿，是我们人为输入的周期性的角速度，与之相对应的是左前腿每个周期的后半周期（如图12）。

图12 右后（左前）第2关节角速度曲线

作为预先设定的驱动腿，右后、左前关节的角加速度是不受其他因素干扰的，角加速度图线是平滑的正弦波曲线（如图13）。

图13 机器狗右后（左前）关节1角加速度曲线

驱动腿关节2的角加速度曲线在其处于摆动相时，只受关节马达的力矩作用，所以其角加速度曲线呈平滑的正弦波，但在与地面接触时，受到地面的影响，导致角加速度曲线不再是平滑的正弦波曲线（如图14）。

图14 机器狗右后第2关节角加速度曲线

右前（左后）腿作为从动腿，在初始驱动的瞬时，获得一个不为0的角速度，角加速度相应发生突变。开始运动后第一个周期，由于右前左后小腿处于还未发生位移的支撑相，主要是关节1的马达输出力矩推动机器人前进，所以小腿第2关节的力矩处于接近于零的状态。在触底后的支撑相中，第2关节的角加速度在地面作用力与本身马达力矩的综合作用下，角加速度图线不再呈现平滑的变化（如图15）。