立足学生实际 发展理性水平——“有理数乘法法则”的设计与思考*

叶新和 姚娟妹

(江苏省泰州医药高新区(高港区)教育局 225300)

1 应然:设计思路

有理数乘法法则,尤其是“负负得正”,历来是学习的难点.直接告知学生“负负得正”的正确性,副作用很明显:有的学生如“杂交水稻之父”袁隆平(1930—2021)会认为“数学是不讲理的”[1],有的学生如法国文豪司汤达(1783—1842)会困惑,心想是老师在骗他还是数学本身就是一场骗局[2].有学者试图给出七年级学生能够接受的证明[3,4],但仔细分析,其中均有值得商榷之处[3].这也从反面表明了严格的证明必须应用整数环的有关知识(在整数环的公理系统中可以严格地证明负负得正这个法则[5]),然而整数环的知识又远远超出了七年级学生的接受能力.

教育是培养人的活动,这是教育与其他一切社会现象的根本区别[6]3.教育必须要遵循儿童身心发展的规律.无论是制定教育计划、选择教育内容,还是采取有效的教育方法,都必须从儿童发展的实际出发,满足儿童发展的需要[6]8.从新世纪我国课程改革的理论基础来看,人本主义思想是其心理学理论基础,其课程观的主旨是促进人的全面发展[7].可见学习必须立足学生实际,以学生可接受为前提.数学学科在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用[8]1,这也是数学学科的核心作用.与此相匹配,“初步养成讲道理、有条理的思维品质,逐步形成理性精神”[8]6是《义务教育数学课程标准(2022年版)》中设定的课程目标.

基于上述分析,笔者以为有理数乘法法则学习设计的应然思路为:以人本主义思想为指导,立足学生实际、以学生可能的接受能力为前提,在有理数乘法法则的探索、理解与运用中尽可能发展学生的理性思维水平.

2 实然:学习过程

2.1 课前准备

(1)用正负数来表示:

①若规定水位上升记为+,则水位上升 2 cm记为cm,水位下降6 cm记为cm.

②若将现在时刻作为基准,记为0,则3小时前记为小时,3小时后记为小时.

设计意图巩固旧知,为后面利用水位升降模型验证有理数乘法法则作铺垫.

(2)会利用计算器输入负整数.

2.2 探索活动1:利用计算器探索乘法法则的必要性

情境1 星期天,小明带着刚收到的生日礼物(计算器)找小颖玩,发现她正在做下面的试题.

计算:1)(+2)×(+3)=;2)(+1)×(+3)=;3)0×(+3)=.

小明说:“小学生都会的.”小颖指着下一页说:“还有4)(-1)×(+3)=;5)( )×(+3)=;6)(-3)×(+3)=.式子5)中被乘数被油墨污染了,看不清楚.要是你能写出答案,我就相信你厉害.”“这是有规律的,”小明仔细看了看,将计算器递给小颖,说:“我直接写结果,你利用这个来验证.”验证后小颖发现了这组式子及计算结果的规律.

问题1(1)式子5)中被污染的地方是什么数?说说你的想法.

(2)你也能直接写出这些式子的计算结果吗?说说你是怎么想的,并用计算器验证.

设计意图将不熟悉的“负数×正数”的计算问题转化为容易解答的找规律问题来解决,同时创设了利用计算器进行验证的情境.

问题2假如小颖做的是下面这题.

计算:7)(-3)×(+2)=;8)(-3)×(+1)=;9)(-3)×0=.

(1)你能仿照情境1中方法得到式子7)的计算结果吗?说说你的办法并用计算器验证结果是否正确.

(2)猜一猜式子8)和9)的计算结果,验证你的猜测.

(3)猜测式子10)(-3)×(-1),11)(-3)×(-2),12)(-3)×(-3)的计算结果,并验证.

设计意图式子7)与10)不断引发学生的认知冲突,以此发展问题意识.继续让学生经历观察—分析—猜测—验证的过程,以积累探索与发现的经验,同时初步发展了理性思维水平.

2.3 探索活动2:总结乘法法则的必要性

情境2 如果小明与小颖交流时,小颖的小妹妹不小心将计算器碰掉在地上,无法显示计算结果.此时该怎样计算(-5)×(-6)呢?说说你的想法.

设计意图计算器在计算时起着“脚手架”作用.为发展理性思维,需要尽快拆除.

问题3任意两个有理数相乘,你会确定它们的乘积吗?试用语言来描述.(乘法法则内容略)

2.4 探索活动3:验证乘法法则的合理性

情境3 计算器碰掉在地上,计算(-2)×(+3)时如果小颖的计算器显示结果为“-8”,小明的显示结果为“-6”,又该怎么办呢?一筹莫展中,数学老师来家访,提醒他们可以试着用水位变化的生活实例来说明.经过讨论,两人觉得可借助实例“将现在水位记为0 cm.如果水位每小时下降2 cm,那么3小时后的水位比现在下降6 cm”来说明.

问题4(1)在上述实例中,“-2”“+3”“-6”分别表示什么?

(2)类似地,等式“(+2)×(-3)=-6”的正确性可用水位变化实例“将现在水位记为0 cm.如果水位每小时(填‘上升’或者‘下降’) 2 cm,那么3小时(填‘前’或者‘后’)水位比现在(填写‘高’或者‘低’)6 cm”来说明.

(3)试用水位变化实例来说明等式(-2)×(-3)=+6的正确性.

设计意图借助生活经验来验证有理数乘法法则的合理性,继续发展理性思维水平.

2.5 例题讲解

(1)计算:1)(+4)×(+6);2)(-4)×(+6);3)(+4)×(-6);4)(-4)×(-6).(规范过程略)

(2)观察算式1)与2)、算式1)与3),你有何猜测?(注:当被乘数、乘数中有一个变成它的相反数时,所得乘积变成原来的相反数)

(3)你能从这组算式中选择另外两个来验证你的猜测吗?

(4)任意选择两组具备你猜想特征的算式,计算并验证你的猜测.

设计意图巩固新知,继续发展探索与概括能力,发展理性思维水平.

2.6 课后练习

习题1 判断下列各式是否正确并说明理由:

(1)(-2)×(-4)=-6;

(2)(-2)+(-4)=+8.

设计意图呈现学生常见错误,引导学生进行思辨,同时继续培养问题意识.

习题2 (1)在横线处填上“>”“<”或者“=”.

1)(-2)×(-3)(-3)×(-2);

2)(-9)×(-6)(-6)×(-9).

(2)对此,你能提出什么问题?能用其他算式来验证吗?能用语言来描述你的发现吗?

(3)根据小学学习乘法运算律的经验,你还能提出什么问题?

设计意图引导学生初步探索有理数运算律,为后续学习作铺垫,同时发展问题意识.

3 回顾与反思

3.1 立足学生实际

立足学生实际,意味着要根据学生已有的数学“四基”情况确定合适的学习起点,要充分发挥学习用品在探索中的作用,根据学生的接受能力来预设学习收获.

(1)要创设合适的学习起点.对于七年级学生而言,“负数×正数”“正数×负数”“负数×负数”均不熟悉.教学中设计按照一定规律排列的多个算式,从横向看为有理数乘法的各种情形,从纵向看变成分别找被乘数、乘数以及积的规律,这样起点较低,直指新学内容,便于启迪学生思维.

(2)要巧搭法则探索的“脚手架”.收到生日礼物去好朋友面前适当“显摆”,是初中生的正常心理.对于情境1中的1)～6),如果有学生一开始不能或者不敢猜测,那么根据计算器计算的结果进行猜测,显得更有必要,既验证了猜测结果的正确性又能有效树立学生的学习信心.如果情境1中的1)～6)、问题2中的7)～12)计算结果不正确,后续猜测、归纳有理数乘法法则便无从谈起,可见计算器在有理数乘法法则的探索中起着必不可少的“脚手架”作用.

(3)要构造容易理解的生活实例.目前尚未发现七年级学生能理解的、用数学知识来验证的方法,要进行验证需要从数学内容之外寻找实例.在学生熟悉的生活实例中,水位变化涉及到的3种量其正负性规定最为自然,此时乘法的意义也与学生生活经验一致,构造水位变化的实例来验证是可取办法.由于“构造”对于学生来说难度颇大,注意到学生已经猜测得到了有理数的乘法法则,让学生在模仿与类比的基础上“构造”出相应生活实例,进而能够确认等式的正确性即可.

3.2 不断发展理性思维水平

先猜测再验证以及发展推理能力(意识)是发展学生理性思维水平的两种基本做法.

(1)形成“猜测后及时验证”的思维习惯意味着学生的理性思维达到较高层次.为发展理性思维水平,本设计中通过多种形式来进行验证.首先是借助计算器进行验证.计算器作为常见学习用品,用于验证猜测结果,既顺理成章又随手可得.其次,在总结出乘法法则后借助水位变化的生活经验进行验证.有理数乘法法则是根据特殊情形进行猜测而得到的,在得到验证之前,法则仅仅是“可能如此”.为突显通过生活实例进行验证的必要性也是消除“袁隆平”们、“司汤达”们可能产生的误解与困惑,根据手表定律创设了“摔后两只计算器显示结果不一致”的情境.(手表定律内容为:一个人只有一只手表时,可以清楚地知道现在是几点,而当他同时拥有两只显示不一致的手表时,会失去对准确时间的认定[9].)需要指出的,即使是错误显示的结果,也要精心选择真实可信的情形,以“deli 837ES”型桌上计算器为例,当数字右上角的“∣”强行显示时,数字0至9中,“6”显示为“8”、“5”显示为“9”,其他数字则能正确显示.不同的显示结果令学生无所适从.此处仅验证了具体情形.学生学习了用字母表示数后可验证一般情形(等式“(-a)×(-b)=ab(其中a,b为正有理数)”的正确性可用水位变化实例“将现在水位记为0 cm.如果水位每小时下降acm,那么b小时前的水位比现在高abcm”来说明).验证之后,对有理数乘法法则的看法会由“可能如此”变成“应该如此”,理性思维水平得到显著提升.最后是在例题讲解环节再次提供先猜测再验证的机会.根据“教—学—评一致性”设计了例题,试图一举多得:既是新知(有理数乘法法则)、新视角(寻找数学等式间关系)的应用,更是对“猜测后及时验证”做法的强化,以继续发展理性思维水平.

(2)在有理数乘法法则的学习与运用中发展推理意识.学习过程中教师在多处让学生判断时说出想法,是外显思维过程,希望展示支撑判断的理由或者依据.例题讲解中根据有理数乘法法则来确定计算结果的符号以及绝对值,突出了法则的指导作用,做到“算必有据”.

需要指出的是,理性思维能够发展达到的程度由学生的接受能力确定.基础不同、接受能力不同的学生,能够达到的理性思维水平会有差别.第二部分“实然学习过程”是给思维能力较强的学生提供的一种学习路径,实际教学中应该根据学生情况作些补充与删减.