关于追击相遇问题的探讨

周军平

【摘要】追击和相遇问题是物理必修一运动学部分的一类重要题型，主要考查学生对两物体运动过程的分析和相关物理量的求解，其核心是分析两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置.这类问题一般都源于生活实例，与学生生活密切相关，很好地体现出物理学科的核心素养.

【关键词】追击相遇问题；高中物理；解题方法

追击相遇问题是高一物理运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，同时也是高考物理考查的热点.它通常会涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同.对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认物体间运动的速度关系、时间关系和位移关系.

1 核心知识：一个条件，两个关系

一个条件是：两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是判断是否能追上的机会条件（到速度相等时，如果还没有追上，后面往往就再也没有机会），所以速度相等是分析判断的关键切入点.

两个关系是：时间关系和位移关系.

时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后运动等；而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后等，通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，这对帮助我们理解题意，启迪思维大有好处.

2 处理追击和相遇问题的基本思路和常用解题方法

两个物体在同一直线上运动，往往涉及追击、相遇或避免碰撞等问题，解答此类问题的关键条件是：两物体能否同时达到空间中的某位其中置.

基本思路：①分别对两物体进行研究；②画出运动过程示意图；③列出位移方程；④找出时间关系、速度关系；⑤解出结果，必要时进行讨论.

常用解题方法：

（1）列式法：当二者速度相等时，二者相距最远（最近）.抓住这个临界条件列式求解.

（2）数学判别式法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ=0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇.

（3）图象法：画出x－t图象或v－t图象，然后利用图象进行分析求解.

（4）相对运动法：巧妙地选取参考系，找出两物体间的相对运动关系进行求解.

笔者这里通过一个例题来讲解学习、巩固该题型的常用解题方法.

例题 如图1所示，在倾角为θ的光滑斜面顶端有一质点A自静止开始自由下滑，与此同时在斜面底端有另一质点B自静止开始以加速度a背离斜

面在光滑水平面上匀加速运动， A下滑到斜面底端时能沿光滑的连接处平稳朝B追去，重力加速度为g，试求：为使A不能追上B，a的取值范围应是多少？

解法1 列式法

A滑到底端后做匀速直线运动，在B的速度等于A之前，两者距离越来越小，若速度相等时A未追上B，则速度相等后也不会追上，因为A、B距离又越来越大，可知A要追上B，则追上B时，A的速度必大于或等于B的速度.显然a越大，A越难追上B，a大到某临界值时A恰能追上B，超过此值A便不能追上B.

A在斜面上做匀加速运动，设A到斜面底部的速度为vA ，所经过的时间为t1=vA/gsinθ ，之后A匀速，B匀加速，设又经过时间t2后，A恰好能追上B.A恰好能追上B的临界条件是vAt2=1/2a（t1+t2）2，

vB=a（t1+t2）=vA，两式相除得t2=t1，可得a的临界值为a=1/2gsinθ.

綜上所述，为使A不能追上B，a的取值范围应为a>1/2gsinθ.

此种方法求解方便快捷，无须探究物理过程，运用数学知识简单明了.

解法3 图象法

图象法是描述物理过程、揭示物理规律、解决物理问题的一种重要方法，在解决很多物理问题时往往更直观、更形象、更简洁，有列式法不可替代的优越性.

分别做出A和B两质点的v-t图象，如图2所示.

解法4 相对运动法

追击相遇问题相对复杂的地方在于两个物体均在运动，若是能令其中一个物体静止不动，那么就变成了一个物体的匀变速直线运动，一般以前车为参考物即可.注意此时的临界条件为后者A相对于前者B的速度为0时，A相对于B的位移为0.此方法只要找准了相对速度及加速度，那么不管是计算量、还是分析难度都将大为减小.

设A在斜面上运动的时间为t，到达斜面底端时速度vA=gsinθ t，此时B的速度vB=at，位于斜面底端左侧x=1/2at2处.

当A到达了光滑的小弯曲部分处时，以B为参考系，A的相对初速度为 Δv=vA－vB=（gsinθ－a）t，相对加速度为在Δa=0－a=－a，在x距离内相对速度要减为零.

则由02－Δv2=－2·Δa·x，

（gsinθ－a）t2=2·a·1/2at2，

化简成gsinθ－a=a，得a=1/2gsinθ，

即加速度的取值范围为a>1/2gsinθ.

3 结语

综上所述，在处理追击与相遇问题时，要紧抓“一图三式”，即过程示意图、时间关系式、速度关系式和位移关系式.若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意，追上前该物体是否已停止运动.仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖出题目中的隐含条件，如“刚好”“恰巧”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件.还有其他模型，解题技巧都大同小异.重要的是学会分析运动过程，找到不同物理量之间的关系，培养分析综合能力，从而培养物理学科核心素养.

参考文献：

[1]刘玲，例析追击和相遇问题的解题思想和方法[J].中学物理，2013，31（12）：66-68.

[2]陈红艳，例析追击和相遇问题的解题方法[J].数理化结题研究初中版，2016，23（08）：10.