“数学整体教学”在指向儿童关系性的理解中建构

☉张晓晓

教育的最终目的是激发儿童的自我潜力，引导他们的自我发展。“数学整体教学”，即数学教师在整体观和系统论的指导下展开的“有发生”“在发展”“有成效”“会应用”的教学实践。小学数学的整体教学要求数学老师能站在整体的高度，坚持数学素养的纲领，整合数学核心的观念，重组数学教学的内容，基于数学整体的组织，构建整体的能够关联的儿童学习状态。

“数学整体教学”有三要素：一是“整体”，这是教师开展学科教学的基本观点，它关注的是学生过去的积累、现在的状态和将来的发展，关注的是数学知识自身的逻辑关系和先后发生发展的规律；二是“数学”，它是学生学习的核心内容，“数学”的主要任务是学生在教师的“教学”中能够提高思维的能力、提升数学的素养；三是“教学”，它是教师工作的核心内容，在教师的整体设计中学生能够呈现系统的自主的学习生态。因此，小学数学的整体教学是儿童的经验、数学的知识和现实的世界三者之间整体关联的兼顾，它强调儿童的主体地位，以及儿童对数学知识之间关系性的理解。

教育部发布的《义务教育数学课程标准（2022 版）》中强调“数学研究的是数量关系和空间形式，它来源于人们对现实世界的抽象，对数量及其关系的抽象，对图形及其关系的抽象，从而发现数学的研究对象，得到各种研究对象之间的关系。”这句话更进一步强调了“数学的教学离不开数学研究对象之间关系性理解”。关系性理解，即儿童能够厘清数学知识体系中各种要素之间的相互关系和相互作用，他们对数学知识及其意义获得的途径，数学规律的逻辑依据有着深刻的认知。因此，数学整体教学，既要让学生掌握数学知识，又要让他们理解数学知识的形成和发展过程，弄清数学知识的“前世今生”，更要让他们找准数学知识的生长点和发展点，建构结构化的体系化的认知框架。

一、全局观：数学知识从点状走向整体

在当前的很多数学课堂里，我们会发现数学教学呈现碎片化，究其原因是教师在设计每一课时的内容时，割裂了学生知识的生长点，忽视了学生已有的知识经验，同时，教师既没有梳理出数学知识的“前因后果”，也没有准确定位学生已有的知识经验，更没有预设他们后续的发展水平。而数学的核心素养不是体现在单个的知识点，而是隐藏在知识体系中。因此，数学整体教学要从学生已有的经验出发，找到新旧知识之间的相互联系，关注他们对现有知识的理解程度，预设他们可能的发展水平，整体设计教学内容，用全局观让数学知识的教学从点状走向整体。［1］

小学阶段的数学以运算的学习为主线。运算的教学要基于算法和算理——算法就是“怎么算”，是运算的程序，是运算的步骤，无论是运算的程序还是运算的步骤，都要遵循一定的规则；算理则是“为什么这么算”，是算法的原理。在实际教学中，教师不仅要引导学生搞清楚怎么算，还要让他们在各种表征方法中理解为什么这么算。这就要求在运算教学中，儿童在算法的掌握中明晰算理，厘清算法和算理的关系，既掌握算法又理解算理，才能达到关系性理解，数学的学习才更有意义。

【课例1】学生第一次接触“混合运算”这个概念是苏教版三年级数学下册，这个内容既是小学阶段“数的运算”的教学节点，又是“四则混合运算”的起始课。这节起始课的教学重难点是理解并掌握“运算顺序：没有小括号时，同一级运算从左往右算，含有两级运算时，先乘除后加减；有小括号时要先算小括号里面的”。教师可以引导学生以画图表征或语言表达等方式，结合具体的“购物”情境理解算法和算理。其实，在低年级的数学学习中，学生在一年级已接触到连加、连减、加减混合，在二年级已接触到乘加、乘减的混合运算，在这些接触中，学生逐步形成了运算顺序的思维定势——从左往右。因此，在本节课的开始，教师可以立足学生已有的知识起点，从“连加连减”和“乘加乘减”两组计算题的对比入手，让学生认识“什么是混合运算”，感受“混合运算有运算顺序”。接着，教师创设购物情境，引出“买3 支钢笔和1 盒水彩笔，一共需要多少元”“用50 元去购买3 本笔记本，还剩多少钱”等问题。学生在自主探究、合作交流的基础上尝试将两道算式合并成一道综合算式，在计算时他们结合付钱的实际发现算式中有乘法和加法（减法）时，都要先算乘法，不管乘法写在前面还是后面。此时，学生心中有了认知的冲突“以前不管是乘加还是乘减都是从左边开始算的，今天先算乘法却是从右边开始的”。接着，教师引导学生将今天的算式和以前的算式进行对比，他们发现“乘加和乘减的算式中因为乘法写在前面，所以先算乘法，就要从左往右计算”，与今天“先乘除后加减”的运算顺序并不矛盾。

在这个课例中，学生产生了新知识和原有认知上的冲突，此时教师舍得留足探究的时间，在慢慢的感悟和深刻的理解中，在经历了猜想、辨析和表征后，学生充分理顺了新旧知识间的关系，发现了新规律，获得了新经验。

二、问题观：引导探究从被动走向主动

数学整体教学是在大概念统整下的教学。此处的大概念，是最能反映数学本质的、具有共识性的统领性的核心概念，不是数学知识中某一个具体的概念。大概念落实到具体的课堂中，就是能够引发学生持续思考、深刻探究的核心问题。因此，教师要树立问题观，引导学生的探究从被动走向主动，将宽泛的大概念与具体的数学知识关联，将“抽象”的学科知识转化成“形象”的数学问题。［2］

【课例2】苏教版五年级数学上册有一节探索规律的数学活动课《钉子板上的多边形》。这一课的教学重难点就是“探索、归纳钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系”，这个规律比较隐蔽，学生无法直接探究出来。因此，教师可以创设问题情境，用有意义的具有进阶性的问题激发学生的探究兴趣，引发他们的思考，自然地开展各种探究活动。

▶出示几组平面图形，这些平面图形都在钉子板上，图形里面只有一颗钉子（相邻横着或竖着两颗钉子间的距离都是1 厘米，相邻四颗钉子围成的正方形的面积是1 平方厘米）。

教师提问：这些图形的面积与图形边上的钉子的数量有关系吗？如果有关系，是什么样的关系呢？

这个问题学生易于探究，在操作、计算、谈论中，他们发现“多边形的面积＝多边形边上钉子数÷2”。

教师再围几个任意多边形，跟学生一起验证刚才的发现，学生发现老师围的多边形面积有时符合规律，有时不符合规律。

教师提问：符合这个规律的图形有着什么样的共同点？

在学生交流中，教师完善刚才发现规律的前提就是“多边形里面只有1 枚钉子”时，多边形的面积才等于多边形边上钉子数的一半（多边形的面积乘2 等于多边形边上钉子数）。

▶教师提问：钉子板上图形的面积除了跟边上钉子数有关，跟里面的钉子数有关吗？如果多边形的里面有2 颗钉子、3 颗钉子，甚至更多，对于多边形的面积有什么影响呢？

这个问题打破了学生固有的思维，不同的组有了不同的研究目标，在组内也进行了分工，有的围的图形内部有2 颗钉子，有的围的图形内部有3 颗钉子，有的围的图形内部有5 颗钉子……在全班同学的合作与交流中，他们发现图形内部的钉子影响着图形面积与图形边上钉子数的关系。在学生的小结中，教师不断完善着规律：

A 表示图形内部的钉子数，S 表示多边形的面积，n 表示多边形边上的钉子数

当a ＝1 时，S ＝n÷2；

当a ＝2 时，S ＝n÷2 ＋1；

当a ＝3 时，S ＝n÷2 ＋2；

猜想

当a ＝m 时，S ＝n÷2 ＋（m－1），这个是否成立，需要继续验证。

在这个课例中，教师帮助学生找到了知识间联系的媒介，即儿童的关系性理解。因为数学知识的学习从来都不是独立的，因为数学知识之间就是相关联的。基于关系性理解的数学活动，不仅可以帮助学生克服惰性，又可以让他们在数学知识、数学方法和数学思想之间主动建立起联系，还可以建构起数学知识的网络体系，使他们能够有效掌握数学知识，高效培养数学技能。

三、任务观：抓住建构从零碎走向关联

美国著名的教育心理学家布鲁纳认为：学生必须掌握学科的课程结构，这样既有助于理解和掌握新旧知识，又有助于开展后续的数学学习。［3］根据布鲁纳的结构课程论，教师在选择和编排教学内容时，要先理清数学知识体系中的核心，再弄清各个知识点之间纵向和横向的联系，最后在教学过程的设计中体现数学知识和学生认知之间的联系。正如，郑毓信教授所说：“教学数学知识不求全面而求关联，教学数学技能不求全面而求变化。”数学学科中基本的概念、学习的方法、数学的思想等都是有着联系且又能互相作用的有机整体，数学教师在教学时，首先要让点状的零碎的知识点形成纵横交错的知识网，其次要借助多元表征建构数学概念，关联数学方法，建构数学思想。因此，教师要善于用关联性的任务去驱动学生的学习，用几个有关联的，有层次的任务，或具有连续性和一致性的任务群，去实现数学知识和数学思想的关联。

【课例3】苏教版三年级数学上册中有一个数学实践活动是“间隔排列”。该活动的教学重难点是让学生经历“一一间隔排列”规律的探索过程；找到“首尾不同，两者个数相同；首尾相同，两者个数相差1”的规律；会运用规律解释并解决生活中的实际问题。对于“一一间隔排列”的现象，学生在平时生活中已有大量的经验。这种经验是无意识的，教师要帮助学生理解与建构“一一间隔”的规律。因此，教师要设计层次化、结构化、螺旋式的任务，帮助学生获得活动经验的积累和数学素养的生长。

▶初见规律：教师提供大量的生活物体的排列实例，学生在观察、讨论和交流中，发现这些现象的共同特征就是“两种物体一个隔着一个排列”。

▶初探规律：两种物体一一间隔，有几种情况？这时候这两种物体的数量之间有什么关系？教师提供几个白球和黑球，让学生摆出一一间隔排列的情况。在学生的猜想、操作和交流中，教师画下四种情况（第一个是黑色，最后一个可能是黑色，也可能是白色；第一个是白色，最后一个可能是白色，也可能是黑色）。白球和黑球的个数可能相同，也可能相差1。

▶理解规律：将上述的四种情况进行分类，通过学生的辨析，这四种情况实际上是两种类型：首尾相同和首尾不同的，当首尾相同时，白球和黑球的数量相差1；当首尾不同时，白球和黑球的个数相同。

接着，教师将白球和黑球一一间隔排列并围成一圈，让学生辨析这种情况是属于首尾相同还是首尾不同。学生将白球和黑球两两分组后发现，围成一圈就是首尾不同的类型。

上述课例中，“一一间隔排列”的规律有着逻辑规律：首尾相同和首尾不同，但是却散落在一个个具体的实例中。这时教师能够抓住核心的规律，从大概念入手，通过操作白球和黑球进行一一间隔排列，将相关的规律联系起来，学生很快找出一一排列的两种类型，即首尾相同和首尾不同。在不同情况的梳理中，学生很快建构起知识的框架。学生理顺了数学知识与生活的联系，便顺利建立起知识体系，更好地理解了数学知识的本质，有效建构起数学概念。

四、运用观：帮助迁移从机械走向灵活

整体教学中在学生建构起知识结构后，需要将数学知识进行运用。这种运用不是简单机械地模仿，而是在多种表征的帮助下，既能理解知识的内涵，又能丰富知识的外延。

【课例4】苏教版五年级数学上册第四单元《多边形的面积》，这个单元安排的内容有比较图形的面积、认识平行四边形、三角形和梯形的底和高，从推导平行四边形面积计算公式的过程中渗透“转化”思想，新图形转化为已探究过的图形，所以教学的重难点定位为关注学生理解数学思想、梳理不同图形之间的关系。

在平行四边形的面积推导中，教师要引导学生猜想、验证、交流、总结，建立起“平行四边形”和“长方形”的联系，理解图形变化前后相关元素的关系，总结出平面图形公式推导的一般方法——转化。有了平面图形的推导经验，学生在探究三角形和梯形的面积推导公式就显得“如鱼得水”，并能从“机械”变得“灵活”，能举一反三地运用“转化”的策略多种形式地探究规律。

综上所述，数学整体教学要求教师把握数学学习的核心要素，培养学生关系性理的能力，建立学生数学知识的体系，让学生对数学学习有“全景式”的认识和把握。