初中几何问题中线段长度的求解技巧探究

卢晓雨

摘要：平面几何是初中数学知识中重要的一部分，线段长度的变化影响着图形的大小、形状.考查线段长度的形式多种多样，相关的问题也都十分灵活.求线段长度的基本方法有等面积法、利用勾股定理、利用相似等.本文中结合不同例题，具体分析解答求线段长度问题常见的解题思路.

关键词：平面几何；线段长度；解法思路

求线段的长度是初中几何的基础问题.解这类题目要综合考虑线段的位置关系，通过题干信息的提取，采用合适的方式进行求解.

1 利用等面积法

等面积法是指用不同方式表示同一平面图形的面积，通过面积的相互转化或面积与边、角关系的互相转化，而使问题得到解决的方法.对于三角形而言，就是指利用三角形的面积自身相等的性质，或根据等高（底）的两个三角形的面积之比等于对应底边（对应高）的比等进行解题的一种方法.利用等面积法解题具有便捷、快速的特点.解题思路大致为：①根据已知条件通过面积的相互转化或面积与边、角关系的互相转化，用不同方式表示同一三角形的面积；②通过题中已知条件进行运算即可求出所求线段长度[1].具体解题思路和步骤如以下例题所示.

例1 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，

BC=3，CD是斜边AB上的高，求CD的长度.

分析：首先根据题中已知条件，可知在一个直角三角形中∠C=90°，以及AC和BC的长度，从而可求得AB的长，又根据CD是斜边AB上的高，通过面积与边、角关系的互相转化，最后进行运算即可求出所求CD长度.

解：∵∠C=90°，

AC=4，

BC=3，

∴AB=5.

又CD为斜边AB上的高，

∴S△ABC=AC·BC

=AB·CD.

∴4×3=5CD.

例2 如图2，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AD=4，BC=6，AC=5，P是AB边上的一点﹐且△PBD是以BP为底的等腰三角形，求线段AP的长度.

分析：首先根据题中已知条件，可得AD⊥BC.再根据面积相等可得DH长度.同理，可得BH长度.最后根据等腰三角形的“三线合一”性质，得到PH=HB，求出PB长度，从而求出线段AP长度.

解：过D作DH⊥AB，垂足为H.

∵AC2=AD2+CD2，

∴∠ADC=90°.

∴AD⊥BC.

在△ABD中，根据面积相等可得

在Rt△BDH中，求得

根据等腰三角形的“三线合一”性质，得

PH=HB，AB=AC=5.

2 利用勾股定理

已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2.因此，在直角三角形中，已知任意两边长，可求第三边长.构造出直角三角形，用勾股定理建立方程求线段长度的解题思路大致为：①根据已知条件构造直角三角形；②利用勾股定理建立方程；③通过计算求出所求线段长度[2].具体解題思路和步骤如以下例题所示.

例3 如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，

BC=3，CD是斜边AB上的高，求CD的长度.

分析：首先根据题中已知条件，可知在一个直角三角形中，∠C=90°，以及AC和BC的长度，从而可求得AB的长.再设BD=x，表示出AD.又因为CD是斜边AB上的高，最后利用勾股定理建立方程，通过计算即可求出所求线段CD的长度.

解：∵∠C=90°，

AC=4，

BC=3，

∴AB=5.

设BD=x，

则AD=5－x.

∵CD为斜边AB上的高，

∴在Rt△ADC与Rt△BDC中，有

CD2=AC2－AD2

=BC2－BD2.

∴42-（5-x）2=32－x2.

分析：首先根据题中已知条件，设CE=x，CD=y，再表示出AC和BC，最后利用勾股定理建立方程，通过计算即可求出所求线段AB的长度.

解：设CE=x，CD=y，

∴AC=2x，BC=2y.

∴在Rt△ACD与Rt△BCE中，有

（2x）2+y2=25，

（2y）2+x2=40.

∴x2+y2=13.

∴AB2=AC2+BC2

=4x2+4y2=52.

3 利用相似

利用相似求线段长度是根据边角关系发现相似三角形的模型，从而通过运算得到所求线段长度.解题思路大致为：①根据已知条件构造出相似三角形;②设相应线段为x，建立方程;③通过计算即可求出所求线段长度.具体解题思路和步骤如以下例题所示.

例5 如图5，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN中，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，求线段AP的长度.

解：如图6，作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R，则

∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°.

∴四边形PQBR是矩形.

∴∠QPR=90°=∠MPN.

∴∠QPE=∠RPF.

∴△QPE∽△RPF.

∴PQ=2PR=2BQ.

∵PQ∥BC，

∴AQ∶QP∶AP=AB∶BC∶AC

=3∶4∶5.

设PQ=4x，

则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x.

∴2x+3x=3.

∴AP=5x=3.

根据上述不同的求线段长度例题的分析，可以得到求线段长度的基本方法有等面积法、利用勾股定理以及利用相似等.针对不同类型问题，采取相应的解题方法进行解答.在解题过程中，应加强对问题条件的分析应用，借助已知条件和相关性质去灵活解答，以此提高解题效率.同时，也希望同学们谨记各方法的注意事项，记住各方法的适用条件，在考试中灵活加以运用，避免出现错误.

参考文献：

[1]程长宾.求线段长度最值的常用方法[J].初中数学教与学，2012（23）：24-26.

[2]李丹.连结两中点所得线段长度问题的求解策略[J].初中数学教与学，2017（17）：23-25.