分析错因，纠正错误，寻找方法

赵玉兰

在初中几何教学中，我们经常看到学生有一些似是而非的证法：有的是没有完全理解题意，有的是理由不充分，有的是以偏概全、以局部代替整体，有的是误解或误用了性质、定义、定理、公式，有的是作图误导，还有循环论证、偷换概念、推理步骤不规范等多种错误.教师如果能够弄清学生产生这些错误的原因，及时给予纠正或作为典型例题进行讲解，就能帮助学生在今后的学习中尽量避免或减少这些错误的发生.下面笔者列举了一些证明三角形全等的错例，侧重错因分析与正确证明的比较，供学生学习时借鉴、参考.

例1 如图1，已知点A，E，F，D在同一直线上，且AE=DF，CE=BF，CE∥BF.求证：AB=CD.

错证：在△ABF和△DCE中，CE=BF，AE=DF.

∵CE∥BF.

∴∠1=∠2.

∴△ABF≌△DCE（SAS）.

∴AB=CD.

错因分析：错证犯了“以局部代替整体”的错误.在AE=DF中，AE是AF的局部，DF是DE的局部，绝不能因为AF，DE有公共部分EF，就以局部相等来代替整体相等.

正确证明：∵AE=DF，EF=FE，

∴AE+EF=DF+FE，即AF=DE.

又∵CE∥BF，

∴∠1=∠2.

∴△ABF≌△DCE（SAS）.

∴AB=CD.

例2 已知AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，AB=A′B′，BC=B′C′，AD=A′D′.

求證：△ABC≌△A′B′C′.

错证：如图2，

∴BD=B′D′.

在△ABD和△A′B′D′中，AB=A′B′，BD=B′D′，AD=A′D′，

∴△ABD≌△A′B′D′（SSS）.

同理，△ADC≌△A′D′C′.

∴△ABD+△ADC≌△A′B′D′+△A′D′C′.

即△ABC≌△A′B′C′.

错因分析：错证犯了两个错误.第一是用了不合理的“同理”，△ADC≌△A′D′C′与△ABD≌△A′B′D′的理由不相同，要证△ADC≌△A′D′C′，须证∠ADC=∠A′D′C′，根据“SAS”来证;第二是由两对全等三角形之和推出△ABC≌△A′B′C′的理由不充分，倘若两对三角形不具备对应位置相同的条件则不全等，例如图2（1）与图3中，虽有△ABD≌△A″B″D″，△ADC≌△C″B″D″，但△ABC与△A″B″C″并不全等.

正确证明：

∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，

∴BD=DC，B′D′=D′C′.

∵BC=B′C′，

∴BD=B′D′.

又∵AB=A′B′，AD=A′D′，

∴△ABD≌△A′B′D′（SSS）.

∴∠BAD=∠B′A′D′，

∠B=∠B′.

在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.

例3 如图4，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠C=∠D.求证：AC=BD.

错证：连接AB.

∵AD=BC，∠C=∠D，AB=AB，

∴△ABD≌△BAC（SSA）.

∴AC=BD.

错因分析：错证的原因是应用了“边边角（SSA）”这个假定理.为什么说它是假定理呢？请看图5，将等腰三角形ABC的底边BC延长线上的任一点D和顶点A相连，在△DAB和△DAC中，

满足AB=AC，AD=AD，∠D=∠D，但这两个三角形显然不全等.

正确证明：在△AED和△BEC中，∠AED=∠BEC，∠D=∠C，AD=BC，

∴△AED≌△BEC（AAS）.

∴AE=BE，DE=CE.

∴AE+EC=BE+ED，即AC=BD.

例4 有两角和一边分别相等的两个三角形全等吗？若全等，则给出证明；否则，请举出反例.

错证：如图6，在△ABC和△A′B′C′中，根据条件不同可分为两种情况进行证明.

（1）∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.

（2）∵∠B=∠B′，∠C=∠C′，BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.

综上，有两角和一边分别相等的两个三角形全等.

错因分析：本题的证明过程看似无懈可击，而且把两种情况（AAS，ASA）都考虑到了.但仔细分析后发现仍然错误，其原因是把命题中的“分别相等”当成了“对应相等”.实际上，如图7，在△ABC，△A′B′C′，△A″B″C″中，虽然∠A=∠A′=∠A″，∠C=∠C′=∠C″，BC=A′C′=A″B″，但它们却不全等.因此，结论应是不一定全等.

例5 有两边和一条高对应相等的两个三角形全等吗？若全等，则给出证明；否则，请举出反例.

错证：全等.证明如下.

当高是对应相等的两边中一边上的高时，如图8，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，CD和C′D′分别是边AB和A′B′上的高，且CD=C′D′.

在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，AC=A′C′，CD=C′D′，

∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′.

∴∠A=∠A′.

在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′.

当高是第三边上的高时，如图9，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD和A′D′分别是BC和B′C′边上的高，且AD=A′D′.

在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，AC=A′C′，AD=A′D′，

∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′.

∴∠CAD=∠C′A′D′.

同理可证∠BAD=∠B′A′D′.

∴∠BAC=∠B′A′C′.

又在△ABC和△A′B′C′中，

AB=A′B′，∠BAC=∠B′A′C′，AC=A′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′.

错因分析：本题的证明过程看似把两种情况都考虑到了，但忽视了“三角形的高不一定在形内”这种可能性.例如，若两个三角形一个为锐角三角形，另一个为钝角三角形，如图10中的△ABC与△ABC′，虽然AB=AB，AC=AC′，且它们第三边上的高都是AD，但显然这两个三角形并不全等.因此，结论是不一定全等.

综上可知，学生在证明过程中会出现各种各样的错误，这是一种正常现象，是学生思维过程的真实反映.在实际教学中，教师要帮助学生找到错误并分析产生错误的原因，并将学生的这种错误作为一种资源，因势利导，正确、巧妙地加以利用，纠正错误，使学生尽可能地减少错误，最终找到正确的方法，提高学习效率.