发掘隐含条件，巧设辅助元素

摘要：换元法是初中数学中一种能够灵活、广泛运用的简洁明快的解题方法，具有“化繁为简、化隐为显、变直接为间接”的优越性.本文中结合典型例题，通过对其解题思路与方法的分析点拨，探讨了如何在各类题型中灵活运用换元法解题的方法与技巧.

关键词：变形换元；原式换元；引进辅助元素换元；灵活运用

在初中代数中，换元法是一种能够灵活运用、十分重要且有效的解题方法.换元法，即变量替换，是把某个代数式看成一个新的未知数（元）来实施替换，其本质还是转化.通过这种转化能够达到“化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉、事半功倍”的效果[1].换元法被广泛地应用于解方程（组）、因式分解、代数式变形、化简求值、等式证明等各类数学问题的解答之中，现针对其常见的解题思路与方法作如下探讨.

1 代数式变形后换元

在初中数学中，学生已经学习了方程（组）的最基本的解法，而换元法是其中最方便、快捷且最具优越性的一种解法.它能够把高次降为低次、无理式化为有理式、分式化为整式，将复杂的方程化为简单的、最基本的方程，从而使方程（组）顺利得解.运用换元法解方程（组），关键是观察分析出能够换元的整式或分式，有时需要对方程（组）进行整理变形（如因式分解、配方、添拆项等）才能观察出如何换元[2].

例1 解方程：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）+15=0.

解：把原方程变形为（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=0.

设y=x2+8x+11，则原方程为（y-4）（y+4）+15=0，即y2-1=0，解得y1=1，或y2=-1.

所以得到方程x2+8x+11=1，或x2+8x+11=-1.

思路与方法：本题如果按照常规解题思路，即先把左边的括号全部展开，然后再分解，运算非常繁琐.所以需要换个思路，尝试将左边的四个因式分成两组，变成［（x+1）（x+7）］［（x+3）（x+5）］+15=0的形式，分别利用整式的乘法展开，再设辅助变量，用换元法求解.

由

［①2-②］÷2，得uv=2.

所以u，v可以看作是方程z2-3z+2=0的两根.因此可得

u=1，v=2;或u=2，v=1.

还原得关于x，y的方程组

由此易得原方程组的解为

经检验知，以上四组解都是原方程组的解.

2 利用原代数式换元

在因式分解时，將相同的代数式换元是最常用的方法.当题目中多处出现

相同的代数式时，可以把这个代数式设为一个字母（例如a），从而把整个代数式变为关于a的代数式.

例3 分解因式：（x2-4x）2-2（x2-4x）-15.

解：设x2-4x=a，则

（x2-4x）2-2（x2-4x）-15

=a2-2a-15

=（a-5）（a+3）

=（x2-4x-5）（x2-4x+3）

=（x-5）（x+1）（x-3）（x-1）.

思路与方法：通过观察发现，原代数式中x2-4x出现了多次，将它设为另一个字母后，既可以做到“设元务尽”（不再出现x），又便于继续分解.

例4 分解因式：（b+c-a）（c+a-b）（a+b-c）+a（a-b+c）

（a+b-c）+b（a+b-c）（-a+b+c）+c（-a+b+c）（a-b+c）.

解：设x=b+c-a，y=c+a-b，

z=a+b-c，则

思路与方法：凭经验可知，本题如果用整式的乘法展开、整理将会十分繁琐，需另想办法.通过对原式的观察发现，如果利用原代数式换元，设x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，那么x+y+z=a+b+c，y+z=2a，z+x=2b，x+y=2c，再进行代换就会使原式大为简化.从本题的解题过程中，我们可以再次感受到换元法“以一当多、便于观察、简化运算、开阔思路”的巨大优越性.

3 引进辅助元素换元

代数式的恒等变形是解决有关代数式问题的重要手段，当代数式的形式较复杂时，可以尝试运用换元法，通过引进辅助元素使其形式变得简单.

思路与方法：针对题设条件中的连等，引入辅助变量，将三个变量集中在一个变量上，从而简化了运算过程.

思路与方法：显然，本题如果按照去分母、计算、化简，由左边推出右边的常规方法来证明，将非常困难.但采用引进辅助元素代换的方法，不仅简化了书写，而且更容易发现各量之间的隐含关系，分子与分母不断分解，最终达到简化证明过程的目的.

4 结论

从上述典型例题的思路与方法的分析中可以看出，运用换元法解题具有很强的实用性和灵活性.利用换元法引入辅助元素时，需要根据问题的结构、特点灵活加以运用，只有引元恰当才能使运算过程得到简化；有些问题要经过适当的整理、变形，才便于换元时进一步利用条件中的隐含关系.

参考文献：

[1]贾永亮.“换元法”在初中数学解题中的应用[J].数理化解题研究，2017（35）：4-5.

[2]赖振华.换元法在初中数学解题中的应用[J].数理化解题研究，2020（17）：13-14.