聚焦图形本质 合理分类解题

李爱琴

摘要：分类讨论的思想方法贯穿整个初中教学教学，而图形与坐标又是初中数学的重要内容，因此，在教学中需要训练学生正确运用分类讨论思想，合理解决图形与坐标中平行四边形的相关问题.

关键词：平行四边形；分类讨论；图形与坐标

1 背景分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与坐标”强调数形结合，用代数方法研究几何图形，在平面直角坐标系中用坐标表示图形中点的位置，用坐标法分析和解决实际问题.平行四边形是初中几何中一种非常重要的几何图形，对于它的性质和判定，学生都要会合理应用.与平行四边形相关的问题在中考中也较为普遍，而由于与之相关联的知识点涉及面广，求解方法多、思路活，因此有些学生对这类问题有时束手无策，有时考虑又不全面.

对于初中学生来说，高效而准确的数学解题方法是不可或缺的.在解决有关求平行四边形顶点坐标的问题时，往往要用到分类讨论思想.下面笔者拟通过几例问题分析，谈谈分类讨论思想在求平行四边形顶点坐标问题中的应用.

2 分析说明

如图1，在平行四边形ABCD中，任意连接它的四个顶点中的两个点，可以得到六条线段，分别是线段AB，BC，CD，DA，AC，BD.这六条线段要么是平行四边形的边，要么是平行四边形的对角线.所以，在平面直角坐标系中解决平行四边形问题时，如果已经知道了平行四边形的三个顶点，那么一般分三种情况讨论；而若只知道平行四边形的两个顶点，则一般需要分两种情形来讨论.因为这两个顶点组成的线段只有两种情形，可能是平行四边形的边，也可能是它的对角线.

3 案例剖析

案例1 若以A（-1，0），B（3，0），C（0，4）为其中三个顶点画平行四边形，求第四个顶点的坐标.

分析：如图2，已知平行四边形三个顶点A，B，C，求第四个顶点，可以分三种情况，分别将AC，AB，BC向右或向上或向左平移就能得到第四个顶点的三种不同位置；也可以分别把AC，AB，BC看成对角线，从而得到第四个顶点的位置.

在这里，具体的求解有两种方法：一是运用几何论证方法，根据平行四边形对边平行且相等的性质容易求得第四个顶点的坐标.二是代数论证方法，运用线段中点坐标公式从而确定第四个顶点的坐标.如图2，平行四边形第四个顶点的坐标分别是（4，4），（-4，4），（2，-4）.

案例2 如图3，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，5），（3，3），一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点D，C，如果以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则一次函数y=kx+b的关系式为[CD#3].

分析：本题只知道平行四边形两个顶点A，B，所以分两种情形，一种是AB为边，另一种是AB为对角线.

先看第一种，如图4，如果AB为边，那么CD也是边，此时过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线的交点为E，则根据“平行四边形对边平行且相等”，可得△AEB≌△COD，所以CO=AE=2，EB=OD=2.当点C，D分别在y轴和x轴的正半轴上时，直线CD的解析式为y=－x+2；当点C，D分别在y轴和x轴的负半轴上时，直线CD的解析式为y=－x－2.

再看第二种，如图5，若AB为对角线，则CD也为对角线.平行四边形对角线具有的性质是互相平分，根据线段中点的坐标公式，可以确定AB的中点E的坐标是（2，4）.取OD中点F，连接EF，则EF是△COD的中位线.根据中位线的定义及性质可以确定点D（4，0），C（0，8），所以CD所在直线的解析式为y=－2x+8.

综合上述二种情况，可确定所求的一次函数解析式为y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8.

案例3 ]如图6，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

分析：以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，而在这四点中只知道两点A，D，所以分两种情形，即一种是AD为边，另一种是AD为对角线.

先考虑第一种情形，若AD为边，则QP也为边，所以AD与PQ平行且相等.如图7，

过点D，Q分别作x轴的垂线，垂足为E，F，则由OC∥ED，CD=4AC，易得OE=4OA=4，所以可知点D的坐标为（4，5a）.过点P作PG⊥FQ于点G.

由AD与PQ平行且相等，易证△AED≌△PGQ，所以AE=PG，QG=ED=-5a，

再考虑第二种情形，如图8，若AD为对角线，则PQ也为对角线.由于此时△AFQ≌△DGP，因此FQ=PG，AF=DG.同理可以确定点Q（2，-3a），P（1，8a）.又因為∠AQD=90°，所以△AFQ

4 解题反思

平行四边形的存在性问题已经成为中考的热点问题之一，教师平时要注意引导学生在遇到这类问题时应仔细分析题目信息，根据已知条件选择合适的分类标准.分类讨论思想是一种比较系统性的思想，有助于解决一般性问题，在数学解题中有广泛的应用.总之，利用分类讨论思想解决有关平行四边形的问题时，一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.而难点在于寻找分类标准，如果分类标准恰当，可以使解的个数不重复、不遗漏，从而提高解题的正确率.教师在此类问题的解题教学中，要探索例题的教学价值，教会学生聚焦图形本质，探索分类的合理性、思路的自然化，拓展思维的深度和广度，提高解题能力，使每个学生得到不同的发展［1］.

参考文献：

[1]徐琳玲，蔡晶晶.几何作图探本质 问题解决显素养——对一道中考几何题的探究［J］.中学数学教学参考，2023（5）33-35.