题型讲通法推广显本质——一道竞赛题的解法探究及推广

广东省深圳市第二实验学校(518021) 刘选状

圆锥曲线的最值问题内涵丰富、覆盖面广、解法灵活,历来是数学竞赛和强基计划命题的热点,更是考查学生的逻辑思维能力,化归与转化能力以及数学运算能力的重要考点.本文试就一道圆锥曲线的最值问题进行解法归纳与推广探究,以期与读者共享.

1.题目与赏析

题目(2022 年全国高中数学联合竞赛一试A 卷第7 题)在平面直角坐标系中,椭圆Ω:P为Ω 上的动点,A,B为两个定点,其中B的坐标为(0,3),若ΔPAB的面积的最小值为1,最大值为5,则线段AB的长为____.

解法一(直线方程与椭圆方程联立) 由题意可知:直线AB的斜率存在,且与椭圆相离,因此,设直线AB的方程为y=kx+3.与直线AB平行,且与椭圆Ω 相切的直线方程为y=kx+b,联立椭圆方程可得:由Δ=0 可得b2=4k2+1.

评析当直线AB固定时,需要求椭圆Ω 上的点到直线AB的最大距离和最小距离,因此,考虑设与直线AB平行的直线方程,与椭圆Ω 方程联立,Δ=0,即可解决问题.这也是解决圆锥曲线问题经常用到的方法.

解法二(利用椭圆对称性)根据椭圆的对称性可知:椭圆上到直线AB距离最大和最小的两个点D,E关于原点对称,因此,设D(x0,y0),E(-x0,-y0),其中y0＜0.则椭圆Ω 在D,E两点处的切线方程分别为:yy0=直线AB的方程为y=因为直线AB与椭圆相离,因此,由解法一可得再结合椭圆方程Ω:可得因为y0＜0,所以所以,D,E到直线AB距离分别为:

由题意可知

评析由椭圆的对称性可知:椭圆Ω 上到直线AB的最大距离和最小距离的点是关于原点对称的,因此,设出这两点的坐标,通过这两点的坐标表示出椭圆Ω 上点到直线AB的最大距离和最小距离,进而解决问题.

解法三(椭圆的参数方程)由题意可知:直线AB的斜率存在,因此,设直线AB的方程为:y=kx+3,椭圆Ω 的参数方程为:

则椭圆上的点到直线AB的距离为

因为△PAB的面积的最小值为1,因此,d̸=0.再因为

评析利用椭圆的参数方程求出椭圆上点到直线AB的最大距离和最小距离,这样可以减少计算量.

解法四(仿射变换)设

则在此变换下椭圆Ω 方程变为圆O1的方程:再设:ΔPAB的面积为S,变换之后ΔP1A1B1的面积为S1,则S=2S1,B1(0,3).由题意可知:S1的最大值为,最小值为.设点O1到直线A1B1的距离为d,则

评析利用仿射变换将椭圆变成圆,运用圆的的性质不仅解决了常规方法运算量大、较难处理的问题,还能充分地感受到平面几何的魅力.利用仿射变换我们还可以给出结论的进一步的推广.

2.结论推广

推广1在平面直角坐标系中,椭圆Ω:(a＞b＞0),P为Ω 上的动点,A,B为两个定点,其中椭圆外一点B的坐标为(u,t),若ΔPAB的面积的最小值为m(m＞0),最大值为M,设则

(Ⅰ)当直线AB的斜率存在时,

或

其中

(ⅠⅠ)当直线AB的斜率不存在时,

证明设则在此变换下椭圆Ω 方程变为圆O1的方程再设ΔPAB的面积为S,变换之后ΔP1A1B1的面积为S1,则S=abS1,由题意可知:S1的最大值为,最小值为.设点O1到直线A1B1的距离为d,则

(Ⅰ) 若直线AB的斜率存在,则直线A1B1的斜率也存在,因此,设直线A1B1的方程为:则

由(9)式整理得:

此时

(ⅠⅠ)若直线AB的斜率不存在,则直线A1B1的斜率也不存在,因此,设直线A1B1的方程为:则

3.结论应用

(1)令a=2,b=1,u=0,t=3,M=5,m=1,此时,直线AB斜率存在,则因此,由结论1 中的情形(Ⅰ)(ii)可知:即可得到(*)式得结果.

答案:2

圆锥曲线的最值问题是高考、竞赛、强基计划等考试中的常考题目,本题看似困难,实则方法很多,且富有深意.通过对题目的观察,分析,挖掘,找到了解决此类问题的通法,并且将其推广得出了一般性结论,凸显了此类问题的本质.对同一个问题的多种解法,开拓了学生的思维视野,提升了思维品质,将相关知识融合在一起,有利于学生从整体上把握并运用数学知识,这也是数学核心素养的基本要求.