圆锥曲线中又一定点问题的推广——两道模拟试题结论的进一步拓展与证明

章海辉 陈永民 张奇凤

1.福建省漳州市厦门大学附属实验中学(363123)

2.福建教育学院数学教育研究所(350025)

一、问题

题目1(成都市2020 级高中毕业班第三次诊断性检测理科第20 题)已知斜率为的直线l与抛物线C:y2=4x相交于P,Q两点.

(Ⅰ)求线段PQ中点纵坐标的值;

题目2(安徽省示范高中2021 年高三冬季联赛理科第20 题)已知椭圆C:的离心率为过点A(-6,0)作椭圆C的两条切线l1,l2互相垂直.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)若直线l:y=x+t与椭圆交于P,Q两点,直线AP与椭圆交于点M,直线AQ与椭圆交于点N,试判断直线MN是否过定点,并说明理由.

上述两题的背景相同,均是过坐标轴上点A引两条直线与圆锥曲线交于四点,若其中两点连线斜率为定值时,另外两点的连线过定点.文[1]从题目2 出发把点A推广到x轴上任意一点时,得出直线MN过定点.我们通过研究发现,当点A的位置不再限定在坐标轴上时,直线MN仍然过定点,具体见下文定理1-3.

二、拓展

为了证明结论,先给出以下三个引理:

引理1已知椭圆C:上有两点P(acosα1,bsinα1),Q(acosα2,bsinα2)(α1̸=α2).若直线l经过P,Q两点,则直线l的方程为bx(1-t1t2)+ay(t1+t2)-ab(1+t1t2)=0,其中

证明因为P(acosα1,bsinα1),Q(acosα2,bsinα2)(α1̸=α2),所以直线l的方程为

整理得:

利用和差化积公式与两角差公式得:

类似可证:

引理2已知双曲线C:上有两点若直线l经过P,Q两点,则直线l的方程为bx(1+t1t2)-ay(t1+t2)-ab(1-t1t2)=0,其中

引理3已知抛物线C:y2=2px(p＞0) 上有两点若直线l经过P,Q两点,则直线l的方程为x-y(t1+t2)+2pt1t2=0.

下面我们给出本文主要结论的证明,对于椭圆背景下的定点问题,我们得到如下更一般性的结论:

定理1已知直线l:y=kx+t与椭圆C:1(a＞b＞0)交于P,Q两点,点A(x0,y0)为不在椭圆上的任一点,直线AP,AQ分别与椭圆交于点M,N两点(异于P,Q),则直线MN过定点(u,v),其中

证明设P,Q,M,N的坐标分别记为(acosαi,bsinαi),并记则有引理1 可知:直线PQ,PM,QN,MN的方程分别为

由直线PQ的斜率为k及,得即

由直线PM过点A(x0,y0)及,得bx0(1-t1t3)+ay0(t1+t3)-ab(1+t1t3)=0,即

由直线PM过点A(x0,y0)及,得bx0(1-t1t3)+ay0(t1+t3)-ab(1+t1t3)=0,即

把t1,t2的表达式代入,整理得

解得

即直线MN过定点(u,v),其中u,v分别为如上的x,y,故定理1 成立.

对双曲线背景下定点问题,类似可证定理2,具体过程留给读者.

定理2已知直线l:y=kx+t与双曲线C:1 交于P,Q两点,点A为不在双曲线上的任一点,直线AP,AQ分别与双曲线交于点M,N(异于P,Q).则直线MN过定点(u,v),其中

对抛物线下的定点问题,我们有:

定理3已知直线l:y=kx+t与抛物线C:y2=2px(p＞0)交于P,Q两点,点A为不在抛物线上的任一点,直线AP,AQ分别与抛物线交于点M,N(异于P,Q).则直线MN过定点

证明设P,Q,M,N的坐标分别记为1,2,3,4),则有引理3 可知:直线PQ,PM,QN,MN的方程分别为

由直线PQ的斜率为k及,得即

由直线PM过点A(x0,y0)及,得(t1+t3)y0-x0=2pt1t3,即由直线QN过点A(x0,y0) 及,得(t2+t4)y0-x0=2pt2t4,即把t1,t2的表达式代入,整理得

定理3 成立.

三、结语

对于较为优质的模拟试题,我们应挖掘其本质特征,做到会一题,通一类.希望本文给出的相关性质及证明,能够带来一点启发.