高观点下利用矩阵研究分式线性递推数列

江苏省扬中高级中学(212200)薛建龙

高中数学的有些问题,如果运用高等数学中的经典理论去研究,往往能够拥有更广阔的视角,让人迅速抓住其本质,“居高临下”的解决问题.对于数列的有关问题,罗增儒教授曾在文[1]中提到可以利用矩阵求解.

一般地,定义

为分式线性递推数列.特别地,当c=0,a=d时,{an}为等差数列;当c=0,b=0 时,{an}为等比数列;当c=0,b̸=0时,{an}为等比差数列.

一、数列(*)递推与矩阵乘方对应

将该数列系数写成矩阵M=而an+1=则M与{an}的一次递推对应;而

二、利用矩阵求通项公式

定理1(Hamilton-Cayley Theorem)设f(λ)为M的特征多项式,则f(M)=0.

例1已知数列{an}中,a1=2,an+1=求数列{an}的通项公式.

解析系数矩阵M=,M的特征多项式f(λ)=|λE-M|== (λ-4)2=0,所以λ1=λ2=4,M不可对角化.由定理1 有f(M)=(M-4E)2=0(E为单位矩阵),设B=M-4E,B2=0,由二项式定理:

因此,an=

评析若系数矩阵M的特征根λ1=λ2=λ0,则由定理1 和二项式定理,本例的一般结论是:Mn-1=

例2若数列{an} 满足a1=1,8an+1an-16an+1+2an+5=0,求{an}的通项公式.

解析显然an̸=0,2,则an+1=其系数矩阵M的特征多项式:

所以λ1=-6,λ2=-12,由定理1:(M+6E)(M+12E)=0,记6A=M+12E,6B=-M-6E,有M=-6A-12B,AB=BA=0,A+B=E,An=A,Bn=B,故

评析若系数矩阵的特征根λ1̸=λ2,则可构造矩阵A、B满足:(λ1-λ2)A=(M-λ2E),(λ1-λ2)B=(-M+λ1E) 由上述的推导过程,本例的一般结论:

例3基本列的通项公式再推导:

(1) 等差数列:an+1=an+d

解析递推关系可化为分式型,an+1=系数矩阵M==E+B,由二项式定理,Mn-1=(E+B)n-1=,所以an=a1+(n-1)d.

(2) 等比数列:

解析递推关系可化为:an+1=系数矩阵,由对角阵运算性质:Mn-1=所以an=a1qn-1.

(3) 等比差数列:an+1=qan+d(q̸=1,d̸=0)

解析递推关系可化为系数矩阵由数学归纳法:所以

评析用矩阵方法非常简单地解决了三个数列通项公式,把握住本质,实现了“多题一解”.

三、利用矩阵求数列周期

课标中强调,数列是一类特殊函数.而分式线性数列经常具有周期,若是常数列,那么系数矩阵是数量阵.

定理2分式线性递推数列的系数矩阵M,若有是周期为k的数列.

例4已知数列{an}满足:则a2023=____.

解析系数矩阵由定理2,{an}的周期为3,a1=,a2=2,a3=-1,a4=

例5数列{an}的首项a1=3,若an+1=,则a2023=____.

解析,系数矩阵M=,由定理2,{an}的周期为4,a1=3,a2=a4=-2,a5=3,所以a2023=a3=

例6数列{an} 的首项a1=-2,an+1=则a2023=____.

解析系数矩阵M=由定理2,{an}的周期为6,a1=-2,a2=a4=a6=5,a7=-2,所以a2023=a1=-2.

思考矩阵M满足什么条件时,Mk=,设其为数量阵,则⇒a+d=0,类似的,可得到以下推论:

推论1若{an}满足(*),当a+d=0 时,T=2,特别地,当

推论2若{an}满足(*),当a2+ad+d2+bc=0,则T=3.

推论3若{an}满足(*),当a2+d2+2bc=0,则T=4,特别地,当a=d,则a2+bc=0,T=4.

推论4若{an}满足(*),当a2+d2-ad+3bc=0,则T=6,特别地,当a=d,则a2+3bc=0,T=6.

推论5若an+1=(k∈N*),则{an}是周期为k的数列.

“数列单元要以‘运算’为一般理论,通过运算发现和提出问题,通过运算得出数列的取值规律,通过运算就能发现解决问题的方法.”[2]利用高数中的矩阵知识,对分式线性递推数列进行严格而又充分的计算,就能发现这类数列的本质.在高观点下理解高中数学更有助于提高学生的数学核心素养,让其落地生根.