圆锥曲线中一类定点定值问题的探索与推广

广东省惠州仲恺中学(516229)陈伟流

一、问题提出

已知椭圆C:的离心率过点D(2,0) 的直线l与C交于A,B两点,当直线l的斜率不存在时,|AB|=4.

(1)求C的方程.

解(1)C的方程为为定值过程略.

评注本题以解析几何中的定点、定值等热点问题展开探究求解,以特殊到一般的理性思维考查运算求解,逻辑思维等关键能力,渗透了对数学运算,逻辑推理,数学抽象等核心素养的导向考核,体现了解决数学问题上的通性通法,反映了新课标理念下的新高考命题原则,有较强的引领性及典范性.

注意到试题中定点D是并非椭圆的焦点,而定值结果与直线的斜率无关,可知必与该定点密切相关,所以自然而然笔者提出以下具有深度探索意义的问题:

(1)将椭圆载体中的参数一般化后,能否找出定点与定值间满足的对应关系?

(2)改变定点在椭圆对称轴上的位置,则定值结果是否仍成立?

(3)将探索载体推广到圆锥曲线体系,则在双曲线和抛物线背景中是否仍有相关结论?

二、问题探索

定理1已知椭圆C:=1(a＞b＞0),直线l与C交于A,B两点,当且仅当直线过定点时,为定值

证当直线l的斜率为0 时,不妨设A(-a,0),B(a,0)且则

当直线l的斜率不为0 时,设A(x1,y1),B(x2,y2),经过定点D(t,0)的直线AB方程为lAB:x=my+t,将其与椭圆方程联立得(m2b2+a2)y2+2mtb2y+b2t2-a2b2=0,则

故当且仅当b2(a2+t2)=a2(a2-t2),即时,

注意到定理1 成立的决定条件是:关于t的方程有解;若将定点更改在y轴上,则定理1 中的定值结果则无法成立.

证当直线l的斜率存在时,设经过定点D(0,t) 的直线AB方程为lAB:y=kx+t,将其与椭圆方程联立得(k2a2+b2)x2+2kta2x+a2t2-a2b2=0,则

故当且仅当a2t2+a2b2=b4-b2t2时,为定值,得

故定理1 的椭圆背景中不存在y轴上的定点,满足为定值.

三、问题推广

经历定理1 的探索知:椭圆背景中a＞b的前提决定了关于t的方程有解.基于圆锥曲线知识体系的统一性,将定理1 的探究背景进一步推广到圆锥曲线体系,在双曲线及抛物线载背景中,有

定理2已知双曲线C:直线l与C交于A,B两点,当且仅当直线过定点为定值

定理3已知双曲线C:直线l与C交于A,B两点,当且仅当直线过定点为定值

注由于双曲线背景中a,b并无严格的大小关系,故只需规定有a＞b的前提条件,保证了定点的存在的合理性,进而可使定点与定值在逻辑关系上成为充要条件.因双曲线背景的证明与定理1 高度类似,此处从略.

定理4已知抛物线C:y2=2px(p＞0),斜率不为0的直线交抛物线于A,B两点,当且仅当直线过定点D(p,0)时,为定值

证设经过定点D(t,0)的直线AB方程为lAB:x=my+t,将其与抛物线方程联立得:y2-2pmy-2pt=0,则y1+y2=2pm,y1y2=-2pt,则

故当且仅当t=p,即直线过定点(p,0)时,为定值

解析几何试题向来以情境复杂多变,结论优美丰富而蕴含极大的探索空间,因此也常常让广大师生爱不释手,乐于钻研,所以在教学实践中,教师要勇于带领学生一步步尝试触摸相关问题的知识背景,从知识整体上提升学生对相关结论的深度认知,从而在探索数学本质的过程中,培养好学生的数学运算,逻辑推理,数学抽象等核心素养,促进学生理性思维的形成与发展,进而为高考备考做好保驾护航的精心筹备.