构造函数证明不等式的方法探究

［摘  要］ 构造函数是证明不等式的重要方法，具体使用时有多种技巧. 文章探究构造函数证明不等式的五种方法，并结合教学实践开展教学思考.

［关键词］ 构造函数；不等式；思想方法；教学思考

函数与导数是高中数学的重难点知识，也是高考的考查热点. 构造函数证明不等式的基本策略是：先分析不等式的特征，构造对应函数，将不等式问题转化为函数问题，再利用导数知识分析函数性质，证明不等式. 因此，合理构造函数是证明不等式的关键，构造函数时常涉及变形转化. 下文具体探究变形转化、构造函数的方法.

关于构造函数的深入思考

在教学探究中，要注意引导学生归纳总结，让学生掌握解题技巧，提升学生的数学思维，笔者结合教学实践提出几点建议.

1. 巩固知识基础，形成知识网络

不等式证明的破解涉及导数、函数、不等式等相关知识，其性质定理是解题的基础，教学探究中要引导学生关注其中的基础知识，形成该类问题的知识网络. 构造函数证明不等式，最终还需归结到利用导数知识来研究函数的性质，包括其单调性、值域、极值等. 教学中要梳理知识，关注知识关联，形成完整的知识体系. 知识网络构造时要注意两点：一是从不等式问题出发，梳理所涉知识点；二是结合知识关联来串联知识.

2. 归纳总结方法，掌握解题策略

上述案例讲述了构造函数证明不等式问题的五种方法，形成了系统的破解策略. 由于涉及问题类型、解法众多，教学探究中要指导学生归纳总结，让学生掌握相应的解题技巧. 教学中可从以下三个方向来开展：一是指导学生关注问题特征，分析不等号两侧函数的代数式，分析其结构；二是引导学生分析构造函数的方法，包括具体的解题步骤、方法核心、适用的问题；三是结合实例强化方法，让学生构建思路，掌握解题策略.

3. 挖掘思想方法，提升數学素养

构造函数证明不等式涉及众多数学思想，教学探究中要引导学生挖掘其中的数学思想，比如等价转化、分类讨论等. 教学时可立足具体问题逐一分析. 以上述解法“改变不等式结构，重构函数”为例，不等式变形中涉及等价转化思想，构造函数分析中涉及构造思想，讨论参数取值解题中涉及分类讨论思想. 在教学中，要让学生体验解题过程，感悟其中的数学思想，深刻体会数学思想方法的重要性.

作者简介：汤鸿（1986—），硕士研究生，中小学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.