践行“三个理解”，实施整合教学
2023-12-15冯秋霞
［摘 要］ 整合设计学科知识，形成促进课堂动态生成的教学内容是践行“三个理解”的良好举措. 文章以“二项式系数的性质及应用”的教学为例，从“基于‘三个理解，分析整合教学”“遵循PCK理论，实现高效教学”“紧扣教学方法，发展核心素养”“渗透数学文化，激发爱国热情”等方面谈一些思考.
［关键词］ 理解数学；理解学生；理解教学；整合教学
“三个理解”是章建跃教授提出的理解数学、理解学生、理解教学. 该理论要求教师全面关注学生的认知能力与理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展［1］. 实践证明，整合设计学科知识，形成促进课堂动态生成的教学内容是践行“三个理解”的良好举措. 本文以“二项式系数的性质及应用”的教学为例，具体从下文几方面对践行“三个理解”，实施整合教学展开剖析.
教学分析
2. 学生活动
探索方法：笔者带领学生先从特殊情况下寻找规律，根据这些规律获得猜想，然后严谨论证猜想. 在活动过程中，有意识地利用杨辉三角渗透数学文化，培养学生的数学学科素养.
学生在观察中发现：图1展示的是（a+b）n的展开式的二项式系数. 在学生观察图1的同时，笔者趁机展示图2（杨辉三角的汉字版），介绍杨辉三角相关知识，以渗透数学文化，并提出杨辉三角的发现要比法国著名的帕斯卡三角早500年左右，以触发学生的爱国情怀.
学生在笔者的带领下，通过对两幅图的整体结构的观察与分析，经过短时间的讨论，总结出二项式系数的主要特征有（板书）：①对称性；②相邻两行，除1外，其余的数都等于它肩上的两数之和；③从两端往中间的数逐渐增大（增减性）；④第n行的数的和是2n.
设计意图 带领学生在观察、尝试与列举中归纳并猜想二项式系数的特征，同时介绍杨辉三角，以渗透数学文化，培养学生的爱国情感. 引导学生应用从特殊到一般的研究方法探索问题，发展学生的观察力、概括力与抽象力，提升学生的核心素养.
3. 性质建构
问题：可以用怎样的数学符号来表示二项式系数的性质？
要求学生通过自主思考与合作交流的方式进行分析与推理.
（1）性质①和性质②为组合数公式，要求学生说说这两个公式的证明思路（组合数公式代入法）.
（2）性质③为二项式系数的增减性，该性质为本节课教学的重难点，笔者教学时设计了如下探究活动.
①提出问题：C什么时候随r的增加而增大，什么时候随r的增加而减小？
方法1（分析法）：当r<时，要证明C
方法2（比较法）：C-C=-==. 因为n！>0，（r+1）！·（n-r）！>0，当r<时，2r-（n-1）<0，所以C
④归纳结论（略）.
（3）对于性质④，引导学生利用赋值法进行证明，即令a=b=1可直接获得结论C+C+…+C=2n.
4. 实际运用
题1 证明：在（a+b）n的展开式中，偶数项的二项式系数的和与奇数项的二项式系数的和为相等的关系.
如同性质④，引导学生利用赋值法进行证明. 除此之外，在证明过程中，可得多个结论，常见的有：①C+2C+22C+…+2nC=3n；②2n-C·2n-1+C·2n-2+…+（-1）n-1·C·2+（-1）n=1.
变式题：若（x+1）n=a+a（x-1）+a（x-1）2+…+a（x-1）n（n∈N*），则a的值与a+a+a+…+a的值分别为多少？
提炼：想要求出展开式的系数、系数的和、系数的差，最关键的环节是给字母赋值，而赋值根据待求展开式的系数的特征来做决定.
题2 若在（a+b）n的展开式中，第5项的二项式系数最大，求n的值；若二项式系数最大的是第10项和第11项，求n的值.
由上述典型的整合教学案例，笔者总结出以下几点经验.
1. 基于“三个理解”，分析整合教学
章建跃教授的“三个理解”为课堂教学提供了分析方向，本节课从理解数学，明确教学目标出发，通过分析学情，在充分理解学生的基础上因材施教，根据学生的最近发展区科学合理地设计教学重点与难点，课堂时间分配得当，教学节奏张弛有度，学生在这种氛围下建构新知，有种水到渠成之感.
基于合理分析，笔者瞄准教学目标，课堂上踩住教学的关键点，带领学生在“回顾、观察、理解、经历”中获得二项式系数的四个性质，并通过知识的实际应用增加学生的应用能力. 其中，性质③为本节课的教学重难点，笔者基于“三个理解”，在性质③的讲解上铆足了劲. 整个教学过程时间安排得当，练习“度”掌握得比较合理，顺利完成教学任务的同时，凸显了教学的时效性.
2. 遵循PCK理论，实现高效教学
舒尔曼教授将PCK定义为：教师个人教学经验、教师学科内容知识和教育学的特殊整合. 实际上是将PCK作为学科知识、课程知识、教学法、教学情境等的综合，是“用专业学科知识和教育学的综合去理解特定教学内容的组织方法与呈现方式”.
简而言之，PCK就是将学科知识转化成学生更加容易接受的教学知识，具有显著的整合性与融合性等特征. 例如本节课，在“三个理解”的基础上，笔者根据学生的认知经验，精心剖析教学内容，制定教学目标，设计教学方案，通过整合让整个教学活动紧扣目标、适当取舍、弛张有度、详略得当.
3. 紧扣教學方法，发展核心素养
性質③为本节课的教学重难点，特别是对问题“C什么时候随r的增加而增大，什么时候随r的增加而减小”的探究，存在较大难度. 想要突破这个重难点，就要从特殊值着手，通过尝试、观察、分析、猜想与论证，推理出相应结论.
为了突破这个重难点，本节课设计了几个重要的局部探究活动，主要为：①提出问题，明确教学目标；②从学生的认知特点出发，取特殊值探索主要规律；③用分析法和比较法证明猜想，训练学生的推理能力；④归纳结论. 学生从这个流程中能感知体验到“由特殊到一般、由猜想到验证”是研究数学问题的重要方法.
数学学科核心素养是数学思维品质、数学能力、情感态度与价值观等的综合体现，它是在学习过程中逐步形成且发展而来的. 本节课的局部探究活动充分体现了学生逻辑推理能力的形成与发展，主要表现在以下两点：①从特殊到一般进行归纳推理；②从一般到特殊进行演绎推理.
事实证明，逻辑推理是获得结论的主要方法，是保证数学严谨性的基础. 数学学科核心素养的培养无捷径可言，必须立足课堂，通过不断探索与日积月累获得良好的观察、猜想、抽象与概括等能力. 将归纳推理与演绎推理交织融合在一起，能让学生的数学思维变得清晰、明朗，从真正意义上提升学生的数学学科核心素养.
4. 渗透数学文化，激发爱国热情
新课标明确提出：数学教学不仅仅是运算或推理的教学，更是语言表达或数学思想文化的教学［2］. 数学史的应用是渗透数学文化的主要方式，本节课提到杨辉三角，并强调它的发现比法国的帕斯卡三角早500年左右，这一段素材的应用，能成功激发学生的爱国热情. 尤其对高三学生而言，近在咫尺的高考让他们感到压力很大，甚至有学生对数学学习丧失了信心，而数学文化的渗透则能帮助学生缓解压力，建立数学学习信心.
总之，基于“三个理解”的高中数学整合教学不仅能激发学生的学习兴趣，提高教学效率，还能有效促进学生数学学科核心素养的形成与发展. 因此，这是一种值得研究与实施的教学措施.
参考文献：
［1］ 章建跃.中学数学课改的十个论题［J］. 中学数学教学参考，2010（07）：2-5+11.
［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.
作者简介：冯秋霞（1985—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.
