基于“三会”培养的高中数学学法指导研究

［摘  要］ 以新课标倡导的“三会”目标为高中数学教学的出发点，教师在学法指导上需突破传统的“刷题”教学模式，引导学生更新学习理念，不断提升学习能力. 文章认为，基于“三会”培养的高中数学学法指导可从以下三点展开：建构知识结构，学会用数学眼光观察世界；巩固知识基础，学会用数学思维思考世界；加强课后探究，学会用数学语言表达世界.

［关键词］ 三会；学法指导；知识结构

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中提出：数学教学活动是师生、生生之间交往互动与共同发展的过程，数学教学应从学情出发，通过各种教学手段引导学生通过实践、交流、思考，发展思维，学会学习，形成会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界的能力（简称“三会”）［1］. 在新课标的引领下，教师如何立足“三会”目标，进行学法指导呢？本文从以下几方面展开分析.

建构知识结构，学会以数学眼光观察世界

数学是一门系统性极强的学科，学习过程是一个有机整体，教材所安排的每一个知识点都有一定的动机与规律. 基于“三会”培养的学法指导活动首先应从知识结构出发，探寻教学内容所蕴含的历史发展轨迹、内在逻辑以及与客观世界的关系等，只有从每一个知识点的学习动机出发，才能在自主探索、合作学习或数学阅读中体会到每一个知识点的独到之处.

引导学生自主发现数学结构，并透过数学结构获得用数学眼光观察世界的能力，需经历一个漫长的过程. 数学结构并非人类主观随意指派而来的，而是经过人们总结大量经验得到的. 布尔巴基学派提出：数学研究的母结构分别有代数结构、序结构与拓扑结构. 其中代数结构来自数学事务中的数量关系，其与运算有着重要联系；序结构具有一定的先后与时间顺序；拓扑结构源于空间经验，具有连续性特征.

数学的各个系统并非单一结构，而是多种结构共同存在. 如学生所熟悉的实数系，不仅有加减乘除（运算）的代数结构，还有大小之分的序结构，以及具有连贯性的拓扑结构. 事实证明，数学结构错综复杂地存在各个知识系统中，因此教师进行学法指导时，应结合学情从多角度带领学生领略数学知识的魅力.

当学生首次接触新的知识内容时，第一反应就是想方设法将新知纳入原有认知结构中，若可以，则会立即启动该结构的已知性质来接纳新知. 从这个习惯不难看出，新知与旧知有着密不可分的联系，这也是培养学生形成用数学眼光观察世界的基础.

纵观数学史的发展，曾经有很长一段时间数学家们都无法理解复数的概念，因此将这个无法理解的数设定为虚数. 随着时间的流逝，有人发现可以用平面上的点来表示复数，这是将复数的代数结构与拓扑结构融合的过程，此时的复数研究有了现实意义，其实际应用也很快被推广开来［2］. 由此也能看出，将新知纳入原有认知结构是促使人类学会用数学眼光观察世界的重要途径.

案例1 “子集与推出关系”的教学.

问题 判断下列式子中的α是β的什么条件，分别从充分条件、必要条件与充要条件着手.

①α：x>4；β：x>3. ②α：四边形为矩形；β：四边形为正方形. ③α：p?q；β：q?p（p，q分别是p，q条件的否定）.

大部分学生都能准确回答问题①中的α是β的充分条件，问题②中的α是β的必要条件，但对于问题③，不少学生反馈推出符号过多，无法进行准确判断.

师：问题③无法进行准确判断的主要原因在于问题比较抽象，大家难以从常规的角度进行判断. 想要解决这个问题该怎么办呢？

生1：如果能将问题③转化成类似于前两个问题那样明确、具体，那么判断就没有这么复杂了.

师：这是一个不错的建议！那么问题③应该如何转换呢？转换过程中推出的关系和哪些数学对象有联系呢？这些数学对象又分别是什么呢？这就是本节课我们即将探索的主题.

问题①和问题②比较简单，意在引发学生提取认知结构中关于用几种条件进行判断的基本步骤，为本节课的教学奠定基础. 问题③稍有难度，难点在于推出符号的抽象性. 但适当的难度成功激发了学生的探究欲，顺利引出了本节课的教学主题.

问题③的提出，让学生主动发现该问题无法从常规的充分必要性的角度去思考，因而提出让问题变得具体直观的想法. 顺应学生的思维，遵循学生的认知发展规律，引出本节课的教学主题，整个过程自然且流畅. 不仅让学生充分了解到学习“子集与推出关系”的必要性，还有效激发了学生学习的内驱力，让学生产生了深入探索的兴趣.

在解决问题的过程中，学生通过自主探索有以下两点收获：①此问（问题③）的背景为“原命题与其逆否命题是等价命题”，之前学生只是一种直觉，通过本节课的学习，形成了自主证明的能力，这充分体现了人类认知发展的逻辑关系；②通过本节课的学习，学生能自主发现命题、集合、推出关系之间具备怎样的联系，感知集合与命题的内涵，充分体会了数学知识的内在逻辑. 这两点收获，能有效促进学生学会用数学眼光观察世界.

从深层次分析，教师若带领学生從集合论与逻辑学的角度来探讨“子集与关系”发生与发展的过程，则能让学生进一步认识到逻辑知识对科技研究与发展的促进作用和深远影响，从而尝试用数学眼光来观察世界. 久而久之，学生就能通过一定的逻辑关系将各个章节的知识内容组合到一起，形成完整的知识体系.

巩固知识基础，学会用数学思维思考世界

根据艾宾浩斯遗忘曲线规律，新知建构后需要经历巩固环节才能形成长时记忆. 课后作业、配套练习与复习等都是实施知识巩固的过程. 在这些过程中，学生的思维会随着问题的发展而逐渐活跃，通过一定的思考夯实知识基础的同时，也能深化学生对知识的理解与应用. 受传统教育思想的影响，仍有些教师以“题海战术”来深化学生对知识的认识，殊不知这种方法只会消减学生的学习热情，久而久之，题目刷得越来越多，思维能力却越来越差，形成恶性循环.

数学教学不仅仅是知识教学，更重要的是思维锻炼. 纵观近些年的高考试题，无一不透露出“新颖”二字，这些问题不是“题海战术”所能解决的，而需要严谨的思维与扎实的基础. 有些学生遇到没见过的题型或问题就不知所措，其实只要掌握知识的本质，就能形成“以不变应万变”的解题能力.

教师应在巩固练习中精选问题，注重一题多解、多题一解等变式训练，以启发学生的思维，从一定程度上将学生的线性思维转化为网状思维，让学生学会从不同的维度去分析与解决问题，达到真正意义上的用数学思维思考世界的能力.

案例2 数列问题的解决与拓展.

问题 若数列｛a｝中的a=1，a=2a+1，则数列｛a｝的通项公式是什么？

解法1 退阶相减法（过程略）.

变式拓展1：在数列｛a｝中，已知a=1，a=2，a=3a+2a，则数列｛a｝的通项公式是什么？

解法2 同除以某个式子（过程略）.

变式拓展2：在数列｛a｝中，已知a=1，a=2a+3n，则数列｛a｝的通项公式是什么？

变式拓展3：在数列｛a｝中，已知a=1，a=2a+n，则数列｛a｝的通项公式是什么？

解法3 待定系数法（过程略）.

变式拓展4：在数列｛a｝中，已知a=a，a=pa+r（p≠0，1，且r≠0），则数列｛a｝的通项公式是什么？

学生通过学习获得的概念、定理、法则等有很多，仅仅“知其然”还不够，还要“知其所以然”，思考这些结论源于何处、去向何方，蕴含着哪些数学思想方法，等等. 只有了解知识的本质，做到“知其然且知其所以然”，获得良好的思维能力，才能真正从“刷题”中解放学生.

本题的三种解法其实都蕴含着同等重要的数学思想方法. 显然，这些数学思想方法的形成并非一蹴而就的，它们是在漫长的学习生涯中逐渐总结、提炼而来的，学生在之前的解题中或许应用过，在结构特征的分析中或许提炼过，总归都有一定的源头.

教师在进行学法指导时，应结合学生的最近发展区，利用学生原有的思维结构去探索问题的解决方法，让学生充分感知数学学科的系统性与逻辑性等特征，并联系基本概念，有效巩固学生对“联系”的理解. 当然，案例2中的问题还有其他多种解法，但涉及学生未接触过的内容，此处不再赘述.

值得注意的是，教师与学生探讨每一种解题方法或解题思路时，都要重视过程的完整性，让学生从真正意义上达到掌握与应用的程度，也突出每一种解题方法或解题思路承上启下的作用. 应用每一种解题方法或解题思路后，教师都要引导学生及时进行反思与拓展，以深化学生对此类问题的认识，达到触类旁通的目的.

长此以往，学生就能切身体会到如何应用自己所拥有的知识与技能、思想方法等拟定问题并提出解决问题的方案，从根本上促进思维的提升. 同时，错题的订正、整理与总结等都是提高学生思考能力的重要途径. 实践证明，从真正意义上揭开数学这门学科的神秘面紗，是促使学生用数学思维思考世界的关键.

加强课后探究，学会用数学语言表达世界

随着新课改的推进，“以生为本”“减负增效”“培养创新人才”等理念越来越受到广大教育工作者的重视. 为了践行这些重要的教育教学理念，加强课后探究已然成为培养学生学科核心素养的重要路径.

教师可结合学生的实际情况与教学资源，给学生布置一些科学合理的课后探究活动，鼓励学生通过查阅文献、小组讨论等方式进行自主探究，适时适当给予一定的学法指导，要求学生将研究成果以调研报告、小论文等形式呈现出来，作为互动交流的依据. 互动交流的过程是学生用数学语言表达世界的过程，也是促进学生形成创新意识的基础.

案例3 “最大容积问题”的课后探究活动.

问题 将一块边长为1米的正方形纸盒的四个角各剪下一个小正方形后，将剩下的图形折叠成一个无盖的盒子，若要让盒子的容积达到最大容量，求被剪下的小正方形的边长.

学生探索：假设剪下的小正方形的边长为x米，那么制作而成的盒子的容积则为V=x（1-2x）2（立方米），且0

一旦明确了问题探索方向，就可以鼓励学生通过自主思考与小组合作等方式进行研究. 学生在思考与交流的过程中，借助基本不等式不难获得初步结论，再利用多媒体等资源以及基本不等式证明三元基本不等式，最后将探究思路与探究过程整理成小论文.

这是一道承接基本不等式的问题，整个活动由学生课后自主完成，主要由小组合作与小论文撰写两环节组成. 在小组合作环节，每一个学生都在明确的分工与合作中积极开动脑筋参与探索，分享自身的观点、思路等；在小论文撰写环节，学生则借助现代化的手段查阅资料，获得更多的见解，夯实理论基础.

显而易见，小论文撰写过程是学生用数学语言记录自己的想法、观点与思维的过程，也是逐渐形成辩证、严谨的数学观的过程. 这种开放式的课后探究活动，不仅有效发散了学生的思维，增强了学生对知识深度与广度的认识，还让学生形成了用数学语言表达世界的能力.

总之，“教书育人”是教师的重要职责，学生在课堂中不仅仅要掌握基本的数学知识，更重要的是要学会思考，顺利获得“三会”能力. 结合高中生的身心发展规律，教师可从课堂教学、知识巩固与课后探索三个环节着手，利用适当的教学手段、学法指导，激活学生的思维能力，促使学生建构完整的知识结构，发展学生的数学学科核心素养.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 史宁中. 学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例［J］. 中小学管理，2017（01）：35-37.

作者简介：顾静凌（1978—），本科学历，中小学一级教师，从事高中数学教学与研究工作，曾获江阴市三力课堂大比武一等奖.