一类单中心三次Hamilton 系统的Abel 积分零点个数

张永康，李宝毅，隋世友

（1.天津师范大学数学科学学院，天津 300387；2.天津商业大学理学院，天津 300134）

考虑Hamilton 系统的n次多项式扰动系统

式中：Hamilton 函数H（x，y）为关于x、y的m+1 次实系数多项式，P（x，y）和Q（x，y）为关于x、y次数不超过n的实系数多项式，0 ＜ε≪1.记Γh为H（x，y）=h的连通闭分支，其中h∈Σ=（h1，h2）⊂R.令ω=Qdx-Pdy为次数不超过n的1-形式，Abel 积分定义为

弱化Hilbert 第十六问题[1]即确定Abel 积分的零点个数的最小上界（记为B（n）），这一问题与确定Hamilton系统极限环的个数密切相关. 对于一类特殊形式的Hamilton 函数H（x，y）=y2/2+U（x），当U（x）的次数degU（x）≤4 时，许多研究[2-12]对相应的Abel 积分的零点个数给出了一些估计.

对于四次Hamilton 函数H（x，y）=x2+y4，文献[2]得到其对应的n次扰动系统的Abel 积分的零点个数的最小上界B（n）≤2[（n- 1）/2]. 对于H（x，y）=x2+cx4+y4，文献[3]得到Abel 积分零点个数的上界满足

对于H（x，y）=x2-x4+y4，文献[4]得到Abel 积分零点个数的上界满足

本文讨论Hamilton 函数H（x，y）=x2+cx4+y4的情形，此时对应的系统为单中心三次Hamilton 系统.当c≠0 时，通过变换x=（c·sgnc）-1/2X，y=（c·sgnc）-1/4Y，t=（c·sgnc）1/4T，可将系数c转化为±1.设H（x，y）=x2±x4+y4，在n次多项式扰动下，本文估算了扰动系统Abel 积分的孤立零点个数，得到了较小的上界，所得结论改进了文献[3-4]的结果.本文的主要结果如下：

定理设Hamilton 函数H（x，y）=x2±x4+y4，P（x，y）和Q（x，y）为关于x、y的次数不超过2n+2 或2n+1的实系数多项式.对于系统（1）对应的Abel 积分，有

特别地，B（2）=B（1）＝0，B（4）=B（3）≤2.

设Γh为代数曲线的连通闭分支，其中c=±1，当c=1 时，Σ=（0，+∞），当c=-1 时，Γh对应的连通闭分支见图1.

图1 Γh 对应的连通闭分支Fig.1 Closed trajectories of Γh

1 预备知识

闭轨Γh：H（x，y）=x2+cx4+y4关于x轴和y轴均对称，记其中i、j为非负整数，则有Ii，2j（h）=I2i+1，2j+1（h）≡0.因此，对任意非负整数n，有B（2n+1）=B（2n+2）.

对于H（x，y）=x2+x4+y4，设max{degP（x，y），degQ（x，y）}=2n+1，则如下命题1—4 成立.

命题1设i+j=n≥2，则有

式中：a1（h）、b1（h）、c1（h）和d1（h）均为关于h的实系数多项式，且

命题2当n≥2 时，Abel 积分I（h）可表示为

式中：f0，1（h）、f2，1（h）、f0，3（h）和f2，3（h）均为关于h的实系数多项式，且

命题3V=（I0，1，I2，1，I0，3，I2，3）T满足Picard-Fuchs方程

命题4设Z=4I0，3+16I2，3，则I0，1、I2，1、I0，3、Z满足方程

注由式（5）计算可得

式中λ1、λ2为非零常数，但I′2，1和I′0，3不能表示为初等函数的形式.

命题1—4 的证明可见文献[3].

对于H（x，y）=x2-x4+y4，设max{degP（x，y），degQ（x，y）}=2n+1，因为c=-1 和c=1 对应的Abel积分的代数结构相同，下面仅给出c=-1 时生成元满足的Picard-Fuchs 方程.

命题5V=（I0，1，I2，1，I0，3，I2，3）T满足Picard-Fuchs方程（Ah+B）V′=RV，式中：

命题6设Z=-4I0，3+ 16I2，3，则I0，1、I2，1、I0，3、Z满足方程

式中：D（h）＝h（4h-1）

2 主要结论的证明

引理1对于H（x，y）=x2+x4+y4，当1≤k≤q+1时，有

式中：degF0，1（h，q+2）≤p+q+1，degFZ（h，q+2）≤p+q.

证明利用归纳法证明式（7）.当k=1 时，由式（4）可得

对式（3）关于h求导，并将式（8）代入，可得

由命题2 可知

因此当k=1 时，式（7）成立.

假设当k=l（1≤l≤q）时，式（7）成立，即

此时有

则当k=l+1 时，由式（5）可得

由假设可知

因此

又由于max{degF2，1（h，l），degF′0，3（h，l）}≤q，所以

同理可得degFZ（h，l+1）≤p+l-1.因此当k=l+1时，式（7）成立.

在式（7）中取k=q+1，则有

由于degF2，1（h，q+1）≤q-q=0，degF0，3（h，q+1）≤q-q=0，所以对式（9）求导可得

将式（5）代入上式，有

由假设可知degF0，1（h，q+2）≤p+q+1，degFZ（h，q+2）≤p+q.引理证毕.

由与引理1 类似的证明过程可得引理2.

引理2对于H（x，y）=x2-x4+y4，当1≤k≤q+1时，有

定理的证明当c=1，n≥2 时，由引理1 可知

将式（6）代入上式，有

当n=0 时，I（h）=c0I0，1（h），其中c1≠0 为常数，于是B（1）=0.

当n=1 时，I（h）=c0I0，1（h）+c2I2，1（h）+c3I0，3（h），其中c1、c2、c3为不同时为零的常数.对I（h）求二阶导得I″（h）=c0I″0，1（h）+c2I″2，1（h）+c3I″0，3（h），将式（5）代入上式，有

令分子为零，再将式（6）代入，化简得

即572h2+191h+16=0，故I″（h）≠0，因此B（3）≤2.

当c=-1 时，利用引理2，同理可证定理成立.