指向学习进阶的小学数学单元作业:内涵、价值与实现路径

杨 杰, 程 岭, 阮青林

(江苏师范大学 教育科学学院, 江苏 徐州 221116)

2021年7月,中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》,该《意见》指出“全面压缩作业总量和时长”“提高作业设计质量,发挥作业诊断、巩固、学情分析等功能”,并针对作业管理提出五项具体的要求[1]。可见,作业改进是实施“双减”政策的必然要求。为响应“双减”政策的号召,切实提高作业设计的质量以达到“减负提质”的效果,学校积极探索单元作业设计。但是,公允地讲,实践效果不甚良好,与理想目标还相去甚远。原因何在?梳理相关文献可知,是由于作业设计缺乏中介理论的支撑,这里的“中介”在数学课程标准中的课程基本理念、课程内容和课程目标具体到学生的作业过程起着桥梁作用[2]。在“中介”理论的指导下,作业设计才能体现数学知识的整体性、逻辑的关联性、思维的系统性、方法的普适性和思想的一致性。为此,我们需要援引学习进阶理论作为中介,夯实数学课程标准对作业设计的理论指导,以期实现“双减”背景下作业“提质减量”的要求。

一、指向学习进阶的小学数学单元作业的基本内涵

(一)以知识为工具,知识关联结构化

指向学习进阶的小学数学单元作业以“知识为工具,关联知识结构”,旨在寻找知识间的连接点,将零散的知识连成线、结成网、筑成块、构成体,帮助学生构建整体认知结构。具体来讲,指向学习进阶的单元作业本着整体性和结构性的思想,以教材的自然单元为单位,将一类相同、相似知识进行组合、排列,从而帮助学生把所学的知识在头脑中组织起来,形成知识组块,进而建立知识结构,实现数学知识结构与学生认知结构的同生共长。作业形成之前,教师会将单元零散的、断裂的、散点的知识进行梳理、归纳和整合,让知识呈现整体结构。比如以《分数的意义》这一单元为例,通过梳理知识结构,教师发现,分数意义的内容编排具有层次性,体现了螺旋上升的认知策略。三年级上册学习一个物体的几分之一、几分之几;三年级下册重点学习一个整体的几分之一、几分之几;五年级下册学习分数的意义和分数的基本性质,这既是对前面知识学习的一个统整,也为后续系统学习分数的运算打下了基础;六年级除了学习分数乘除法和四则混合运算外,比的认识、百分数的认识、比例相关知识都是分数的后续关联内容。可见,关联知识结构能够清晰呈现课程内容的结构,凸显知识的结构体系,凸显相关领域知识的共性和本质,进而呈现具有“高结构”“强联系”的作业内容。

(二)以迁移为引领,方法关联结构化

指向学习进阶的小学数学单元作业不仅关联知识结构,更重要的是关联方法结构,即将同一单元不同的知识用相同的方法策略统整起来,生成方法策略结构,从而在更高层面上理解和应用学科方法解决实际问题[3]。方法结构是在知识自主建构过程中形成的,遵循知识内在逻辑机理和学科整体建构的本质特征,通过结构化、模块化的意义重构,帮助学生建立知识方法策略结构。方法结构一旦形成,就具有较强的迁移能力和灵活的应用能力,不仅可以迁移到类似单元中类似问题的学习内容中,还可以迁移到其他领域不同单元不同类型问题的学习中。例如,苏教版五年级上册《多边形的面积》单元探究了平行四边形、三角形、梯形和组合图形面积的计算,虽然不同图形面积公式的推导有差异,但也有共性。学生在学习平行四边形的面积时,通过剪一剪、移一移、拼一拼,将平行四边形转化为长方形,再利用长方形的面积公式推导出平行四边形的面积,这种剪一剪、拼一拼的方法对后续学习三角形、梯形和组合图形的面积起到了积极的迁移作用。当然,割补的方法还可以迁移到不同领域“数与代数”不同类型的问题上,例如简便计算9999+999+99+9+4就可以把4分割成4个1,补到9999、999、99和9上,分别合成10 000、1000、100、10,这样就很容易算出结果是11 110。这种方法迁移能有效打通知识间的内在联系,不断完善学生的方法结构,拓展学科思维空间,促进学科素养的生成。

(三)以实践为载体,活动关联结构化

学生的数学“实践”一般有两种:动手参与的实践和大脑思考参与的“实践”[4],无论哪种实践,学生在获得知识的同时也获得了知识之外的东西——数学基本活动经验。指向学习进阶的小学数学单元作业正是以“实践”为载体,将一组活动经验的获得置于完整的任务中,既见整体,又精局部,进行结构化、系统化的设计,也即关联活动经验,设计出活动再现、经验再现的作业。学生在教师组织的活动作业中亲身经历探究知识的完整过程,并围绕数学知识结构的逻辑发展系统思维。例如,在苏教版教材五年级下册《复式条形统计图》这一单元,由于学生在学习折线统计图和单式条形统计图的过程中已经积累了丰富的数据收集和绘图经验,在探究复式条形统计图的特点时,就可以让学生独立尝试完成绘图,通过动手参与的“实践”,体验数据收集、整理、描述和分析的过程,掌握单式条形统计图和复式条形统计图之间的区别和联系,进一步体验统计在生活中的应用,体会数学与生活的紧密联系。再如,在学习“认识千克”时,通过估一估、称一称、掂一掂等丰富的活动来感受和体验1千克有多重、1千克的不同物品有几个、几千克又有多重,建立1千克或几千克的丰富表象,使学生对千克的感知逐渐由模糊走向清晰、从抽象走向具象。这看似是一系列活动,但这些活动并不是相互割裂的,而是一个相互关联的有机整体,对后续学习“认识克”“认识吨”等计量单位具有正向迁移作用。

(四)以素养为宗旨,思想关联结构化

指向学习进阶的单元作业以培养学生的数学素养为宗旨,用联系的、结构化的意识去关联数学思想,让学生在练习中利用所学思想方法解决问题。数学思想是对数学内容和方法的本质理解和进一步抽象概括,它不仅是在具体数学内容中提炼出来的数学观,而且是在具体数学活动中形成的解决问题的方法观[5]。在小学数学学习中,常见的数学思想有:分类、转化、数形结合、归纳、集合等。指向学习进阶的小学数学单元作业就是有意识地在作业中渗透与这些思想相关联的题目,调动学生头脑思维运作,刺激学生深入思考,引领学生把握数学问题与已知条件的联系,并结合新旧知识之间的联系探索问题解决的路径。例如,学生在学习三角形时,利用分类的思想将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,以后遇到四边形分类的题目时,可以利用分类的思想将四边形分为平行四边形、梯形和任意四边形,再将平行四边形分为一般平行四边形和特殊平行四边形(长方形),最后将长方形分为一般长方形和特殊长方形(正方形)。再如,无论是对数与代数的学习,还是对空间与图形的探索都会用到转化的数学思想,关联转化的数学思想能够帮助学生在练习中体会数学思想的奥妙,提升思维的独创性,发展数学核心素养。比如在计算的练习中,多位数乘多位数的运算法则就是一个十分鲜明的例子,它的实质是把多位数乘多位数转化成一位数乘多位数;对于小数的乘除法,则是运用积的变化规律和商不变的规律转化成整数乘除法来计算。

二、指向学习进阶的小学数学单元作业的价值取向

(一)“厘清”知识脉络,激活关联思维

指向学习进阶的小学数学单元作业的第一重价值是通过关联知识结构让学生更清楚地明白不同层次知识之间的联系以及整个知识体系的脉络。如此知识体系的构建、知识脉络的梳理、知识关系的明晰,可以激活学习者的关联思维,使他们养成金字塔式的思维品质和思维习惯[6]。为了明晰关联思维,我国朱彩兰等学者借鉴布鲁姆的认知目标分类理论、比格斯SOLO分类理论及关联主义等理论,分析了关联思维的基本内涵。关联就是知识与知识之间因为某种关系所建立的联系,这种联系可以是纵向的,如程序结构和顺序结构之间的关联,也可以是横向的,如分支结构和顺序结构之间的关联[7]。具备关联思维,意味着学习者能够将所学知识与认知结构中已有的知识与现实生活世界建立关联,引导学习者在解决现实生活世界中的实际问题的过程中不断优化自己的认知结构,从而形成解决现实生活中实际问题的能力。金字塔思维是美国著名管理学家芭芭拉·明托所提出的一种理论[8]。这种思维对学生的思维、表达和解决问题都有着积极而重要的影响。在思维方面,它能让学生逻辑清晰、条理分明、重点突出;在表达方面,它能让学生更好地理解表达的结构规律和作用法则;在解决问题方面,它能帮助学习者从信息材料中构建逻辑树,从而有条理地分析和解决问题。总之,关联知识结构,可以很好地锻炼学生的思维习惯,提升学生的思维品质。

(二)“引领”方法会聚,开创迁移思维

指向学习进阶的小学数学单元作业的第二重价值是引领方法会聚,产生互动关联效应,催化迁移思维生成,促进学生在作业过程中形成具有一致意义的方法结构。方法结构具有良好的系统性,其内在的方法不仅容易被学习者便捷地吸收,而且容易被良好地储存。这些方法往往蕴含在数学知识中[9],并以高阶知识为内核,以网状结构为形态,储存在大脑皮层中,当新的情境特征与大脑皮层中已有方法匹配时,学习者便会启动迁移思维,快速激活、提取并再现这种方法,并将其应用于作业中解决类似情境问题。在高阶知识的统摄带领下,这样的网状结构往往比较“稳固”,也更容易形成具有强大功能的神经元簇。这种神经元簇不仅功能强大,而且突触较多,很容易与其他神经元簇建立起协同关系,形成神经元“工作群”。这样的工作群不仅能够协同作业解决复杂问题,而且容易在情境刺激下生发系统的“整体涌现性”[10]。涌现性产生的前提是方法间的联系与相互作用,如果方法之间是孤立的,没有任何联系与相互作用,便就不会产生涌现。如同爱因斯坦所说的,“一百个零相加还是零”。换句话说,涌现不产生于若干方法的集合,而产生于若干方法的协同与融合。可见,方法的整体涌现性有正向与负向之分,发挥方法的正向迁移作用能够确保产生积极的涌现行为和特性,从而迸发各种各样的灵感与智慧。

(三)“积累”活动经验,撬动系统思维

指向学习进阶的小学数学单元作业的第三重价值是通过活动关联,帮助学生积累丰富的活动经验。杜威曾指出:“经验是我们和自己所创造的环境的‘交涉’,我们在环境中所做的事(活动)、动作和感受(经历)形成了我们所谓的经验。”[11]显然,经验与活动是紧密联系在一起的。经验是在活动中产生和体现的,它是活动主体对客体的能动反映,是活动的过程和结果;活动是经验的源泉,没有亲身经历的实践活动就不会产生经验,经验与活动的关系是“皮”与“毛”的关系[12]。数学活动经验是学生个体在数学活动中获得的经验,这里的经验包括学生在活动过程中获得的感受、体验、领悟以及由此获得的数学知识、技能、情感态度与价值观等内容组成的有机结合性经验[13]。在作业设计中关联数学活动,能够帮助学生有意识地提炼、积累、丰富数学活动经验,并使其显性化,形成新的认知经验。已有的数学活动经验积累得愈多,与新知识之间的关联就越紧密,愈能有效地、创造性地学习。当新知识出现时,大脑会迅速与头脑中的认知结构相联系,搜寻更多的知识经验信息,对学习新知识的途径和方法作出判断和预测,并努力吸收新信息,使认知主体的认知结构不断得到扩展和完善。

(四)“搭建”思想模型,生发高阶思维

指向学习进阶的小学数学单元作业的第四重价值是通过挖掘隐藏在知识背后的数学思想,“搭建”思想模型,对零散、凌乱的思想进行分类、规整,通过分层、排列让这些独立、分离的思想建立联系,从而各就各位、相互关联“型构”出思想体系。这样的思想体系是对特定数学认知过程中知识和方法的高度凝练和简单概括[14],它不仅能起到完善学生数学认知结构的作用,而且基于其层次性、阶梯性和有序性的优良特点,对学生思维的发展起到重要促进作用。所谓数学认知结构,就是数学知识结构在学生头脑中的反应,是学生根据自己理解的深度和广度,结合自己的认知特点,如感受、感知、记忆、思维、联想等,将数学知识组合成的具有内在规律的整体结构[15]。从数学认知结构的构成要素来看,数学思想是其主要成分,它蕴含在数学知识当中,发挥着纽带作用,决定着知识之间的联结。之所以强调它与数学知识的关系,乃在于学生一旦理解并掌握了数学思想方法,就会形成条件性知识,当学习者遇到类似问题时,能够快速准确地检索和提取与任务相关的知识,在问题与知识之间建立丰富的联系,并最终选择解决问题的最佳方案,这是良好数学认知结构的最重要特征。此外,良好的层次性和阶梯性思维系统也是支持学习者发展高阶思维的重要途径,它将具体思想方法的学习放置于思想体系中加以整合,以突出思想之间的内部联系以及在问题解决中的价值,从而为学生解决问题指明路径,快速提高学生解决问题的能力。

三、指向学习进阶的小学数学单元作业设计的实现路径

(一)巧用知识关联,培养思维的深刻性

知识具有很强的联系性和高度的结构性,许多数学知识是在已有知识的基础上形成和发展起来的。也就是说,它们之间有着密切的联系,前面的知识是后面知识的基础,后面的知识是前面知识的发展,从而形成数学知识的连续性和完整性。对于小学生来说,注重数学知识的完整性和关联性,能使他们把握数学知识的本质,学会举一反三、触类旁通,培养思维的深刻性。因此,在单元作业的设计中,教师可以巧妙地关联知识,利用知识间的特点,引导学生深入思考。通过对比分析,寻找知识间的关联性,直追知识本质,挖掘其中隐含的道理,以此推动学生对知识深刻地认识,从而更加透彻地理解知识点,培养学生善于抓住事物本质和规律的能力,发展深刻思维。以单元为基本单位巧设知识的关联就是把具有相同或相似的一类知识以单元的视角进行关联和整体设计。例如以《面积》单元为例,巧设知识关联的关键有两点:一是建立结构。将零散的、碎片化的数学知识进行整体化、系统化、逻辑化以建立起知识结构。二是找出核心概念。根据共同拥有的数学本质,确定关键能力,促进思维进阶发展,落实核心素养。本单元的核心概念是“度量”,对比不同版本的教材,我们发现,无论是“线的度量”“面的度量”还是“体的度量”,其学习路径是相似的,其核心概念的本质结构也是相同的。长度、面积和体积作为度量概念的有机整体,教材都是引领着我们遵循明确度量对象属性、确定度量单位、获得度量值的顺序来学习的,而且教学都要经历“直观感知、非标准度量、标准度量、公式度量、合理灵活度量”这样的过程。因此,教师在进行单元作业设计时,可以将认识面积和面积单位放在一起,这样从度量的角度出发,引领学生经历面积概念建立的全过程,促进学生对概念本质的理解。

(二)巧设方法关联,发展思维的灵活性

法国数学家笛卡尔曾说过,“最有价值的知识是关于方法的知识”。对于学生来说,学习方法比学习知识更重要,也正所谓 “授人以鱼不如授人以渔”,如果把数学知识比作一盘菜,那么数学方法就是得到这盘菜的工具,而工具可以帮助学生得到不同种类的菜,所以掌握好数学方法,就可以得到不同种类的新知识。因此,在设计单元作业时,教师可以有意识地引导学生运用学过的方法解决新问题,学生根据具体问题进行具体分析,灵活运用适当的方法进行推理、演绎,以此来提高应变能力,发散思维,提高思维的灵活性。例如,在设计 《大数的认识》单元的作业时,为了提高方法之间的关联性,可以将“大数改写”和“求近似数”联系起来,融为一体,凸显“改写”和“省略尾数求近似数”在方法上的一致性。大数的改写步骤可以总结为:一分,二找。如:50 000=( )万,先分级,发现万位是5,即5个万,所以等于5万。800 000 000=8亿,而800 000 000=( )万,则答案是80 000万,技巧就是找到改写成以谁为单位,就找到这个数位,后面的0换成计数单位。省略万(亿)后面的尾数求近似数与大数改写的步骤相似,都是先分级(即一分),再找到万位(亿位)(即二找),只不过“省略”比“改写”多了“三看(看它下一位)”和“四判(判断是舍还是入)”。方法一致了,学生就会找准“发力点”,在方法的迁移中解决新问题。

(三)巧构活动关联,提升思维的敏捷性

数学课程标准指出:数学学习,要关注学生的学习过程,关注学生学习的基本活动经验,让学生通过实际操作、自主探究、合作交流等活动,经历数学知识的发生、形成过程,即经历丰富而生动的实践与思考过程,从而在活动中获得丰富的知识和经验。史宁中教授也说过:“世界上许多东西是无法传递的,只能亲身经历。智慧不完全取决于知识的多少,而取决于知识的运用,取决于经验的积累。”因此,教师要多让学生在“动手实践”和“思维实践”中磨炼,多让学生“经历过程”,多创设学生的“经历过程”,让学生在“做”中感悟、理解数学,体验并积累数学活动经验。同时,教师要根据学生所学知识的特点以及经历的数学活动经验,设计出活动再现、经验再现的作业,让学生在不同的问题下进行思考与反思,并迅速做出判断,选择恰当的解决方法,提高思维的活力,发展敏捷性。例如,在《长方体》单元作业中,为了更好地发展学生的空间观念,开拓学生的思维,教师可以精心设计数学实践作业,如:指导学生利用卡纸制作1立方分米的体积单位;利用橡皮泥或土豆等材料切1立方厘米的体积单位;利用家中的墙角围成1立方米的正方体。让学生在动手操作中体会体积单位的实际意义,感受体积单位之间的进率,通过这样的数学实践活动,不仅让学生深刻理解了数学知识,而且锻炼了学生动手操作的能力,积累了丰富的操作经验和探究经验。

(四)巧创思想关联,形成思维的独创性

数学思想是数学学习最高境界的标尺,是由书本转化入头脑中的“养分”,是数学的灵魂[15],对学生思维品质的提升具有举足轻重的作用。学生所学的知识可能出校门不到两年就忘了,但是铭记不忘的是头脑中的数学思想。因为,懂得数学思想有利于记忆,就是在部分知识遗忘的时候,也能得以重新构思起来。布鲁纳认为“除非把一件事放进构造好的模型里面,否则就很容易忘记”。数学思想就是数学学习中“构造好的模型”。因此,练习中可以利用学生已学的数学思想,帮助解决新问题,让其在练习中体会数学思想方法的奥妙,提升思维独特性,发展核心素养。例如,在《多边形面积》单元中,本单元重点引导学习者经历面积计算公式的推导过程,突出转化思想对学习图形相关知识的重要性,让学习者在操作过程中体会数学思想之间的联系,最终形成思想建模。单元一开始,从图形的拼组入手,让学生在动手操作中发现图形之间的变化关系,重点教学平行四边形的面积,让学生体验、感受和掌握“转化思想”,然后运用转化思想自主探索三角形和梯形的面积,从而沟通三种图形之间的联系。组合图形的面积则是在学习平行四边形、三角形和梯形的面积之后呈现,同样是运用转化的数学思想,将不规则图形转化为规则图形进行计算。因此,在作业中,教师可以有意识地设计一题多解的练习题目,让学生自由尝试,鼓励学生创新,用学到的思想解决问题,从而在“发散思维”的练习中逐步培养思维的独创性。▲