教学中“一题多解”对数学核心素养的培养——以2022年高考数学比大小为例

周宗全 闫化宇

(莘县第一中学,山东 聊城 252400)

2022年高考试卷考点分布合理,总体难度有所增加,但未出现偏、难、怪的题目,以《普通高中数学课程标准》为依据,以《中国高考评价体系》为最高原则,发挥出了数学科目选拔人才的作用.要求考生立足于教材,不拘泥于教材,活用教材,注重知识点之间的关联、融合、升华,搭建知识体系,渗透数学思想方法[1].以常规解法为基础,充分运用一题多解.文章通过对2022年高考数学卷中比大小类型的题目进行分析和整合,培养学生发散思维和通性通法解题的能力.

1 真题再现

2 解法展示

比大小题目为高考常规题目,为了考查学生对于函数的综合运用能力,题目基本告别了“三段式”的结论,要求学生需具备构造函数、利用导数、函数放缩等多方面的解题方法和能力[2].

2.1 常规解法

比大小,一般采取作商、作差的方法,其中会用到构造函数的思想.以真题为例.

综上所述,可判断c

在判断a,b大小时,可采用作商法,判断比值与1的大小关系,具体解法不再赘述.

2.2 放缩法

高中阶段常见放缩公式有:

以真题为例,其具体步骤如下:

前两种方法较为常规,但不难看出前两种方法需要学生具备较强的逻辑能力,考场压力下会消耗大量时间,所以在平常的训练中还是推荐通法,但课下还是可以了解一下其他解法和原理.我们知道对于非特殊的指数和对数一般很难算出它们的值,但我们可借助高等数学和其他领域的知识,从而快速求解这类题目.接下来我们将采取“泰勒公式”和“帕德逼近”方法求解此题.

2.3 帕德逼近

泰勒展开是一种很好的逼近方法,对许多函数都有很好的效果,然而,有时泰勒展开对某些带极值的函数逼近的效果不尽如人意,本质原因是因为多项式级数的局限性.为此,我们可以考虑用分式来逼近函数,也就是所谓的分式逼近,一种常用的分式逼近方法为帕德逼近,帕德近似(Pade approximation)是一种特殊的有理数逼近的一种方法,是一种非线性近似方法[3].帕德近似往往比截断的泰勒级数准确,而且当泰勒级数不收敛时,帕德近似往往仍然可行,以下列举了两种对数和指数的转换方式.这种方法比泰勒展开收敛速度更快.主要应用于计算机数学领域,但对于高中函数方面有一定的作用,学生和教师可以适当地了解一下,拓展自己的知识领域.

2.4 背数法

在高中数学阶段,熟记一些常见的特殊值也是必不可少的,对于一些题目的解答会带来不错的效果.下面根据题目进行变换,利用一些常见的数值带入比较其大小.

常见的对数有:ln2≈0.693,ln3≈1.098,ln5≈1.609

以真题为例,其具体步骤如下:

背数法固然可行,但对于有些题目无法化简成特殊数的形式,所以此方法适合一部分题目,不适合全部比较大小的题目.

3 一题多解的意义

通过观察可以看出比大小题目类型多,方法不唯一,每种方法都有优缺点,所以一题多解的应用意义重大.现阶段高中数学教学中,存在教学方法不合理的情况,从而限制了学生思维的开发,也不利于学生学习高中数学.比如题海战术,该学习的方式是让学生通过做大量的习题来熟悉并掌握相关知识,但这种学习方式却给学生造成了很大的学习负担和时间压力,甚至导致部分学生厌恶学习数学,认为数学是一门既浪费时间,又收获不大的科目.学生机械性地去做老师布置的题目,没有时间对其所做的题目进行认真思考和总结,导致对需要掌握的知识不深入不具体.此外,很多学生受到此类教学方法的影响,导致学生的学习方法也会有一定的限制.很多学生只寻求一种解题方法,就认为已经满足自己对此模块知识的掌握要求,并未认真考虑是否有其他简便快捷的解题方式[4].因此,一题多解的教学思路应当在高中数学教学阶段普及,同时让学生从中获得更大的收获.

4 一题多解,发散思维,提高能力

高中数学新课标指出,培养学生的数学思维能力是全面培养数学能力的主要途径,数学是思维的体现,解决问题是学习数学的目的.发散思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面寻求答案的思维方式.这种思维方式,不受现代知识的局限,不受传统知识的束缚,与创造力有着直接联系,是创造性思维的核心.培养发散思维能力既是培养学生创造力的重要环节,也是发展其个性的有效手段.

在数学科目上,一题多解是训练、培养学生思维能力的一种行之有效的教学方式,是让学生跳出单一思维模式,多种角度、多个方位地审视、分析问题,从而达到解决问题的目的.它能充分调动学生自行解决问题的主动性、积极性,让学生全方位地思考解题的多种方法,不断开发解题潜能.

用问题促进思维的发展即通过合理设计疑问,以促进学生自身思维多方向、多角度的发展.在训练发散思维时,教师要注意使设计的问题既达到了激疑目的,又具有一定的开放性.

用变化求得发散思维.在课本习题的基础上,通过变式进行训练,努力挖掘教材知识的深度和广度,寻求思维的发散点,结合已学和拓展的知识,从不同角度出发,寻找题目的最优解.教师需精心设计每一堂课,通过一步步的变式探究,一步步的引导,使学生在课堂上处于一种探究、探索的状态,通过多角度探究达到训练学生发散思维的目的.

教师需转变教学思路,注重学生讨论环节.在很多情况下,学生之间具有互相启发的作用,他们之间的相互交流沟通,可使解题思路得到有效的分享.为了促进学生学习进步,教师应当采用学生分组合作学习的方式,小组成员之间共同探讨、交流解答教师所布置的任务以及有几种方法可以解答题目等,将多个学生的思维整合到一起,再以小组为单位展开探讨.这种方式既能烘托学习氛围,又能激发学生的求知欲望,学生学习数学的热情高涨,从而提高学生的学习效率,达到全体学生相互帮助、相互促进学习的目的,同时加深学生对一题多解的学习方式,逐渐使其养成良好的学习习惯[5].

总而言之,熟练运用一题多解和多解一题是学生高中阶段不可或缺的能力,教师需提高自身教学能力和教学水平,丰富自身知识领域,从而优化学生综合素质,提高解题效率.