在高中几何教学中发展学生核心素养的实践

【摘要】本文以高中数学习题课“立体几何中的体积问题”为例，论述在几何教学中培养学生学科核心素养的途径：引導学生运用“转面”和“转点”两种技巧，将复杂的问题简单化，将抽象的图形直观化，在探究中找到通法，在变式中感悟问题的本质，发展数学抽象、直观想象、数学运算等数学学科核心素养。

【关键词】高中数学 体积问题 解题研究

变式教学 核心素养 立体几何教学

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）29-0068-04

自2018年教育部提出学科核心素养以来，一线教学中如何有效发展学生的核心素养成了各学校、教研组和一线教师思考的问题。全国各地的数学教研员和数学教师通过开展视导课、研讨课、优质课赛课等形式多样的教研活动研究课堂教学和解读数学学科核心素养。运用等体积法求解体积问题是高中数学教学的重点和难点内容，此内容与空间中点、线、面的位置，以及公理定理等知识关联紧密，对发展学生的空间想象能力，提升学生的核心素养具有促进作用。本文分享笔者参加“深耕课堂、品质教研”核心素养下青年教师大赛，荣获南宁市开发区一等奖的研讨课教学设计——“立体几何中的体积问题”。该课例引导学生通过求解三棱锥的体积以及其他一般几何体的体积，体会其中重要的数学思想——转化思想，发展数学抽象、直观想象、数学运算等数学学科核心素养。

一、教学设计依据

（一）基于对课程标准的研读

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）指出，数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。“立体几何中的体积问题”一课，主要聚焦数学抽象和直观想象等数学学科核心素养的发展。

数学抽象是指通过对抽象数量关系与空间形式，得到数学研究对象的素养。从图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的联系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构。因此本课拟呈现第一题组，重点阐述“转面”的方法。“转面”指的是找到有线面垂直关系的面作为几何体底面。在本教学环节，教师首先呈现高考真题，再改编条件引导学生思考，通过解答题组与归纳，总结出能够作为“垂面”的几何面的一般特征，增强学生对“转面”结构的认识。

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式，特别是图形，理解和解决数学问题的素养。借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化和运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探讨解决问题的思路。因此，本课拟呈现第二题组，重点阐述“转点”的方法。“转点”指的是通过平行关系等距转换顶点，或通过相似，利用相似比转换顶点。立体几何涉及三大距离：点面距离、线面距离以及面面距离，通过设置动点问题，引导学生思考，在学习面面距离时设计动画让学生能够直观观察，总结出“平行转化”和“比例转化”两种解决具体问题的基本模型，将未知问题转化为已知问题，进而解决。

（二）基于引导学生思维自然发展的思考

数学教学中蕴含着思维的体操、知识的传导、方法的掌握和思想的领悟等，这些都有助于学生思维的发展。笔者一直秉持以生为本的理念，致力于站在学生的角度设计符合学生思维发展的教学流程，自然而有层次地促进学生数学思维的发展。

笔者在《数列课堂教学中教师思维引导的理论与实践研究》一文中曾尝试根据教师在课堂教学引导学生思维发展的情况，结合《课程标准》中目标动词层次划分，进一步对“自然度”进行以下六个层次的描述。

自然度0：学生不知道基本的知识，如概念、原理等，无法参与教学活动，不能理解教师所讲解的知识及过程、结论。

自然度1：学生能了解教师的教学过程，通过模仿经历教学过程，对教师的观点和教学过程持认同的态度。

自然度2：学生理解教师所教知识内容，并尝试独立完成，能在教师的指导下领悟教学内容。

自然度3：学生能解释知识内容，能对内容进行整理，形成自己的认知形式。

自然度4：学生能提取出其中的核心知识，对教学过程进行清晰的分析，并能树立正确的价值观。

自然度5：学生可以用联系的方法来理解所学内容，并能迁移运用，能对教学过程做出正确的评价，发展对数学的认识。

因此，本节课拟从复习基础知识入手，做好教学活动铺垫，在变式教学中搭建合适的教学阶梯——等体积转换求同一三棱锥体积，为使教学由自然度0不断提升至自然度5铺垫。第一题组为直接求体积、“转面”，在此基础上设计“比例转换”，将所求图形的高转换为已知高，促使学生在解决问题时更易突破难点。第二题组无法直接“转点”，教师需提出问题并搭建教学支架：线面平行则直线上任意一点到平面的距离相等，从而实现“转点”，接着再“转面”，最后将问题从三棱锥这一特殊空间几何体迁移至四棱锥等更一般的几何体中，促使学生对体积问题有更深层次的认识。在整个教学过程中，注重变式和问题串的设计，在问题解决的过程中，使学生的思维得到有效发展，让学生有机会质疑、思考，发展创造性思维，有机会思考和提出自己的见解。在最佳时机，教师提供恰当的思维引导，如强化运算、模仿等，促进学生深入地思考问题内在的逻辑。在思维引导过程中，教师要遵循思维循序渐进发展的规律，让学生体会到某个阶段自然地想到解决问题的方法，使学生的思维自然地获得发展。

在此教学设计中，笔者主要以一道高考真题为原型进行改编，让学生在变式中体会“转面”“转点”的依据和原理，找出其中的一般规律，提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。

二、教学设计要点

（一）教材分析及学情分析

本节课内容为高中数学的高频考点。解答体积问题对学生空间立体感要求较高，要求学生能够理解并灵活运用公理和定理。学生在本节课之前已经复习了通过直接法求几何体体积，本节课着重分析从“转面”和“转点”两个角度求锥体体积的“等体积法”。

（二）教学目标与教学重难点

本节课设计了三个教学目标：一是掌握运用等体积法中“转面”的方法求三棱錐体积；二是掌握运用“转点”中的平行转移和比例转换求几何体体积；三是体会在求解体积过程中的转化思想。

本课重点共两个：一是掌握利用“转面”“转点”的方法求几何体体积；二是体会求解过程中的转化思想。本课难点也是两个：一是利用等体积法求几何体体积时如何“转面”；二是“转点”过程中，理解平行转换中的高的不变性、比例转换中高成相似比。

（三）设计思路

在教学设计中，将高考真题改编为例1，随后变式为例2。例1介绍通过“转面”实现等积转换，例2主要通过“转点”实现等积转换或者体积比例转换。

三、教学过程

（一）“转面”

例1：如图1，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，△PAD为边长为2的正三角形，AB=[3]，且平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥A-PBC的体积。

变式：如图2，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，△PAD为边长为2的正三角形，AB=[3]，且平面PAD⊥平面ABCD，M为AP中点，求三棱锥A-MBC的体积。

【设计意图】当几何体所给面上找不到高或者不好求高时，分析题目条件，可以将有线面垂直关系的面作为底面。本题组重点介绍等体积法中利用“转面”求几何体体积的方法，在变式中用中点引出比例转换（如上页图3所示），为后面比例转换做铺垫。

巩固练习：1.如图4，在三棱锥中，△ABC为等边三角形，AB=2，PA=1，∠PAC=∠PAB=60°，求三棱锥P-ABC的体积。

2.（2019年全国I卷，理科，第18题）如图5，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E、M、N分别是BC、BB1、A1D的中点。（1）证明MN∥平面C1DE。（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。

【设计意图】给出两个不同类型的几何体，师生合作分析如何“转面”，找出有垂线的面，突破第一个难点。在“转面”的过程中总结得出：将几何体中的悬空面转换到原几何体的表面，则可以运用原直棱柱线面垂直的条件求解，这是“转面”常用的方法，同时为第二题组中先“转面”，进而再“转点”的综合应用做铺垫。

（二）“转点”

例2：如图6，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且AP=1，AB=2，AD=[3]，M、N分别为PD、PB的中点。（1）证明PB//平面AMC；（2）求四面体AMNC的体积。

分析1：四面体的四个面为悬空面，找垂面为第一个难点。

分析2：解答第一问时，连接BD与AC交于点Q，易证PB//MQ，于是PB//平面AMC，因此PB上的点到平面AMC的距离相等，从而可以将N点转为B点或P点，实现将悬空面转换为几何体表面。这里运用了平行等距转换。

【设计意图】在例1的基础上变式，几何体中每个面都没有垂直关系，介绍通过平行转移的方法“转点”，实现转换。在此过程中也介绍“转点”过程中常用的第二种方法——比例转换求体积。

巩固练习：1.如图7，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，求四面体BDPC1的体积。

2.如图8，在三棱柱ABC-A′B′C′中，点D是AC′的中点，点E是B′C′的中点。（1）求证：DE∥平面ABB′A′；（2）若△ABC的面积为[3]，三棱柱ABC-A′B′C的高为3，求三棱锥D-BCE的体积。

【设计意图】巩固练习1考查平行转换“转点”，巩固练习2考查比例转换“转点”。师生合作分析如何“转点”，突破第二个难点。还可以运用割补法作差求解巩固练习2，帮助学生完善解答几何体体积的知识网络。

（三）布置课后作业，拓展提升

1.如图9，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题中正确的是（  ）。

①直线AP//平面A1C1D；②三棱锥P-A1C1D的体积为定值；③若M为AP上的动点，则三棱锥M-A1C1D不是定值。

2.如图10，四边形ABCD中，AB//CD，BC=CD=DA=[12]，AB=2，E为AB的中点，以DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点P的位置，且平面PDE⊥平面BCDE，F为PB的中点。（1）求证：PD//平面CEF；（2）求三棱锥P-DEF的体积。

【设计意图】课后作业共两道题，学生需综合运用“转面”“转点”的方法求体积，考查学生对本节课重难点的掌握程度，同时让学生接触高考题型中的不定项选择题。

（四）课堂小结

教师运用思维导图，带领学生梳理、总结与立体几何中的体积问题有关的基础知识、基本题型和基本数学思想方法（如下页图11所示）。

四、教学反思

本节课主要呈现两个题组：题组一考查“转面”等体积转换，主要为在几何体所给底面找不到高或高不好求的情况下，将有线面垂直关系的面转化为底面，求出高，进而等积求解；题组二考查“转点”，主要分析当几何体中没有直接可以找到高的面时，引导学生通过“转点”，进而实现“转面”、求体积，主要介绍常用的平行转换和比例转换。

巩固练习题组注重难度递进，选题注重几何体的多样性，符合《课程标准》提出的发展学生基本素养、发展学生空间想象能力的要求。题目涉及解三角形，这是求高、求面积的常用方法。采用这种方法既可以引导学生关联函数知识，又可以强化学生解答立体几何问题的能力。

课后作业中的两道拓展练习题，给学生课后思考指明方向，学生可以综合运用本节课所学的多种方法进行解答。这些方法可以提升学生分析图形和数学计算的能力，使其领会转化思想。

作者简介：李婷（1989— ），湖南长沙人，硕士，一级教师，主要研究方向为基础数学研究和德育研究。

（责编 刘小瑗）