综合训练（十八）

宋思思

一、选择题

1. 已知集合[A=xx2-x-2<0]，[B=x2x-1>0]，则[A?B=]（     ）

2. 设复数[z]满足[z-1=z-i]（[i]为虚数单位），[z]在复平面内对应的点为（[x]，[y]），则（     ）

A. [y=-x] B. [y=x]

C. [x-12+y-12=1] D. [x+12+y+12=1]

3. 若执行如图1所示的程序框图，则输出[i]的值为（     ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4.在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，则a3=（     ）

5.青春因奉献而美丽，为了学习贯彻党的二十大精神，为教育均衡发展不懈奋斗，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（     ）

8.正三棱锥的三视图如图2所示，则该正三棱锥的表面积为（     ）

A. [a>b>c]      B. [a>c>b]      C. [b>a>c]      D. [c>b>a]

二、填空题

13.已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点[（4，1）]，则该双曲线的标准方程为________.

14.已知三棱锥[A-BCD]的棱长均为6，其内有[n]个小球，球[O1]与三棱锥[A-BCD]的四个面都相切，球[O2]与三棱锥[A-BCD]的三个面和球[O1]都相切，如此类推，……，球[On]与三棱锥[A-BCD]的三个面和球[On-1]都相切（[n≥2]，且[n∈N?]），则球[O1]的体积等于__________，球[On]的表面积等于__________.

三、解答题

16.“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：

该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：

（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；

（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.

17.如图3，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，L分别为棱A1D1，C1D1，BC的中点.

（1）求证：AC⊥QL；

（2）求点A到平面PQL的距离.

18.已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上

（1）求抛物线Γ的方程；

（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定點，否则说明理由.

（1）若[k=1]，求[fx]的单调区间；

（2）若[fx]存在三个极值点[x1，x2，x3]，且[x12x2].

（1）求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若点P在曲线C1上，点Q曲线C2上，求|PQ|的最小值.

参考答案与解析

一、选择题

1. 【答案】A

∴[A?B={x|x>-1}].故选A.

2. 【答案】B

【解析】设[z=x+yi（x，y∈R）]，

∵[z-1=z-i]，∴[x+yi-1=x+yi-i]，

即[（x-1）2+y2=x2+（y-1）2]，化简得[y=x].故选B.

3. 【答案】B

【解析】第一次循环：[x=8，y=2]，满足[x>y]，继续循环;

第二次循环：[i=1，x=16，y=6]，满足[x>y]，继续循环;

第三次循环：[i=2，x=32，y=22，]满足[x>y]，继续循环;

第四次循环：[i=3，x=64，y=86]，不满足[x>y]，跳出循环，输出[i=3].故选B.

4.【答案】B

7.【答案】C

【解析】由于[f-x=-fx]，所以[fx]为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B，D两个选项.

8. 【答案】A

9. 【答案】C

10.【答案】B

二、填空题

12. 【答案】[-9]

【解析】画出可行域如图5所示，平移基准直线[2x+y=0]到可行域边界点[A-3，-3]位置，此时[z]取得最小值为[2×-3-3=-9].

【解析】双曲线渐近线为[x±2y=0]，則设双曲线方程为：[x2-4y2=λ]，代入点[（4，1）]，则[λ=12].

三、解答题

可得[X]的分布列为

17. 【解析】（1）作[QM⊥CD]于[M]，易知[M]为[CD]中点，[L]为[BC]中点，故[AC⊥ML].[QM⊥CD]，

故[QM⊥]平面[ABCD]，[AC?]平面[ABCD]，

故[QM⊥AC]. [QM?ML=M]，

故[AC⊥]平面[QML]，[QL?]平面[QML]，

故[AC⊥QL].

解得p=2，所以抛物线的方程为：y2=4x；

（2）设M（x0，y0），N（x1，y1），L（x2，y2），

则y12=4x1，y22=4x2，

[∴fx=ex- xx-1].

令[hx=ex-x，h'x=ex-1]，

[h'x>0]得[x>0]，由[h'x<0]得[x<0]，

[∴][hx]在[（-∞，0）]上递减，在[（0，+∞）]上递增.

[∴hx≥h0=1>0]即[ex-x>0]，

[∴]解[fx>0]得[x>1]，解[f'x<0]得[x<1]，

[∴fx]的单调减区间为[（-∞，1）]，单调增区间为[（1，+∞）].

（2）[fx=exx-2+ex-kx2+kx=ex-kxx-1]，

[∵fx]有三个极值点，

[∴]方程[ex-kx=0]有两个不等根，且都不是[1]，

令[gx=ex-kx]，

当[k≤0]时，[gx]单调递增，[gx=0]至多有一根，

[∴k>0]，解[g'x>0]得[x>lnk]，解[g'x<0]得[x

[∴gx]在[（-∞，lnk）]上递减，在[（lnk，+∞）]上递增，

[∴glnk=elnk-klnk=k1-lnk<0，k>e]，

此时，[g0=1>0]，[lnk>1，g1=e-k<0]，当[x→+∞]时[gx→+∞].

[∴当k>e]时，[fx=0]有三个根[x1，x2，x3]，且[0

将[x=ρcosθ，y=ρsinθ]代入ρ2-4ρcosθ+3=0.

得x2+y2-4x+3=0，

整理得（x-2）2+y2=1.

（2）设点P（5cosθ，4sinθ）在曲线C1上，圆心O（2，0），

当cosθ=1时，|PO|min=3，

所以|PQ|的最小值3-1=2.