由一道题谈求解含参不等式恒成立问题的思路

熊勇

含参不等式恒成立问题通常较为复杂，且解题的难度较大.这类问题常与函数、导数、不等式、方程等知识相结合，侧重于考查同学们的数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力.下面以一道例题，探讨一下求解含参不等式恒成立问题的思路.

例题：已知函数[f（x）=aex-1-lnx+lna]，若不等式[f（x）≥1]恒成立，求实数[a]的取值范围.

本题涉及了指数式[ex-1]、对数式[lnx]以及参数[a]，较为复杂.我们需将不等式进行合理的变形，构造出新函数，将问题转化为函数问题，利用函数的单调性、最值、极值、图象来解题.解答本题主要有以下三种思路.

一、分離参数

对于含参不等式恒成立问题，通常可采用分离参数法.即先将不等式中的参数和变量分离；然后将不含参数的式子构造成函数，通过研究函数的单调性、图象、最值，求得函数的最值，即可确定参数的取值范围.一般地，[a>f（x）]恒成立[?a>f（x）max]；[a≥f（x）]恒成立[?a≥f（x）max]；[a

解：对[f（x）=aex-1-lnx+lna]求导，

因为[a>0， x>0]，所以[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递增.

所以当[x→0]时， [f（x）→-∞]；

当[x→+∞]时， [f′（x）→+∞].

由函数零点存在性定理可知，必存在唯一的正实数[x0]，使得[f（x0）=0]，且当[0x0]时，[f′（x）>0]，

所以函数[f（x）]在[（0， x0）]上单调递减，在[（x0，+∞）]上单调递增，

可得[2lna≥0]，解得[a≥1]，

故实数[a]的取值范围是[[1，+∞）].

二、构造同构式

对于含有指对数的含参不等式问题，为了简化问题，通常可将不等式进行适当的变形，使不等式左右两边的式子成为同构式，即可根据同构式的结构特征构造出新函数，利用新函数的单调性、最值、图象求得问题的答案.

则当[00]，当[x>1]时，[h（x）<0]，

所以函数[h（x）]在[（0，1）]上单调递增，在[（1，+∞）]上单调递减，

从而可得[h（x）max=h（1）=1].

因此[a≥1]，故实数[a]的取值范围是[[1，+∞）].

解法2.不等式[f（x）≥1]可变形为[elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx]，

即[（lna+x-1）+elna+x-1≥lnx+elnx]，

构造函数[g（t）=t+et]，

则不等式[g（lna+x-1）≥g（lnx）]成立.

所以函数[g（t）=t+et]是增函数，

所以[lna+x-1≥lnx]，

所以[lna≥lnx-x+1]恒成立.

设函数[h（x）=lnx-x+1]，

所以当[00]；当[x>1]时，[h（x）<0]，

所以[h（x）]在[（0，1）]上单调递增，在[（1，+∞）]上单调递减，

可得[h（x）max=h（1）=0]，

从而可知[lna≥0]，解得[a≥1]，

故实数[a]的取值范围是[[1，+∞）].

将已知不等式[f（x）≥1]变形为同构式[elna+x-1+lnelna+x-1≥x+lnx]，即可根据同构式的特点构造出函数[g（t）=t+lnt]，利用函数的单调性、最值解题. 一般地，根据[ea±a≥b±lnb?ea±lnea≥b±lnb]，可构造函数[f（x）=x±lnx]；根据[ea±a≥b±lnb?ea±a≥elnb±lnb]，可构造函数[f（x）=ex±x].

三、寻找不等式恒成立的必要条件

对于含参不等式恒成立问题，往往可先根据一些特例，探求出已知不等式恒成立的一个必要条件（利用参数不等式表示），若经检验知该必要条件也是已知不等式恒成立的充分条件，则可根据其充分必要条件建立关系式，求得参数的取值范围. 显然，这种解题思路具有一定的偶然性和局限性，并不适合于求解大部分的题目.

解：因为不等式[f（x）≥1]恒成立，

所以[f（1）≥1]，即[a+lna≥1]（*）.

设函数[g（a）=a+lna]，

因为[g（1）=1]，所以由（*）可得[g（a）≥g（1）].

因为函数[g（a）]是增函数，从而可得[a≥1]，

因此[a≥1]是不等式[f（x）≥1]恒成立的必要条件.

接下来证明[a≥1]也是不等式[f（x）≥1]恒成立的充分条件.

当[a≥1]时， [f（x）=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx]（**）.

设函数[h（x）=ex-1-lnx]，

因为导函数[h（x）]是增函数，且[h（1）=0]，

所以函数[h（x）]在[（0，1）]上单调递减，在[（1，+∞）]上单调递增，

从而可得[h（x）min=h（1）=1]，

由（**）可得[f（x）≥ex-1-lnx≥1]，

所以[f（x）≥1]恒成立.

综上可知，不等式[f（x）≥1]恒成立，解得[a≥1].

故实数[a]的取值范围是[[1，+∞）].

我们根据不等式[f（x）≥1]恒成立，寻找到特例[f（1）≥1]，得[a+lna≥1]，然后根据[g（a）=a+lna]的单调性，证明[a≥1]是不等式[f（x）≥1]恒成立的必要条件；再根据[h（x）=ex-1-lnx]的单调性，证明[a≥1]也是不等式[f（x）≥1]恒成立的充分条件，从而确定参数的取值范围.

总之，解答含参不等式恒成立问题的思路有多种，同学们需根据恒成立不等式的结构特征，将其进行合理的变形、构造，以运用转化思想，将问题转化为函数最值问题、单调性问题，利用函数思想顺利求得问题的答案.