以实际情境驱动 促建模能力提升——从学生整理图书工作谈起

北京教育科学研究院 丁明怡

北京景山学校 李 健 刘兴华

一、教学内容分析

（一）指导思想

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。统计学是高中数学课程的重要内容之一，通过对数据的收集、整理、分析，培养学生用数据描述信息、分析与推断数据等统计观念，提升学生创新能力和数学建模素养。

本课时从学生身边的生活情境出发，通过讨论影响实际问题的主要因素，进一步建立合适的数学模型，解决实际问题，体会数学与实际生活的联系，感受统计学的实用价值。

（二）教材分析

“统计案例”位于普通高中教科书人教A版数学必修第二册第九章第三节，是学习过 “随机抽样”“用样本估计总体”之后对统计知识的综合应用。

通过本章学习，学生经历了较为系统的数据处理全过程。在此过程中，进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法和数据统计特征的刻画方法；感悟根据实际情况进行科学决策的必要性和可能性；体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推理与演绎证明的差异；通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验，培养数据分析的素养。

本课时教材定位于通过一个完整案例让学生经历统计学解决问题的过程：了解背景知识、数据来源和要解决的问题，设计解决问题的思路，给出统计分析的结果。

二、学情分析

通过学情调查发现，在义务教育阶段概率与统计学习后，85%的学生认为 “学好概率与统计对生活是有帮助的”，“与其他数学知识相比，学习概率与统计内容难度不大”。60%以上的学生解决概率与统计问题时能够做到“正确选择抽样方法进行数据获取、能够结合获取数据，用样本估计总体、更加重视数据图表的使用、关注样本的随机性，科学得到分析结论”。

通过分析学业水平测试发现，大部分学生在数据收集的方法、数据的描述、数据的分析以及统计的一般过程等不同层次水平上均表现良好，但通过条形图与折线图、雷达图、散点图等不同统计图进行数据描述及进一步数据分析发现，学生的能力仍需进一步提高（见表1）。

表1 学业水平测试分析

三、教学目标

（1）通过对具体问题的分析，经历用统计方法解决实际问题的过程，特别是用统计分析的结果解释实际问题，体会统计方法在进行科学决策时的必要性，提升逻辑推理、数学运算素养；

（2）经历从身边的真实情境出发，并利用数学模型解决问题的探究过程，培养从实际情境中发现问题、提出问题的能力，提高分析问题、解决问题和数据分析的能力，发展数学建模素养；

（3）在 “问题情境—建立模型—解决问题”的过程中，逐步养成用数据分析问题的习惯，学会判断影响事情的主要因素，从中感悟数学的应用价值，提升创新意识和实践能力。

四、教学流程示意

教学流程示意图如下（见图1）。

图1 教学流程示意图

五、教学过程设计

（一）情境引入

维护校园环境的整洁有序，是每个学生的责任和义务。根据学校安排，我们班的公共劳动区是图书馆。开学至今，每周派两名同学协助图书馆老师进行图书整理工作。

下面，我们先请甲同学简单介绍一下图书馆图书整理工作的内容。

（通过播放视频及学生现场讲解介绍图书整理工作）

教学预设：采访上次去整理图书的同学整理了多少书籍。

甲、乙两名同学分别整理图书28本和15本。

为满足同学们的阅读需要，图书馆在开学初又订购了一些新书，这些新书按照每周30本的速度逐步上架。新书上架首先需要进行分类、编码、录入系统等，这些专业工作由图书馆老师完成。因此，参与图书馆图书整理工作包括将借阅后还回来的书上架和将新书陆续上架。

所以考虑以下问题：

问题1：每周要派出若干名同学去图书馆协助老师进行图书整理工作半小时。试问每次要分派几名同学参与此项活动最合理？

师生活动：教师展示问题情境，让学生了解需要解决的问题。

【设计意图】从身边实际经历的问题情境出发，激发学生的学习兴趣，为本课时的后续学习做好准备。

（二）问题解决

1.拟订方案

问题2：你认为有几种获得待上架图书的数量的方法？它们的优缺点是什么？

师生活动：

学生讨论抽样方法及其优缺点，确定待上架图书数量的组成。

（1）根据图书馆的电子借阅系统，获取每天产生的借书与还书的数量。

（2）每周按照固定的时间（如在图书馆开馆的时间）派同学去图书馆统计。

（3）侧面调查，抽样调查全校中学生去图书馆的频率以及图书馆的使用情况，分析学生到图书馆借阅会产生多少本需要上架的图书。

比较以上几种调查方法，分析优缺点，确定既可行又良好的抽样方法。

【设计意图】引导学生思考实际情境与抽样方法的关系，找到代表性比较好的抽样方法，获取数据，为解决问题奠定基础。

问题3：如何衡量参与工作的同学的工作效率？

师生活动：学生讨论交流，可以用单位时间（单位：分钟）内整理图书数量的多少作为图书整理的工作效率。

如果已知甲、乙两名同学的工作时间都是20分钟，则这两名同学的工作效率分别为1.4和0.75。

追问：为什么这两个同学的工作效率差别有些大？

师生活动：学生讨论回答。

甲同学已经参与过几次图书整理工作，整理流程比较熟悉，所以速度快，效率高；而乙同学是第一次参与整理，所以工作流程不熟练，书架位置也不清楚，所以速度慢，效率低。

【设计意图】从实际情境出发，建立合适的数学模型，提升数学建模素养。

2.实施方案

问题4：怎样用合适的方法估计待上架图书的数量？

师生活动：师生讨论认为，待上架图书应该包括当日学生还回的图书和需要上架的新书。

（1）为了更好地了解图书馆的使用情况，在课前调查了图书馆近期80个工作日每日还书的数量如下（见表2）。

表2 图书馆近期80个工作日每日还书的数量

从这些数据可以看出，每日还书的最大值是116，最小值是22，相差较大。

选取组距为10，可以得到如下频数频率统计表（见表3）。

表3 图书馆近期80个工作日每日还书的数量的频数频率统计表

利用信息技术进一步做出每日还书量的频率分布直方图（见图2）。

图2 图书馆近期80个工作日每日还书的数量的频率分布直方图

从频率分布直方图中可以看出，每日还书的册数在50～80之间的占比比较大，少于40或者大于100的占比都比较小。

追问：图书馆近80天每日还书的数量都不相同，用哪个数字特征代表每日还书的数量？

师生活动：师生共同讨论，取不同数字特征对估计结果的影响。

预案一：用平均数代表每日还书的数量。

此时，求得的学生数可以保证大多数情况完成工作。

预案二：用众数代表每日还书的数量。

由具体数据可以得到众数为54，由频率分布直方图可得众数为55，由此求得的学生数可以保证大多数情况可以完成工作。

预案三：用最大值代表每日还书的数量。

由具体数据可以得到最大值为116，由频率分布直方图可得最大值为115，由此求得的学生数有接近100%的把握完成这个任务。但是很多情况下可能会有人员浪费。

预案四：用第90百分位数代表每日还书的数量。

由具体数据可以得到第90百分位数为99，由频率分布直方图可得第90百分位数为100，由此求得的学生数可以有90%的把握完成这个任务。

【设计意图】经历获取数据的过程，并对数据进行分析，提升学生数据分析素养。

问题5：怎样确定同学们的工作效率？

师生活动：学生讨论交流，教师做必要的引导。

显然，仅以甲乙两名同学的工作效率作为样本，样本量比较小，不能很好地代表总体（我们班同学）的工作效率。

根据以往参加图书整理活动同学的经验，记录这16个同学的真实数据（见表4）如下。

表4 学生每周参与图书馆服务的工作时间和完成整理图书的数量

进一步根据工作效率的计算公式，可得表5。

表5 学生每周参与图书馆服务的工作效率

追问：用哪个数据能够估计我们班同学的工作效率？

师生活动：教师引导，学生讨论回答。

由于每个同学参与图书馆服务的时间不同，工作的熟练程度不同，所以工作效率不同甚至差别很大。

预案二：最小值：0.7。

由于估计所有同学都可以达到这个水平，当分派的人数多时容易造成人员浪费。

预案三：最大值：1.6

由于最大值多数同学达不到，所以不容易完成任务。

预案四：众数：1，1.4，1.6。

有多于1个众数，且差别较大，用哪个来估计总体都不准确。

所以为了保证图书整理任务都能按时保质保量地完成，最终选择用这16名同学工作效率的平均数来估计总体的工作效率。

【设计意图】学生再次经历获取数据的过程，体会用样本数据的哪个数字特征（平均数、众数、中位数、百分位数）估计总体的数字特征，理解各个数字特征的作用，提升数据分析素养。

问题6：根据上面的分析，每周要分派几名同学参加图书整理工作？

师生活动：教师引导，学生交流讨论：由于我们志愿服务的时长是30分钟，因此我们可以通过以下公式计算需要分派的学生数。

预案一：以图书馆近80天每日还书数量的（样本）平均数估计当日还书量：

所以需要分派3名同学参加图书整理工作。

预案二：以图书馆近80天每日还书数量的（样本）众数估计当日还书量：

所以需要分派3名同学参加图书整理工作。

预案三：以图书馆近80天每日还书的数量的（样本）最大值估计当日还书量：

此时分派4名同学参加图书整理工作，应该就可以完成绝大部分工作。

预案四：第90百分位数：

所以分派4名同学参加图书整理工作能完成几乎所有工作。

【设计意图】解决问题。应用前面获取的数据，初步解决问题。发展逻辑推理和数学建模素养。

3.拓展深化

问题7：随着同学们参与图书整理工作的次数越来越多，相信大家的工作效率会有不同程度的提高，此时，分派参与图书整理工作的学生数是否需要调整呢？

师生活动：教师引导，学生交流讨论：经过一段时间，不仅学生整理图书的工作效率会变，图书馆每日的待上架图书数量可能也会发生变化，因此，我们需要再做一次调查，收集待上架图书的数量和学生工作效率的数据，用样本估计总体，计算出需要分派的学生数。

【设计意图】进一步明确统计结果是具有时效性。同一个问题，在不同时期，由于内因（学生工作熟练度增加，工作效率提高）与外因（待上架图书的数量变化）的影响作用，问题的结果是不一样的。

问题8：在刚刚解决问题的过程中，我们以16名同学工作效率的平均数估计全班同学的平均数，求出需要分派的学生数。这样求得的结果一定能保证完成任务吗？

师生活动：学生讨论交流，教师给予必要的指导。

由于个别同学可能因为个人（能力、态度等）原因，工作效率较低，如果在全班范围内随机抽样，很可能会抽到工作效率都很低的3名同学，那么他们很难完成任务。所以可以采用分层抽样的方法，即把全班同学分成有经验和没有经验的两层，分别抽取组成样本，这样完成任务的可能性会增大。

【设计意图】让学生体会抽样方法的重要性，体会样本的随机性。

（三）课堂小结

问题9：通过本节课的学习，你有哪些收获和感受？

师生活动：教师引导学生加强学习反思，归纳提升。

【设计意图】通过小结，提升学生对本章学习的认识：第一，统计是通过收集数据和分析数据来解决实际问题，认识到 “有效地”收集数据和分析数据是解决问题的关键；第二，能根据实际问题的具体特点，设计恰当的抽样方法收集数据，选择恰当的统计图表描述数据，选择合适的数字特征刻画统计特征；第三：理解基本的统计知识，掌握基本的统计方法，能根据生活经验调整解决实际问题的办法，提升数据分析和数学建模素养。

（四）布置作业

我校图书馆从1996年开始到2023年五年借出图书的数量如图3所示。分小组设计一个调查方法，并研究产生这种情况的原因。

图3 图书馆五年借出图书的数量

【设计意图】本课时内容围绕图书馆学生的借阅情况展开，课后作业则进一步针对图书馆历年的借阅量情况进行研究。让学生在解决问题的过程中，具体经历收集数据、分析数据、整理数据的过程，培养学生逻辑推理、数据分析和数学建模素养。

六、教学反思

（一）创设情境，构建模型

以学生身边的实际情境为出发点，讨论为图书馆分派几名同学参与图书整理工作较为合理。学生结合图书馆的借阅系统提供的数据以及学生实际工作中统计的数据，应用学过的统计知识分析问题，并构建合理的数学模型，再通过数学运算解决问题，体会数学在实际生活中的应用，提高创新能力。

（二）分析数据，提升素养

通过实际情境引导学生根据实际问题的需求，选择不同的方法获取数据，理解数据蕴含的信息；根据数据分析的需求，选择适当的统计图表描述和表达数据，并从样本数据中提取合适的数字特征，估计总体的统计规律，解决相应的实际问题。在解决同一个问题时，用不同的数字特征进行分析得到的结果略有不同，有利于学生进行比较，提升数据分析和数学建模素养。

（三）运用技术，突出重点

在统计学习中，不可避免地会出现机械、烦琐的数据处理工作。合理使用信息技术，可以将学生从这些复杂的计算中解放出来，更集中精力去理解统计的概念和基本方法，使统计问题的研究和解决更加流畅，有利于培养逻辑推理和数据分析素养。