实际情境引思考 核心素养再提升
——以探究西红柿某施肥量与产量增量的关系为例
2023-12-05北京市第五十七中学李倩倩
北京市第五十七中学 李倩倩
北京市海淀区教师进修学校 张 鹤
北京市第五十七中学 孟 伟
一、教学内容分析
（一）指导思想
高中数学课程标准中的必修课程包括五大主题：预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动。函数与实际生活息息相关，与其他学科内容联系紧密，是贯穿于整个数学课程的一条主线，起着承上启下的作用，是五大主题中非常重要的一部分，因此，对高中函数的教学研究具有重要意义（见图1）。
图1 高中数学课程内容结构
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，数学建模活动与数学探究活动中提出：“数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容。”
本节课从生活中的实际情境出发，通过讨论影响西红柿产量的主要因素，进一步确定研究对象，运用指数函数、对数函数、幂函数等函数的性质与图象特点，建立数学模型，把握数学内容的本质，最终解决实际问题，解释科学现象与社会规律。
（二）教材分析
高中阶段函数主线围绕以下几个内容展开，理解一般的函数概念，学会研究函数的性质；掌握一批具体函数模型（函数类）；了解函数应用问题，学会运用函数解决这些问题；掌握研究函数的思想方法；通过函数学习和应用，提升数学核心素养。数学建模是高中数学的一条主线，数学探究是数学知识在数学内部的联系和应用；数学建模是数学知识在数学外部的联系和应用。
本章内容对应的是课程标准中必修 “主题二函数”的第二个单元 “幂函数、指数函数、对数函数”以及第四个单元“函数应用”的部分内容（函数模型）。本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，选择合适的模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。
本节课的探究对培养学生数学抽象、数据分析、数学建模等数学核心素养是非常重要的。本节内容之前学生先学习了函数的性质以及基本初等函数，本节课通过学生去北京市通州区某蔬菜大棚进行调研，让学生体验提出问题、分析问题、解决问题的过程，研究函数模型的应用。知识内容上，本质是模型参数原理的探究；思想方法上，是数学建模核心素养的进一步巩固和深化。
对于实际生活中的问题，要培养学生用数学视角发现，用数学方法探究、并解决的能力。本节课的设计从实际的西红柿相关问题出发，让学生探索解决问题的途径，学生可发散想法，从多个角度寻找数学关系，通过小组讨论的形式，建立数学模型，解释模型参数确定的方法，进一步进行模型选择，预测，最终运用数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象。
二、学情分析
本节课选取现实的生活情境，学生已经学习了函数的定义，基本初等函数：指数函数、对数函数、幂函数，学生能否将现实生活中的情境问题抽象出数学问题，并解决问题是关键。本节课通过教师引导，学生将抽象的知识学习转变为具有开放性的学习实践，并体验发现问题、大胆猜想、提出质疑、解决问题的过程，拓展学生的数学生活经验，感悟数学与现实之间的关联。本节课授课的学生为本年级实验班，学生基本知识功底较强，但应用其解决实际生活中问题的能力还有待提升。
三、教学目标
（1）理解函数模型参数确定的方法；（2）初步掌握解决数学问题的数学思想：抽象、推理、模型；（3）学会解决具体数学问题的方法：取对数，进行运算的降级。
教学重点：选择函数模型解决实际问题。
教学难点：理解函数模型参数确定的方法。
四、教学流程设计
教学流程设计参见图2。
图2
五、教学过程设计
（一）情境引入
西红柿属于常见蔬果，不仅美味，而且营养丰富，它的产量与什么有关系呢？我们对此产生了好奇，同学们利用周末时间对北京市通州区某蔬菜大棚进行了调研，对种植园主进行了访谈（见图3）。
图3 调研访谈
得到西红柿产量的增加量y（kg）与使用某种肥料的质量x（kg）之间的对应数据如下（见表1）。
表1 西红柿产量的增加量与使用肥料的质量之间的对应数据
【设计意图】使学生发现生活中的数学问题
（二）问题解决
探究一：分析数据，画散点图
问题1：观察数据，你怎么理解？数据有变化，可以看作变量吗？它们有什么关系？
问题2：这是什么函数？谁是自变量，谁是函数？可以画图吗？
学生：
1.第一行数据依次增加5，第二行数据增长的先快后慢，再降低，这里有两个变量x，y，随着自变量x的增加，函数y增长得先快，后慢，再降低。
2．散点图（见图4）
图4 西红柿散点图
【设计意图】学生实地考察后，发现问题，收集数据，观察数据，找到变化，把两组数据看作两个变量，描述变量之间的关系。
探究二：模型建立，参数确定
问题3：观察散点图，根据你学过的函数的性质与图象，你能否用函数关系表示上述关系，并说明选择这个函数的原因。
学生：
（1）线性函数：一次函数y＝kx＋b，因为它是最简单的函数。
（2）对数类型函数：因为通过散点图观察，y随x增大的越来越慢。
（3）幂函数类型函数：y＝xα，当α＜1时，y随x增大的越来越慢。
（4）多项式函数：使用计算机excel拟合数据，发现散点与函数图象比较接近。
（5）不可能是指数函数，因为指数函数呈现爆炸式增长，与散点图不相符。
问题4：请写出你的函数关系式，并说明确定参数的方法。
学生：
（1）线性：设y＝kx＋b。（见图5）
图5
法一：代入多个两组数据，求k，b的值，再求平均值。
法二：excel拟合数据。
发现计算机与代入法求平均值得到的k，b的值有差别，计算机是怎么求k，b值的？
学生：
计算机的方法
若使关于k的二次函数最小，
（2）对数类型：设y＝alnx＋b。（见图6）
图6
法一：代入多个两组数据，求a，b的值，再求平均值。
法二：excel拟合数据。
发现计算机与代入法求平均值得到的a，b的值有差别，计算机是怎么求a，b值的？
对数型函数是非线性的，比较复杂，我们可以转化为线性问题。
设X＝lnx
则y＝ax＋b，化为线性的一次函数。
（3）幂函数类型：设y＝axb。（见图7）
图7
法一：代入多个两组数据，求a，b的值，再求平均值。
法二：excel拟合数据。
幂函数是非线性的，比较复杂，我们可以转化为线性问题。
取对数lny＝ln(axb)＝lna＋lnxb＝lna＋blnx，
设Y＝lny，A＝lna，X＝lnx；
则Y＝A＋bX。
因为A＝lna，
所以a＝eA。
（4）多项式函数：设y＝ax3＋bx2＋cx＋d。（见图8）
图8
追问：我们可以选择多项式函数吗？
学生：一般不选择，因为多项式函数会过度拟合数据。
【设计意图】使学生根据已有的知识，回顾已学的函数的性质和图象，分析哪个函数更适合数据的变化；并追寻函数模型参数确定的方法，掌握数学本质；体会解决生活中问题的数学思想，数学方法。
探究三：模型选择
问题5：如何评价你们得出的函数关系模型哪个拟合数据更好，拟合系数一定越接近1越好吗？
学生：
所以
R2越接近1越好，R2≤1。
【设计意图】使学生学会考虑实际生活情境，选择合适的模型，进行预测，注意不要过度拟合。
预测：
（三）课堂小结
【设计意图】了解数学建模的基本流程；理解模型参数确定的方法；掌握解决问题的数学思想：抽象、推理、模型；学会解决具体数学问题的方法：取对数，进行运算的降级。
（四）作业设计
探究八大行星围绕太阳运行有什么规律，神舟十六号载人飞船的运行满足这样的规律吗？
（五）板书设计（见图9）
学法指导：对于生活中的问题，可以抽象出数学问题，按照发现问题、收集数据、分析数据、画散点图、模型建立、参数确定、模型选择、预测的流程进行数学建模。对于复杂问题，可以转化为简单问题解决，陌生问题转化为熟悉问题解决；取对数是一个运算降级的非常好的方法，伽利略曾说：“给我时间、空间及对数，我就可以创造一个宇宙！”
六、教学设计特色说明及教学反思
（一）情境探究，模型建立
本节课从生活中的情境出发，以不断追问的形式激发学生学习的热情，体现学生的主体地位。让学生体验从生活中的情境中提出问题、数学建模、寻求确定模型参数的方法，进而解决问题的过程；掌握解决生活中问题的数学思想及数学方法；启发学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学语言表达世界，鼓励学生拥有一双善于发现生活中数学的眼睛；让学生掌握基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，激发学生探索新知、运用新知的欲望，不断培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
（二）分析数据，模型选择
通过散点图中数据增长趋势的分析，根据学过函数的性质与图像，多个小组建立多个数学模型，最后进行模型优化，选择最优的模型，提升了学生数学抽象、数据分析、数学建模等核心素养。
（三）整体设计，体验过程
本课时设计从整体上让学生把握数学建模的流程，掌握研究生活中数学问题的思想方法，学会用取对数来进行数据处理。探究模型参数原理的过程中，也在为大学中的最小二乘法做铺垫，有利于对学生的长远培养。
（四）作业应用，提升素养
在本节课实施的过程中，不仅注意了整体课程发展的需要，也及时在学生表达自己想法时，给予了每个细节上的评价与肯定，提高了学生学习数学的兴趣，建立了生活与数学的联系。神舟十六号刚刚飞向太空，作业中先探究八大行星围绕太阳运行有什么规律，进而研究神舟十六号载人飞船的运行是否满足这样的规律，进一步让学生感受生活中的数学。
