从误解到理解，小学数学学中的反例视角

曾焕辉　陈国勇

【摘 要】本文深入探讨了平行四边形面积计算的常见误解——邻边相乘，揭示了在小学数学教学中运用反例的重要性，强化了正确的概念。

【关键词】深度教学 反例教学 平行四边形面积

一、起源：惯性迁移，邻边相乘

当前，新课标中提及的核心素养理论已经逐渐渗透到基础教育的各个角落，小学数学课堂教学也因此发生了质的转变，从简单的知识传授跨越到了实现教育的真正价值——育人。因此，教师应注重培养学生的数学核心素养，让他们能深入理解和应用数学概念及思想。同时，教师不仅要培养学生解决问题的能力，更要教会他们用数学思维去思考问题，解决他们在学习和生活中遇到的难题。

然而，教师也必须面对现实。在当前的社会环境下，应试教育的影响痕迹仍然深重，教学过程往往过于单一和机械。知识点的传递更多的是通过正面教学和反复练习实现的，而忽视了引发学生学习中的错误的本质原因。这就导致即使经过反复练习，学生依然无法真正掌握知识点。因此，教师需要巧妙地运用反例，探求错误的根源，以此强化概念的渗透，促进正向的迁移。以“平行四边形面积”相关内容为例，当学生初次面对这个问题时，有些学生会自然而然地想到平行四边形的面积等于底乘以高。笔者以本校五年级学生为样本，对203位学生进行了测试。有866%的学生知道用底乘高的方法来计算平行四边形的面积。由笔者参考的大部分案例来看，大多数学生最初常用的方法是邻边相乘，那么，对本校的前测数据为何与常见案例会有这么明显的差别呢？为了深入探索这个问题，笔者决定选择书面形式询问那些使用底乘高计算平行四边形面积的学生。你是如何知道平行四边形的面积用底乘高計算？为什么用底乘高计算？近96%的学生指出是外界环境教导学生要这么计算，而剩下的4%的学生则是通过猜测得出这个方法的。这意味着大多数学生并不真正理解他们所使用的方法。从学生的经验来看，求平行四边形面积用底乘高的方法并不是学生的自然认知。因为，教师要需要引导学生深入研究平行四边形面积的计算方法，以帮助他们真正理解数学知识的本质。

另外，通过口头访问选择“邻边相乘”方法的学生，笔者得到的结论和参考的案例类似，即“长方形和正方形的面积都是长乘宽，所以这个形状也应该用这种方法”“平行四边形是特殊的长方形，所以我觉得用长乘宽比较合适”“平行四边形拉起来就是个长方形，所以我就用计算长方形面积的算法来计算它”等。因此，正方形、长方形面积的计算方法的学习经验有很大可能成为学习平行四边形面积的障碍，而教师，顺着学生的思维经验，研究验证平行四边形面积用邻边相乘的方法不成立是有必要的。在此，笔者将揭示在小学阶段可以在课堂中教学的三种反例，这些方法都是为了证明一个经常被学生误解的数学方法：平行四边形面积能否通过邻边相乘来计算。这些反例教学方法不仅可以帮助学生理解数学的真谛，还可以挑战他们的思维，让他们感受数学的严谨。

二、实践：困惑解锁，格子计数

如图1所示，学生可以通过“不是一格按半格计算”和“拼接成完整的长方形”两种不同的数格子方法，得出“平行四边形如果邻边相乘不会等于它的面积”的正确结论。数格子这种最原始、最简单的方法，因其直观性和简单性，得出的结论更接近问题的本质且更具有说服力，也为推理出其他方法提供了基础，这些方法可能更为复杂，但也更具有普遍性。它们可以帮助我们更深入地理解这个问题，就像一把更复杂的钥匙，能打开更深层的门。

前测的例子是等底、等高、不等邻边的长方形和平行四边形进行比较，接下来笔者选择另一种素材，即用等底、等高、不等邻边的两个普通平行四边形来证明平行四边形面积用邻边相乘不成立。

三、探索：迷思破解，对比矛盾

在同一个格子图里画了两个等底、等高、不等邻边的平行四边形（如图2）。我们通过数格子的方法计算出平行四边形[WTBX]ABCD和平行四边形ABEF的面积都是18cm？倕 。这两个平行四边形的面积相等，这是一个无可争议的事实。然而，当我们尝试用邻边相乘的方法来计算这两个平行四边形的面积时，却发现了二者的面积并不相同。两个平行四边形等底，我们将它们的底边记为线段a，平行四边形ABCD的另一条邻边记为线段b。平行四边形ABEF的另一条邻边记为线段c。因为在一个钝角三角形中，钝角的对边总是最长的，所以在钝角三角形ADF中，钝角的对边b的长度大于线段c的长度。如果用邻边相乘的方法来计算这两个平行四边形的面积，我们会得到a×b＞a×c[WTBZ]的结果。这与数格子得到的面积相等的结论是矛盾的。这个矛盾再次证明了：平行四边形的面积不能通过邻边相乘来计算。

四、深化：疑云揭开，变与不变

然而，数格子的方法也有其局限性。它虽然简单直观，但并不能适用于所有情况。格子图提供了一个直观的参照，使学生能够清楚地看到面积的变化。但是，如果没有格子图，是否还能得出同样的结论呢？这是一个值得深入探讨的问题。

笔者继续尝试了一种不依赖于格子图的方法，在黑板上进行了平行四边形的变形实验，这样就可以更自由、直观地操作学具，而不受格子图的限制。笔者将平行四边形右边的阴影部分移动到左边（如图3所示），形成了一个新的长方形。然后，我们将这个新的长方形与原来平行四边形拉伸后的长方形进行比较，不难发现拉伸后长方形的面积明显大于原来的平行四边形的面积。这个结果再次证明：平行四边形的面积不能通过邻边相乘来计算。

以上三种反例的方法得到的结果是明显的，学生们也能清楚地看到这一点。通过这些实验，他们理解了平行四边形面积计算的真相，即特殊的平行四边形（如正方形、长方形）可以用邻边相乘计算面积，而普通平行四边形不能用邻边相乘计算面积。

五、综述：视角切换，资源再生

在逻辑中，反例可以严谨地证明某些知识的概括是错误的，特别是在数学和哲学领域。它能够揭示学生对知识的误解，帮助学生修正错误的观念。反例像一面镜子，映衬出学生思维的缺陷，当学生面对一个反例时会被迫去思考为什么他们的理解有误，这个过程中。然而，反例并不是万能的。它们只能揭示学生理解中的误区，并不能提供解决问题的方法。因此，教师需要选择合适的反例设计教学活动，以一个好的反例应该是简单的，容易理解的，能够直接反映出问题的本质。同时，反例的使用应该是适度的，过多的反例可能会使学生感到困惑，无法抓住问题的关键，本文提供了小学阶段可以用于教学“平行四边形为什么不能邻边相乘”的三个反例，作为一线教师应该根据本班学生的学情合理选择。因此，合理地使用反例，教师不仅提高了教学效果，也帮助学生更好地理解和掌握数学知识，有效培育学生的数学核心素养。

反例，作为本文探讨“平行四边形面积不能邻边相乘”教学中的一种再生资源，给学生提供不同的观察视角，这种视角的切换正是几何直观的体现，它帮助学生感知知识的本质、明晰思维的路径。同时，也激发了学生的推理意识，使他们能够从一些事实和问题出发，依据规则推出其他命题或结论。这种推理过程无疑提高了学生的推理能力，使他们能够从特殊结果推断出一般结果。

参考文献：

［1］斯苗儿，朱国荣，顾志能，袁晓萍.教学，当直面学生的疑惑——关于“平行四边形的面积”一课所思所行［J］.小学数学教育，2015（1-2）：110-113+140.

［2］吴海燕.认识“为什么不是”背后的价值［J］.数学月刊（小学版），2021（11）：60-63.

［3］李军.搭建从“差错”走向“正确”的桥梁［J］.小学数学教师，2021（10）：67-68.