一道高三模考题的探究寻源

河南省平顶山市第一高级中学(467000)陈宁楠 米召奎

一道好的数学考题,不仅要立足于教材,更要高于教材;命题的设置不但要注重在知识交汇处命题,而且要立足于考查考生的关键能力和数学学科核心素养.我市一道高三模考题就是这样的一道试题,它既具有基础性,又具有创新性,试题极具选拔功能.

1 题目与解析

题目已知正实数a,b满足=25,则的最小值为()

分析本题是在限制条件下求双变量最值问题,一般的解法是利用关系消元,转化为函数求解,或者是借助基本不等式求范围.

且x2+y2=25,所以x2+y2=25 ≥2xy,即当且仅当时等号成立.对于z=4x+3y-xy≥恒成立,当且仅当4x=3y,即x=3,y=4 时等号成立.

若令t=则则f(t) ∈ (0,12],只需z≥f(t)max,所以z≥ 12,仅当即x=3,y=4 时等号成立,综上,当且仅当f(t)=12,即时等号成立.故选C.

2 反思探究

由于目标函数的结构特征,显然直接消元转化不容易计算,通过观察容易知道:可理解为点(3,4)到直线ax+by-1=0 的距离.该直线与坐标轴的交点分别为可知线段AB为定长5.既然赋予其几何意义,那么能否从图上得到猜想呢?

2.1 直观感知

如图1 所示,对于定长为5 的线段MN,两端点分别在坐标轴上滑动,作图观察,定点P(3,4)到MN的距离为PK,当定线段滑动到AB时,即A(3,0),B(0,4)时,点P到线段AB的距离PQ最短,此时

图1

这样的直观感知缺乏严密的逻辑推理证明,但是结论为我们提供了方向,那么该怎么证明呢?

2.2 理性求解

解如图2,设∠BAO=θ,则A(5 cosθ,0),B(0,5 sinθ),此时AB方程为:即sinθ·x+cosθ·y-5 sinθ·cosθ=0,点P(3,4) 到线段AB的距离d=|3 sinθ+4 cosθ-5 sinθ·cosθ|.又

图2

g(t)=2t3+3t2-6t-1,则g′(t)=6t2+6t-6=6(t2+t-1),则当时,g′(t) ＜0,g(t) 单调递减; 当t∈时,g′(t)＞0,g(t)单调递增;又g(0)=-1 ＜0,g(1)=-2 ＜0,故

点评这种做法是利用万能公式,将目标函数转化为关于的函数,再借助导数判断函数单调性,进而求函数最值,这需要极强的知识储备和逻辑思维.

3 追根溯源

本题与教材有着紧密的联系,正是贯彻了高考命题源于教材、高于教材的理念.它与人教版数学(2019 版)选择性必修一第二章“直线和圆的方程”中第89 页习题2.4 第8 题有着很大的相似性:

溯源题目1长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点的轨迹方程,并说明轨迹的形状.

此题与模考题有相似情境背景,设置简单,求滑动线段上特殊点的轨迹问题,而模考题显然是在此基础上延伸了一步,求滑动线段上每一点的的轨迹问题.

本模考题中涉及的问题也可追溯到2010 年中科大少年班招生时的一道考题:

溯源题目2设A、B两点分别在x轴和y轴上滑动,且|AB|=1,求线段经过区域边界的方程.

这就很直白了,可以说模考题就是在此题基础上的改编,这无疑是又将教材中的习题延伸了一步.

4 背景探析

近年来的高考题往往有高数的背景,如高数中的泰勒级数、帕德放缩、洛必达法则、拉格朗日中值定理等时有出现,掌握了这部分知识可以很快给出解答,本题涉及的是高等数学中偏微分的一个简单应用,这道考题命制的背景是星形线.星形线的原理是:一条长度为a的线段,两个端点分别位于x轴和y轴上且可在轴上滑动.那么这条线段可能运动到的每一个位置都是一条曲线的某条切线,而这条曲线就是这些线段的包络线.其方程为这个包络线像夜空中光芒四射的星星,因此得名星形线,如图3 所示.知道了这些,我们就可以借助星形线方程寻找最优解:

图3

设AB方程为:= 1,则y=sinθ(5-对y关于θ求导得

令y′=0,则x=5cos3θ,代入直线方程,得y=5sin3θ,由x,y消去θ,可得:这就是滑动的线段所经过区域的边界方程.设以(3,4)为圆心的圆的方程为:

当该圆与滑动线段经过区域边界相切时,r=.故点(3,4)到滑动线段的最短距离是

历史上,罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C:的性质.由于其形美观,常用于生活生产的方方面面,例如折叠式的公共汽车车门的设计就来自星形线.

5 教学反思

苏联数学教育家奥加涅相指出,“必须重视,很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性……,从解本题到转向独立地提出类似的问题和解答这些问题,这个过程显然在扩大解题的‘武器库’,学生利用类比和概括的能力在形成;辩证思维的独立性及创造思维性的素质也在发展.”显然,这道模考题问题中的条件就是定点到动线段距离的最值问题,通过找滑动线段的包络线,将问题转化,变成求两曲线相切时半径问题,经过上述探究,获得解决一类问题的方法,习题潜在的发展功能和教育功能得到了扩展,学生的认知能力、辩证思维的独立性和创造思维性的素质也会相应地得到了提高.

数学是逻辑的科学,教学时要培养学生严谨的逻辑体系,同时要引导学生关注问题的本源,要回归课本,挖掘问题的本质.数学课本是实施教学活动的蓝本,教材中例题、习题颇有典型性与代表性,课本中许多题目都是高考题的母题,这也是教师创造性教学的基石.对教材中习题,例题要深度探究,如教材中圆的切线问题,对此进行二次开发,增强习题的辐射功能,让一道低起点的圆的切线问题达到较高的立意,不仅是高考导向的所需,也有助于巩固所学知识,并有效提升学生的应变能力以及数学素养.总之,我们在教学中要回归教材,重视教材中在知识发生和发展中呈现的那些经典的思维模式;注意挖掘教材中例题、习题背后广泛而深远的意义,提炼更深层次的公式和结论,使学生深化相关知识.