关注“猜想”过程 提升数学素养

［摘  要］ 猜想是个体认知思考的重要表现形式之一，是对现象或规律所进行的一种推断和假想。在教学中教师应鼓励学生提出“猜想”，这样不仅可以提升学生参与学习的积极性，而且能够充分展现学生在分析、验证等过程中的思维。让学生在猜想的过程中丰富认知、提升数学素养，助力学生全面发展。

［关键词］ 猜想；思考；数学素养；思维能力

作者简介：方芳（1982—），本科学历，一级教师，从事小学数学教学与研究工作，曾获甘肃省农村骨干教师称号。

猜想具有一定的主观性，因为猜想的存在使得数学学习变得丰富多彩。虽然小学生的思维能力和认知水平有限，但是他们思维活跃，勤于动手实践。如果教师合理地指导学生学习，则学生会根据自身经验和直觉提出一些可能存在的数学规律或数量关系的猜想。在解决问题的过程中，学生会使用猜想的方法去推理和应用数学模型。小学生的数学猜想同样具有预见性和推测性，是学生进行独立思考的重要表现形式，是小学数学课堂不可或缺的一部分。不过受教学水平、学习能力、教学环境等诸多因素的影响，小学数学课堂大多以教师讲授为主，学生参与猜想的机会很少，因此影响了学生发现问题和提出问题能力的提升，限制了学生思维能力的发展。在教学中，教师应设计一些具有启发性的、探究性的问题引导学生去观察、分析、探究，让学生结合已有认知提出自己的判断和推测。这样不仅能够丰富课堂内容，而且能够活跃课堂气氛，让学生的学习由被动接受向主动建构过渡。

值得注意的是，在教学中教师不能局限于引导学生提出猜想，更重要的是要让学生从实际应用层面去分析、尝试、验证问题，引导学生经历“提出猜想”“分析猜想”“验证猜想”的全过程，从而使学生在过程中发现新契机，得出科学的认知推论，培养创新意识和数学应用能力。

一、提出猜想

数学猜想产生于教学活动的各个阶段，它并非臆造，而是基于问题进行分析及推测，它的提出往往具有一定的科学性和合理性。比如，在导入阶段，教师可以通过设计猜想性问题引导学生做出主观的推理，从而紧紧吸引学生的注意力，为学生更好地参与课堂奠基；在探究阶段，教师可以提出一些应用性问题让学生去猜想解题的方法和策略，从而确定研究方向，为知识的生成添砖加瓦；在练习阶段，教师可以设计一些拓展性问题来发展学生的思维，丰富学生经验，让学生在夯实基础、完善认知时生发猜想。数学问题复杂多变，在面对多变的问题时，学生会凭借经验提出一些非确定性的词语或推论，从而形成预测性思考，为后面的分析和验证架桥铺路。笔者列举了几种常见的猜想类型，供参考。

1. 预测型猜想

为了鼓励学生进行数学猜想，在揭课阶段教师会让学生对课题进行分析，让学生结合已有认知和数学经验针对课题内容、问题特征、问题规律等提出自己的“猜想”，以此提升学生的参与度和学习积极性。

案例1  3的倍数的特征

师：你认为3的倍数会有怎样的特征呢？

生1：我猜如果一个数是3的倍数，这个数的个位可能是3、6、9。

师：你们也是这样想的吗？

生2：我认为刚才的猜想有问题，如果这个数为一位数，那么3、6、9为3的倍数是正确的；如果这个数为两位数就可能不成立了，比如16的个位是6，但是它并不是3的倍数。

师：说得很好。那么它会有什么特征呢？

生3：3的倍数与2的倍数不同，单一看个位行不通，还应该关注其他的数位。

……

在和谐的气氛下，学生积极思考，提出了许多有价值的猜想，由只关注个位向关注其他数位过渡，打破原有认识的束缚，让学生在解读课题的过程中提出预测型猜想，有效地化解了单一讲授的枯燥感，使教学更有效。

2. 设想型猜想

在探究阶段，教师需要充分地调动学生的已有认知，引导学生预设解决问题的方法，从而使探究活动更有针对性和方向性，让探究能够朝着正迁移的方向顺利开展。

案例2  圆锥的体积

公式的推导是抽象的，不过探究前学生已经有了探究圆柱体积的经验，课上教师提出了这样一个问题：等底等高的圆柱与圆锥是否存在某种关系？

师：这边有两个容器，观察一下它们有什么特点？

生1：目测它们的高相等。

师：很好，还有呢？（教师将两个容器拿起来比较，让学生感受等高）

生2：它们的高相等。

师：很好！如果通过实验法来验证它们体积间的关系，你们想怎么做呢？

生3：这个很简单，分别将圆柱和圆锥容器注满水，然后找一个有刻度的量杯“量一量”就可以了。

师：这确实是一个非常好的方案，看来你是一个实验小能手。不过，我们并没有可以供测量的量杯，那么是否能够测量呢？

生4：可以的，可以将圆柱容器里的水倒进圆锥容器里，看可以倒几次。

生5：也可以将圆锥容器里的水倒进圆柱容器里，看几次可以装满。

在探究活动开展之前学生初步构思了探究方案，设想了两种不同的实验方案。不过两个实验方案并未经过具体的操作验证，只是一种设想，这属于设想型的猜想。通过设想使实验更有方向性，也更有趣。

3. 创见型猜想

要想提高学生的实际应用能力，在练习阶段教师应该关注问题的拓展和延伸，通过“跳一跳”就够得着的问题来发展学生的数学思维能力。对于拓展性和延伸性问题的提出不能局限于教师的预设，教师可以组织学生进行研讨，让学生提出具有独创性的见解，从而有效地拓展知识的外延，深化学生对知识的理解。

案例3  认识三角形的高

在教學中，教师首先通过设置情境帮助学生认识三角形的高，然后讲授高的具体画法，最后组织学生动手画，进一步体验三角形的高。

师：对于任意三角形，你认为它们有几条高呢？

生1：我认为这个应该和三角形的形状有关，有的好像有3条，有的好像只有1条。

生2：不对，应该都是3条，只不过有些高会藏起来，所以看起来像只有1条。

师：看来对于这个问题大家有不同的意见，我们有必要一探究竟了。

对于钝角三角形高的理解一直是教学的难点，为了深化问题的理解，教师引导学生研讨“三角形有几条高”，学生结合自己的经验提出了“1条”“藏起来”等观点，从而为深入探究提供了素材。以上观点具有一定的猜测性和创新性，这是学生思考的必然产物。

总之，无论何种类型的猜想，其往往都是建立在学生已有认知的基础上的一种判断和推测。猜想虽然具有一定的主观性，但是也有一定的探究性，是开展有效教学必不可少的前提。

二、分析猜想

猜想是宝贵的教学资源，教师在教学中应该充分地利用，并基于猜想有针对性地设计教学环节，从而将猜想逐渐转化为结论、定理等，让学生亲身体验猜想在发现数学规律中的价值。在设计教学环节时，教师需要弄清两个问题：一是为什么要这样想；二是这样想的主要依据是什么。只有弄清缘由，摸清真正的成因，才能了解学生认知的起点，才能明确猜想的经验背景，从而找到探究的着力点。

1. 明确经验背景

猜想大多依赖于个体经验，个体经验是学生提出猜想的思考原点。因为个体差异的存在，所以学生在面对同一个问题时会有不同的猜想，这就要求教师真正去理解学生，从主观、客观两种途径对提出猜想的知识背景进行分析，从而明确学生的思维起点，为有针对性地实施验证活动提供依据。

在案例1中，学生提出了这样的猜想：“一个数若是3的公倍数，则其个位数可能是3、6、9。”在验证中只要列举一个反例，猜想就能不攻自破，但是提出该猜想也有一定的经验背景，教师根据主观教学经验容易判断，学生之所以提出这个猜想是对“2和5的倍数特征”规律的一种生搬硬套。从学生的学习习惯和思维方式来看，学生能够提出这一猜想符合他们的现有认知水平。当验证这一猜想不成立后，学生自然會进入下一个猜想：“对于3的公倍数，不能单看个位，可能还要考虑到其他的数位。”对于这一猜想教师可以采用客观分析法引导学生从猜想的内容结构、组成要素等方面进行进一步的分析，从而确定提出这一猜想借助了学生已有的认知经验。

2. 分析知识指向

猜想的提出大多以旧知或已有经验为基础，同时指向新知识、新内容。为了使猜想更有价值，教师要充分利用好学生的已有认知，使学生的猜想更具合理性，从而实现知识的正向迁移。学生提出猜想常常有如下的知识指向：

（1）指向规律性知识。学生对于规律性内容的探究较为擅长，比如在探究“平行线”的特征时，学生根据观察容易提出“两平行线间的距离可能是相等的”，直指平行线的特征，体现了直觉思维在猜想中的重要价值，显示出规律性知识的特征。

（2）指向规范性知识。数学是一门严谨的学科，为了培养学生思维的严谨性，在教学中教师可以引导学生进行一些大胆的猜想和推理，便于学生更好地内化知识。比如在教学有小括号的混合运算时，学生提出“如果遇到小括号，可能要先算小括号的算式”，借助猜想直指运算的顺序法则。

（3）指向规定性知识。在概念教学中，大多数教师习惯直接抛出概念让学生记忆，并未引导学生参与观察、猜想、分析、推理等过程，从而使学生对概念的理解难以深入。数学概念虽然是抽象的，但并不是学生完全不能驾驭的，在给出概念前教师可以先引导学生经历猜想，从而指向规定性知识。比如在教学认识角时，教师给出角的图形让学生进行猜想，学生提出“角是由两条直线组成的”，这样学生对角的概念初步形成，教师只要引导学生对细节进行分析，就能达到知识的完善。

3. 分析探究价值

不同的学生会提出不同类型、不同指向、不同层次的猜想，这些“不同”从侧面反映出学生的认知水平和思维水平。有些猜想相对较为浅显，探究价值较低，不需要太深入探究便可以验证；有些猜想的探究价值较高，只有开展深入探究才能得以解决。为此，教师需要对学生提出的猜想进行评估，从而明确学生的思考方向，确定学生的探究走向。

三、验证猜想

经历了猜想的分析，明确了猜想的探究价值之后，接下来应选取恰当的方法进行验证，从而达成深化理解和得出科学结论的目的。众所周知，猜想具有一定的主观性，若不经过科学的验证将使猜想失去真正的价值。通过验证可以解决学生的认知困惑，让学生明晰“真”为什么为真，“假”又假在何处，从而达到深化理解的效果。在开展“猜想”验证的教学中，教师应做好以下几点：

1. 选取合适的验证方法

合适的方法是开展科学验证的前提。在方法的选择上教师应遵循以下几点：

首先，要从学生的认知水平出发，尊重个体差异，所选取的方法不仅要照顾个体，而且也要关注全体。在验证时，教师可以鼓励学生通过合作、展示、争论等方式进行验证，这样既能展示个性思维，又能让学生在互动交流中获得新的提升。

其次，基于不同的猜想类型确定不同的思考方法。在分析猜想时可以看出，猜想不仅类型不同，其认知指向及探究价值也有所不同。因此，在方法的选择上教师应关注类型，比如案例1中的猜想可以通过举例说明的方法进行验证，案例3中的猜想可以通过操作演示的方法进行验证。

2. 经历完整的探究过程

在探究过程中，部分教师为了追求效率，常常关注结果而忽视探究验证的过程，从而使得验证活动失去了原有价值。在验证过程中，教师要充分发挥学生的主观能动性，鼓励学生自主进行实证研究和推理演绎。同时，教师要给予适时的指导，帮助学生跨过思维障碍，重拾学习信心。此外，在验证活动中，教师还应引导学生进行交流，比如验证使用的方法和发现等，从而让学生在经历的过程中有所发现、有所成长。比如在案例3的验证过程中，教师让学生画一画，关注三角形高的条数，指导学生让“隐藏”的高显现出来，从而帮助学生跳出思维误区，重新认识三角形的高，最终确定“猜想”的真假性。

总之，在面对学生猜想时，教师应保持客观的态度和科学的判断，以“三个理解”为基础，有的放矢地开展探究教学，引导学生充分经历知识生成和演变的过程，从而将不确定的、不完整的、不科学的内容，通过思考、探索、辨析等验证过程将其向确定性、完整性、科学性转化，以此促进学生探究能力的不断提高。