剖析解三角形问题，发展关键能力

蔡怡欢

解三角形是高中数学的重要内容之一，合理联系初中的平面几何，链接高中的三角函数与平面向量知识，是高中数学中比较特殊的一个知识点，也是历年高考考查的重点之一.解三角形通常出现在高考试卷解答题中，位置偏前，难度中等.其中，三角形边或角等元素的求值，边或角关系式的证明，与其他相关知识的抽象与交汇以及创新应用或实际应用等方面，都是很好的考查方向.

1 通过求值，考查数学运算

点评：通过三角形的创设，结合边或角的相关代数式以及关系，求解具体角的大小、具体边的长度、三角形的面积或对应代数式的值等，一直是高考中最常见的解三角形解答题的设置方式与考查方式，关键是综合三角函数的相关公式、解三角形的相关公式及平面几何知识来化归转化，进而通过数学运算求解.

2 通过证明，考查逻辑推理

例2 （2022年高考数学全国乙卷理科·17）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin（A-B）=sin Bsin（C-A）.

（1）证明：2a2=b2+c2；

（1）证明：在△ABC中，由sin Csin（A-B）=sin Bsin（C-A），得sin C（sin Acos B-cos Asin B）=sin B（sin Ccos A-cos Csin A），整理有sin A＼5（sin Bcos C+cos Bsin C）=2cos Asin Bsin C.

所以sin Asin（B+C）=sin2A=2cos Asin Bsin C，結合正弦定理，可得a2=2bccos A.

由余弦定理，可得a2=b2+c2-2bccos A，所以2a2=b2+c2.

所以△ABC的周长为a+b+c=5+9=14.

点评：解三角形问题中边或角关系的转化，涉及三角函数公式以及解三角形中的正（余）弦定理等，利用条件与结论之间的联系，合理通过逻辑推理与数学运算求解.

3 通过转化，考查数学抽象

点评：以解三角形为问题背景，交汇解三角形与三角函数、函数、不等式等相关知识，数学抽象，合理转化，借助三角函数关系式的同构与应用，合理构建角之间的关系，是破解此类问题的关键所在.等价转化并加以数学抽象，回归数学本质，是此类考题的亮点.

4 通过探究，考查数学建模

例4 （2022年高考数学上海卷·19）如图1所示，AD=BC=6，AB=20，O为AB中点，曲线CMD上任一点到点O的距离相等，∠DAB=∠ABC=120°，MO⊥AB，点P，Q关于OM对称.

（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；

（2）求五边形CDQMP面积S的最大值.

解析：（1）若点P与点C重合，由题意可得OB=10，BC=6，∠ABC=120°.

（2）如图2，设CD与MO相交于点N，由题意知五边形CDQMP关于MN对称.

所以，可得S五边形CDQMP=2S四边形CPMN=2（S四边形OCPM-S△ONC）.

同理，当P为劣弧DM中点时，S也取得相同的最大值.

点评：此题借助扇形的性质、正弦定理与余弦定理及三角形的面积公式在解三角形问题中的应用，合理创设情境，结合点的位置的确定以及对应的面积的最值来合理综合应用，考查了逻辑推理、数学运算等能力.借助解三角形的创新情境来解决一些相应的实际应用问题，也是解三角形综合应用的途径.

解三角形解答题的场景离不开平面几何，借助几何场景合理构建数学模型，利用三角公式进行逻辑推理，结合三角形知识巧妙代数运算、综合探究、创新应用等，考查考生数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验等方面的落实情况，引领高中数学教学与学习.