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规范五边形重心定理

2020-08-26华漫天

数学通报 2020年7期
关键词:五边形共线中线

华漫天

(浙江省慈溪实验中学 315300)

众所周知,三角形三条中线交于一点,这个点称为重心,且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.笔者发现,某些五边形具有跟三角形重心定理类似的结论.

规范五边形

如图1,五边形ABCDE中,我们把边CD称为∠BAE的对边,∠BAE则称为边CD的对角;设点F是边CD的中点,称线段AF为五边形ABCDE的一条中线;若中线AF把五边形ABCDE分成面积相等的两部分,则称中线AF是五边形ABCDE的规范中线.如果五边形ABCDE的五条中线都是规范中线,则称这个五边形是规范五边形.显然,正五边形是特殊的规范五边形.

图1

为证明定理,先给出几个引理.

图2

引理1如图3,在△ABC中,E,F是边AC,AB所在直线上的点,BE与CF相较于点P,直线AP交边BC于D,若EF∥BC,则点D是边BC的中点;反之若点D是边BC的中点,P是直线AD上一点,BP,CP分别交直线AC,AB于点E,F,则EF∥BC.

本引理系熟知性质,利用塞瓦定理即得.

图3

引理2如图4,若五边形ABCDE是规范五边形,则BE∥CD,AC∥DE,BD∥EA,CE∥AB,AD∥BC.

图4

证明设AF是五边形ABCDE的规范中线,

由于S△ACF=S△ADF,则S△ABC=S△ADE,

同理S△ABC=S△CDE,故S△ADE=S△CDE,

所以AC∥DE,其余同理可得.

可得S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB.

引理3如图5,五边形ABCDE是规范五边形,AF是它的规范中线,BD,CE交于点M,则A,M,F三点共线.

图5

证明延长BC,ED交于点Q,由引理2知四边形ACQD是平行四边形,因为F是CD中点,所以A,F,Q共线,又因为BE∥CD,则由引理1得M,F,Q共线,所以A,M,F三点共线.

定理的证明设规范五边形ABCDE各条对角线的交点如图6所示.由引理3知,只须证AM,BN,CR,DK,EL交于一点即可.

图6

先由引理2得BE∥CD,即KR∥CD,再由引理1知CR,DK的交点必在中线AF上,于是AM,CR,DK交于一点,同理BN,DK,EL交于一点,CR,EL,AM交于一点,DK,AM,BN交于一点,EL,BN,CR交于一点,所以AM,BN,CR,DK,EL交于一点.

接下来证明数量关系:

如图7,延长BC,ED交于点Q,

则四边形ACQD是平行四边形,

根据三角形中位线定理得HI∥BE,

设五边形ABCDE的面积为S,

S△ABC=S△ADE=S△ABE=x,

则S△ACD=S-2x,

由于四边形ACQD是平行四边形,

所以S△DCQ=S△ACQ=S△ACD=S-2x,

易知△CDQ∽△BEQ,故

所以

图7

由定理及引理即得如下几个推论.

推论1如图8,若五边形ABCDE是规范五边形,则

上述证明过程中已证.恰好是黄金分割比.

图8

推论2如图8,若五边形ABCDE是规范五边形,面积为S,则

图9

推论3如图9,若五边形ABCDE是规范五边形,则它的五条规范中线AF,BG,CH,DI,EJ连同重心O把五边形分割成10个面积相等的三角形.(即图中所示的小三角形的面积均相等)

推论4如图6,若五边形ABCDE是规范五边形,则它的对角线所交成的五边形KLMNR也是规范五边形,且有公共重心.

利用定理证明过程即可推得.

猜想

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