掌握概念·理解模型·悟透思想

卢勇　曾荣

摘  要：2023年高考立体几何试题依托基本概念，注重算法优化，重点考查数学运算；依托基本模型，注重探究创新，重点考查直观想象；依托基本思想，注重综合应用，重点考查逻辑推理. 文章从目标解析、解法分析、题源分析和类题赏析四个方面对2023年高考立体几何试题的特点进行分析，在此基础上对2024年高考立体几何专题复习提出建议．

关键詞：立体几何；试题特点；解法分析；复习建议

立体几何主要研究的是现实世界中物体的形状、大小与位置关系，是高中数学知识的重要组成部分．2023年高考立体几何试题考查的内容与《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）保持一致，与教材中知识内容的比例相当．试题在全面考查学生对立体几何基础知识理解与掌握情况的同时，着重考查了学生对降维、转化与化归等数学思想的掌握情况. 试题重基础、重应用、重能力，很好地考查了学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养，体现出了较好的区分度和选拔功能．

一、试题特点分析

2023年的9份高考数学试卷（6份全国卷和3份地方卷）中，共有24道立体几何试题（文、理科相同试题不累计）. 对各份试卷中的立体几何试题考点分布情况进行统计、分析，如表1所示．

从表1可以看出，2023年各份高考试卷中的立体几何试题大多数属于基础题或中档题，这些试题以考查立体几何相关的基础知识、基本方法、基本技能和基本活动经验为主线，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，让不同水平的学生都能学有所得. 2023年各份高考试卷中立体几何试题的主要考查特点如下．

1. 依托基本概念，注重算法优化，考查数学运算

2023年高考中的多道立体几何试题直接依托基本概念，多维度考查主干知识，要求学生在解题时不仅要厘清有关的概念，还要应用概念解决问题、优化运算.

例1 （全国新高考Ⅰ卷·14）在正四棱台[ABCD-A1B1C1D1]中，[AB=2]，[A1B1=1]，[AA1=2]，则该棱台的体积为        ．

目标解析：棱台的概念及棱台体积的计算是高中数学的必备知识. 此题很好地考查了学生的转化与化归、运算求解和空间想象等能力．

解法分析：此题可以将棱台补形为棱锥，根据题设的条件分别求出补形以后大棱锥和小棱锥的体积，进而求出棱台的体积；也可以直接构造棱台的高，进而借助棱台的体积公式求出棱台的体积．

题源分析：此题源自人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A版教材”）必修第二册第116页练习第1题，仅仅将正六棱台改为正四棱台，条件如出一辙，均是给出底面边长与侧棱长. 教材中的典型例题和习题是高考命题的“题根”，认真研究教材、深刻理解教材，便可以探寻出命题规律，把握命题方向.

类题赏析：求台体的体积是高考考查的热点问题，补形转化的方法优化了求解过程、简便了具体运算. 2023年全国新高考Ⅱ卷第14题、2022年全国新高考Ⅰ卷第4题均可以用类似的方法求解. 解决此类问题时应该注意以下几点：（1）准确理解台体的概念，把握台体与锥体的关系，善于利用概念间的关系优化运算；（2）熟练掌握锥体、台体等典型几何体的特征平面图形中蕴含的位置关系和数量关系．

2. 依托基本模型，注重探究创新，考查直观想象

2023年高考立体几何试题以基本几何体为载体，精心创设试题情境，考查学生对空间图形结构特征本质的认识，以及在解决空间问题过程中展现的直观想象、逻辑推理和数学运算等素养．

例2 （全国新高考Ⅰ卷·12）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ）.

目标解析：此题以在正方体容器内放置不同的几何体为切入点，全面考查正方体、球、正四面体、圆柱等基本几何模型，综合考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，重点考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、探究创新能力，以及综合运用知识分析问题、解决问题的能力．

解法分析：对于选项A，因为正方体的内切球直径长为1 m，[0.99 m<1 m]，所以该球体能够被整体放入正方体内，故正确. 题源分析：此题背景源自人教A版教材必修第二册第143页习题8.5第5题，第（2）小题源自人教A版教材必修第二册第164页习题8.6第20题，第（3）小题直接考查用定义法求二面角．此题源于教材又高于教材，这正是新高考命题的创新所在，变化的是问题的设置方式，不变的是对通性通法和学生思维水平的考查. 此题打破了立体几何解答题中利用坐标法求解的固化套路，着力考查学生利用综合法分析问题和解决问题的能力，以及对平面图形问题的运算求解能力，彰显了高考命题反套路、反机械刷题的决心，有效引导教学回归培育学生素养的正确道路上来．

类题赏析：空间中平行、垂直关系的判定与性质，以及空间角的计算几乎在每份高考试卷中都有体现，这是立体几何试题考查永恒的主旋律. 用综合法解决立体几何试题在高考中也经常出现. 例如，2022年全国乙卷（文科）第18题、2022年全国新高考Ⅱ卷第18题、2021年全国新高考Ⅰ卷第20题、2020年全国Ⅲ卷（文科）第19题等. 在立体几何试题的求解过程中，要立足基本图形，善于分解、降维，厘清线面位置关系，注重数学思想方法的提炼与总结，促进直观想象、逻辑推理和数学运算素养的提升．

二、优秀试题分析

例4 （上海卷·12）空间内存在三点[A，B，C]，满足[AB=AC=BC=1]，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与[A，B，C]可以组成正四棱锥，求不同的取法为   ．

题意理解：此题是在正四棱锥的三个顶点确定、另外两个顶点不确定的前提下，探求正四棱锥可能的情形. 解答此题需要通过直观感知、分类讨论、逻辑推理等方式认识和探索空间图形的形状和位置，很好地考查了学生的空间想象能力，以及分析问题和解决问题的能力．

思路探求：先明确[A，B，C]三点确定一个平面，其可能是正四棱锥的侧面，也可能是正四棱锥的对角截面，然后在此基础上进行分类讨论，得出結论.

解：若[A，B，C]三点构成的是正四棱锥的侧面，以[BC]作为底面的棱，则另外两个顶点[D，E]位于[BC]的同侧，将构成的正方形[BCDE]作为底面，可以得到两个正四棱锥；若[A，B，C]三点构成的是正四棱锥的对角截面，以[BC]作为底面的对角线，则另外两个顶点[D，E]位于[BC]的异侧，将构成的正方形[BDCE]作为底面，可以得到一个正四棱锥. 将AB，AC作为底面的棱，分类讨论的情况与此类似，详见表2. 所以满足要求的点的取法共有9种.

回顾反思：立体几何主要研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系，研究的一般路径是先整体后局部. 我们要善于结合直观感知初步判断几何体的形状，然后通过推理进行具体探究. 在论证过程中要做到分类合理、思维缜密、表达清晰．

例5 （全国乙卷·文16）已知点[S，A，][B，C]均在半径为2的球面上，[△ABC]是边长为3的等边三角形，[SA⊥]平面[ABC]，则[SA]的值为________．

题意理解：此题中，已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，以及三棱锥S-ABC外接球的半径为2，要求棱锥S-ABC的高. 解题的关键是构造由截面圆半径、球半径、球心到截面的距离组成的直角三角形，难点在于球心位置的确定及关于球半径的等量关系的建立．

思路探求：根据[△ABC]是等边三角形且[SA⊥]平面[ABC]画出棱锥直观图，将棱锥S-ABC补形为正棱柱，便于研究外接球. 如图12，可知三棱锥S-ABC外接球的球心位于直棱柱上下底面中心连线段[O1O2]的中点[O]处，球心与三棱锥底面顶点A的连线段[OA]即为外接球半径. 在[Rt△OO1A]中，利用勾股定理解出[OO1]，进而由[SA=2OO1]得到所求.

回顾反思：空间中点、直线、平面之间的位置关系，以及空间距离和空间角的计算是立体几何部分的重要内容，也是高中数学的必备知识. 此题为不同基础的学生提供了想象的空间和多维度的解题思路，可以利用几何法对空间中的位置关系、距离、角等问题进行转化，很好地体现了高考试题对直观想象、逻辑推理和数学运算素养的考查要求；也可以通过寻找三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系，借助向量运算解决问题，体现了向量在立体几何问题求解中的工具性的作用.

三、复习备考建议

通过对2023年高考立体几何试题的特点分析和优秀试题分析，对2024年高考立体几何的复习提出以下几点建议．

1. 概念与模型并重

从考查的知识点来看，2023年高考立体几何试题涉及空间中点、直线、平面的位置关系，有关平行、垂直的性质与判定，以及体积、面积、线面角、二面角、空间距离的计算；从考查的几何模型来看，2023年高考立体几何试题全面考查了柱体、锥体、台体、球等模型，以及简单的组合体模型. 对于立体几何内容的复习，要认真梳理基础知识，掌握每个概念、定理的内涵，理解常见几何模型的基本特征，以及模型之间的内在联系，在此基础上准确把握立体几何的本质，建立立体几何的系统知识体系．

2. 方法与思想并举

综合几何法和空间向量法是解决立体几何问题两种常用方法. 在实际解题过程中，很多学生会存在套路化倾向，导致其对空间向量法掌握较熟练，而运用综合几何法解决问题的能力较弱. 在2023年高考立体几何试题中，两种方法都得到了不同程度的应用，部分试题线面垂直关系比较明显，运用空间向量法比较自然；部分试题不存在显而易见的线面垂直关系，不易建立空间直角坐标系，运用综合几何法求解比较便捷；部分试题利用两种方法均可以解决问题，但是综合几何法通过增加思维量的方式减少了运算量，对学生的思维层次进行了有效考查. 在复习过程中，对两种方法都要重视，要善于根据不同的情境灵活选取合适的方法求解．

2023年高考立体几何试题在全面考查学生对基础知识理解与掌握情况的同时，重点考查了学生的转化与化归思想——不规则几何体通过割补的方式转化为常见的简单几何体；复杂的立体图形问题通过降维转化为平面问题，再分解为基本图形；陌生的数学模型迁移转化为熟悉的数学模型. 在复习过程中，要主动体会、领悟蕴含于解题过程中的数学思想方法．

3. 想象与推理齐飞

解决立体几何问题需要具有很好的空间想象能力，以及较强的构图、析图和用图能力. 如果题目给出了图形，需要“有图想图”，通过逻辑推理进一步厘清图形中蕴含的线面关系；如果题目没有给出图形，需要“无图想图”、主动构图，准确、直观地作出图形有助于问题的解决. 在逻辑证明的过程中，要做到规范严谨、思维连贯，确保有果必有因，切忌无中生有. 要不断提高逻辑思维能力和解题效率．

四、典型模拟题

1. 已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为[r3]，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ）.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］黄仙萍，洪武定. 2021年高考“立体几何”专题解题分析［J］. 中国数学教育（高中版），2021（9）：2-9.

［3］赵小强，张海营. 想象与推理并重  几何与代数齐飞：2022年高考“立体几何”专题解题分析［J］. 中国数学教育（高中版），2022（7 / 8）：65-77.

基金项目：江苏省教育科学“十四五”规划重点课题——数学哲学与数学教育深度融合的理论与实践研究（B/2022/01/05）.

作者简介：卢勇（1977— ），男，中小学高级教师，主要从事高中数学教育教学和评价研究；

曾荣（1973— ），男，中小学正高级教师，主要从事高中数学教育教学和评价研究.