平和之中有乾坤 变化之处见功力

金克勤　陈群星

摘  要：通过对2023年高考数列试题特点的分析，并与往年高考数列试题作比较，从解题角度探析高考数列试题在“价值引领，素养导向，能力为重，知识为基”方面的具体表现，并以此为依据，给出教学启示和2024年高考数列部分的复习建议，为高中数学教学和高考复习备考提供参考．

关键词：2023年高考；数列；解题分析；复习备考建议

2023年高考数列试题能够准确体现高考内容改革的要求，遵循《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）的教学内容、学业要求和质量标准，突出基础性，彰显综合性，聚焦核心素养，体现关键能力的考查.

数列试题情境丰富，试题表达简单，考查内容全面，平和之中有乾坤，变化之处见功力. 以等差数列和等比数列为考查的重点内容，以数列的通项和前[n]项和的关系进行设问，以学生熟悉的方式呈现，题面简洁准确，方便学生理解题意. 试题内涵深刻，渗透数学文化，涵盖高中数列的主要内容和思想方法. 解题途径多样，充分体现对能力和素养的考查. 试题分值与课程内容相适应，全国卷中基本上都设置一道主观题和一道客观题，分值的中位数在17分左右，约占全卷总分值的11%.

数列试题以基础性试题为主，文科试题较理科相对容易一些，考试的得分率比较高. 试题以数学情境为主，适度体现科学情境和现实情境. 突出考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力. 由于数列试题难度的弹性较大，全国卷很好地控制了数列试题的难度，突出考查对数列基础知识和基本概念的深入理解，重点考查对数列知识和方法的灵活运用.

数列试题在注重基础知识考查的同时，注重综合性的要求，在全国新高考Ⅰ卷中将数列与概率结合，通过全概率公式构建数列的递推关系；在上海卷中将数列与函数结合，通过曲线的切线构造数列的迭代关系；在天津卷中利用不等式所确定的范围研究等差数列、等比数列的通项公式和前[n]项和. 建立数列递推关系是数列的应用和与其他数学知识结合的重要方法，也是数列试题重要的命题方向.

一、试题特点分析

1. 突出基础性

数列基础性问题的考查主要围绕等差数列、等比数列的通项公式和前[n]项和公式进行设问，通过直接运用公式或利用性质进行转化来解决问题，考查对等差数列和等比数列概念的理解及基本性质的掌握程度，考查学生的运算求解能力.

（1）数列的概念.

例1 （全国新高考Ⅰ卷?7）记[Sn]为数列[an]的前[n]项和，设甲：[an]为等差数列；乙：[Snn]为等差数列，则（    ）.

（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件

（B）甲是乙的必要条件但不是充分条件

（C）甲是乙的充要条件

（D）甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

目标解析：该题的考查目标是理解等差数列的概念，体会等差数列与一元一次函数的关系. 通过对命题的充分条件与必要条件关系的探求，考查逻辑思维能力.

解法分析：若數列[an]是等差数列，设公差为d，则[Sn=na1+nn-12d， Snn=a1+n-12d，] 故[Snn-Sn-1n-1=d2，]所以[Snn]是等差数列. 如果[Snn]是等差数列，一般地，可以设[Snn=kn+b，] 若[k≠0，] 则[Sn=kn2+bn]，即[Sn]是关于[n]的常数项为0的二次函数，因此[an]是等差数列；若[k=0]，则[Snn]是常数列，因此[an]也是常数列，所以[an]是等差数列. 即甲是乙的充要条件.

【点评】解题的关键是对等差数列概念的理解：若一个数列的通项具有形式[an=kn+b]（[k，b]为常数），则这个数列是等差数列；若一个数列的前[n]项和具有形式[Sn=kn2+bn]（[k，b]为常数），则这个数列是等差数列.

题源分析：该题的来源是等差数列的概念，与人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第二册（以下统称“人教A版教材”）习题4.2（已知[Sn]是数列[an]的前[n]项和.（1）证明[Snn]为等差数列；（2）设[Tn]为数列[Snn]的前[n]项和，若[S4=12]，[S8=40]，求[Tn]）类似. 试题以等差数列的基本概念为情境，以等差数列通项公式与前[n]项和的关系为切入点，通过等差数列的判定、前[n]项和的计算，重点考查等差数列的基础知识，如[Sn+1n+1-Snn=d2]. 学生常常由于对等差数列的概念理解不清、掌握不牢及运算能力弱而造成失分.

类题赏析：（2022年全国甲卷·文18）记[Sn]为数列[an]的前[n]项和. 已知[2Snn+n=2an+1].

（1）证明：[an]是等差数列；

（2）若[a4]，[a7]，[a9]成等比数列，求[Sn]的最小值.

该题与例1类似，以等差数列为情境，通过[Sn]与[an]的关系[2Snn+n=2an+1]，利用[n≥2]时[an=Sn-Sn-1]，推导出[an-an-1=1]，从而证明[an]是等差数列. 若[a4]，[a7]，[a9]成等比数列，则[a4a9=a27]. 由[a1+3a1+8=]

[a1+62]，解得[a1=-12]. 所以[an=n-13]. 因此，当[n=12]或[n=13]时，[Sn]取最小值-78.

在求[Sn]的最小值时，可以有两种不同的解决方法，其一是利用[Sn]是关于[n]的二次函数，求二次函数的最小值；其二是利用等差数列的单调性和[Sn]的结构特征求最小值. 这类试题都反映出对数列基础知识的考查.

（2）数列的通项.

例2 （全国乙卷?理15）已知[an]为等比数列，[a2a4a5=a3a6]，[a9a10=-8]，则[a7]的值为______.

目标解析：通过等比数列各项之间的关系，计算等比数列的项，考查等比数列的性质、等比数列通项等基础知识.

三、复习备考建议

分析2023年全国高考数列试题，以及近3年高考全国卷中数列试题的变化，我们可以发现数列试题呈现考查方式稳定、考查要求基础、考查内容全面等特点，突出思想方法的考查，加强关键能力的考查，着力创新试题设计，科学调控试题难度，体现课程改革和高考改革的要求. 预测2024年高考数列试题会保持2023年数列试题的优点和特点，难度稳定，试题的情境、设问的方式、解决的问题不会有太大的变化. 同时，会更加体现高考选拔人才和引导高中数学教学的功能. 为此提出以下几点复习备考建议.

1. 重视教材，打好基础

教材是教和学的依据，也是《标准》的具体体现，高中数学学习的内容都体现在教材之中. 在复习备考中，要认真研读教材，理解教材中关于数列的每一个概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前[n]项和公式，通过研读教材可以再次回顾相关数学知识. 由于教材是高考命题的基础，高考试题大多数能在教材中找到类似的题目，因此建议将教材中的习题重新做一遍，一定会有惊喜的收获，复习的效果一定好于做教辅资料. 熟练掌握教材是高考复习备考的基础，要打好基础必须依靠教材. 这是事半功倍的学习方法.

2. 梳理知识，归纳方法

数列是一种特殊的函数，以此建立数列的概念；数列的递推关系和通项公式是数列的两种重要的表示方法，等差数列和等比数列是数列学习中两种重要数列模型，它们既是学习的重点也是数列考查的重点，数列的通项、性质与前[n]项和是数列研究的重要内容，这些形成数列的知识体系. 因此，需要依据概念、定义、表示、性质、应用建立数列知识的逻辑关系，以等差数列、等比数列为问题情境，以递推关系、通项公式、项的特征和关系、前[n]项和、[Sn]与[an]的关系为目标，归纳解决问题的方法，尤其重视基本量、整体代换、函数、无限化有限、组合与分解等方法，系统、全面地掌握数列的知识及解决问题的方法.

3. 掌握性质，加强联系

很多高考数列试题以数列的性质作为命题的依据，利用性质解题是重要的方法. 因此，熟练掌握数列的性质也是高考备考的关键. 例如，关于项的性质：若[an]是等差数列，则[an=am+n-md]；若[an]是等比数列，则[an=amqn-m]. 关于和的性质：设[p+q=m+n]，若[an]是等差数列，则[ap+aq=am+an]；若[an]是等比数列，则[apaq=aman]. 还可以将这个性质推广到三项及以上. 还有等差数列中[Snn]也是等差数列；等比数列中，若公比[q≠-1，] 则[Sm]，[S2m-Sm]，[S3m-S2m]，…也是等比数列；等等. 这些重要性质的学习，不仅可以加深对数列知识的理解和掌握，还是有效解决数列问题的方法. 在学习数列性质时，尤其要加强知识和方法之间的联系、等差数列与等比数列的联系及数列与函数的联系，只有广泛地联系，才能发现解题的捷径，形成解题的思想.

4. 积累经验，提炼思想

高考数列试题的变化，体现了高考命题以《标准》为基本遵循，强调依标教学、深化基础性、突出思维性的显著特点，出现高考试题服务“双减”工作的鲜明信号，所以高考复习不能靠大量“机械刷题”，而是要在有限的复习时间中不断地积累经验. 具体而言，可以根据自己的理解和水平，将数列的重点、难点、易错点及解决问题的经验和方法以笔记的形式记录下来，并对解题过程中做错的题目进行反思，分析出错的原因，进行总结、分析、归纳，形成自己的经验. 对典型的问题、例题和习题要了解其背景，掌握解题的规律和方法，提炼数学思想方法以指导解决新的问题.

四、典型模拟题

1. 南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”. 在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式. 例如，如图8，三角垛指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第4层放10个，…，第[n]层放[an]个物体的堆垛，则[1a1+1a2+ … + 1a10]的值为        .

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考試中心. 中国高考评价体系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［3］教育部考试中心. 中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［4］教育部教育考试院. 高考试题分析及解题精选·数学（2024年版）［M］. 北京：语文出版社，2023.

作者简介：金克勤（1962— ），男，中学高级教师，浙江省特级教师，主要从事高中数学教学和研究；

陈群星（1972— ），女，中学高级教师，主要从事高中数学教学和研究.