理解原理强素养 研究解题提能力

赵小强　张海营

摘  要：2023年高考概率与统计试题具有背景丰富、难度稳定、考查主干知识和数学核心素养等特点. 通过系统梳理2023年高考数学试卷中的概率与统计试题，分析了试题考点，归纳了解题方法，分析了学生在解题中出现的困惑与常见错误，并阐释了命题改革的方向，在此基础上提出了新一轮高三数学复习备考的建议.

关键词：概率与统计；计数原理；解题分析；复习建议

概率与统计主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、描述和分析，以及对事件可能性的刻画，来帮助人们作出合理的决策，具有很强的应用性，是高中数学知识的重要组成部分，也是培养学生理性思维方式、提高学生分析问题和解决问题能力的重要载体. 2023年高考数学共有9份试卷：全国甲卷（文、理科）、全国乙卷（文、理科）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷. 其中涉及的概率与统计试题考查内容与《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）要求相一致，与课程内容的比例相当，注重考查内容的全面性和层次性，突出对核心概念、主干知识和重要思想的考查. 试题重在对基础知识的考查，强调基本思想方法，通过适度的综合与创新，考查了学生对概率与统计基本原理的深入理解和应用. 试题结合生活实际，突出考查学生的数学建模、数据分析、逻辑推理和数学运算等素养. 下面主要围绕全国甲卷（文、理科）、全国乙卷（文、理科）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷进行解题分析.

一、试题特点分析

1. 试题数量和整体难度相对稳定

2023年的9份高考數学试卷中，共有24道概率与统计试题（文、理科相同试题不累计），其分布在各份试卷第4题到第21题之间. 与2022年高考概率与统计试题相比，主要有两点变化：一是全国新高考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷分别在多选题中设置了一道概率与统计试题，在全国新高考Ⅱ卷中更是出现在了选择题压轴题的位置，阅读量较大；二是全国新高考Ⅰ卷中的概率与统计解答题由全卷第20题移到了第21题的位置，重点考查全概率公式及离散型随机变量的分布问题，并且与等比数列相结合，思维量和计算量均较大，体现了数学的综合性. 全国卷对于概率与统计知识的考查，除全国甲卷（文科）设置一道客观题和一道解答题外，其他试卷均设置两道客观题和一道解答题，分值占全卷总分值的11.3%—14.7%. 整体来看，全国卷对概率与统计知识的考查基本保持稳定，题型搭配协调合理. 地方卷与全国卷情形大致相同.

2. 设置丰富的现实情境，注重知识方法的应用

2023年高考概率与统计试题一如既往地突出反映了所学知识与丰富的、背景公平的现实情境之间的紧密联系. 例如，信道传输中的信号传输方案，药物或臭氧浓度对动物的影响，医学中对某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标的差异性研究，篮球投篮命中率问题，不同工艺对橡胶产品伸缩率的影响，对国内生产总值等经济数据的分析，学校兴趣俱乐部的参加人数，等等. 这些试题情境与我国的社会经济发展，以及生产、生活实际相结合，与学生的生活经验紧密联系，富有时代特征，突出了数学的应用性和实践性. 在实际情境中考查学生运用概率与统计的基础知识和基本方法解决实际问题的能力.

3. 考查主干知识，凸显素养立意

2023年高考概率与统计试题全面考查了概率与统计部分的主要知识和基本方法，考查的知识覆盖面广，系统性、联系性较强，充分体现了概率与统计知识的特点.

概率部分考查的主要内容如下.

（1）古典概型的概率计算. 例如，全国甲卷（文科）第4题、全国甲卷（理科）第6题、全国乙卷（文科）第9题、天津卷第13题.

（2）几何概型的概率计算. 例如，全国乙卷（理科）第5题、全国乙卷（文科）第7题.

（3）条件概率、全概率公式与相互独立事件. 例如，全国新高考Ⅱ卷第12题、上海卷第19题、天津卷第13题.

（4）随机变量分布列与数据的数字特征、两点分布. 例如，全国新高考Ⅰ卷第21题、上海卷第19题.

统计部分考查的主要内容如下.

（1）统计图表与数据的数字特征. 例如，全国乙卷（文 / 理科）第17题、全国新高考Ⅰ卷第9题、上海卷第9题、全国新高考Ⅱ卷第19题.

（2）成对数据的统计相关性、散点图. 例如，上海卷第14题.

（3）独立性检验. 例如，全国甲卷（文 / 理科）第19题.

计数原理部分考查的主要内容如下.

（1）排列组合. 例如，全国甲卷（理科）第9题、全国乙卷（理科）第7题、全国新高考Ⅰ卷第13题、全国新高考Ⅱ卷第3题、上海卷第12题.

（2）二项式定理. 例如，北京卷第5题、上海卷第10题、天津卷第11题.

二、具体分析

1. 计数原理，注重两个原理的运用，分清分类与分步的区别与联系

例1 （全国新高考Ⅰ卷·13）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案的种数为___________（用数字作答）．

目标解析：此题考查了计数原理的实际应用，考查了逻辑推理和数学运算素养. 排列组合是两个原理的数学体现，高考要求学生理解计数原理的意义，掌握排列数和组合数的计算公式及组合数的性质，并能利用其解决一些简单的问题. 排列组合内容是概率与统计的学习基础，虽然此类试题在高考中所占比重较小，但是试题都具有一定的灵活性和综合性.

解法分析：第一种求解思路是直接法，即分类讨论选修2门课或3门课，对于选修3门课再讨论具体选修课的分配，然后结合组合数运算求解. 第二种求解思路是间接法，即可以先计算在8门课中选2门或者3门的选择种数，然后从中去掉来自同一类别的选法，即[C28+][C38-C24-C34-C24-C34=64]. 当然，就此题来说利用直接法求解更简便.

解：当从8门课中选修2门时，不同的选课方案共有[C14C14=16]种. 当从8门课中选修3门时，若选择体育类选修课1门，艺术类选修课2门，则不同的选课方案共有[C14C24=24]种；若选择体育类选修课2门，艺术类选修课1门，则不同的选课方案共有[C24C14=24]种. 综上所述，不同的选课方案共有[16+24+24=64]种.

题源分析：此题源自人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A版教材”）选择性必修第三册第25页练习第3题的第（3）小题，其都是运用两个原理，结合组合数运算公式求解的.

类题赏析：2010年全国Ⅰ卷（理科）第6题和2018年全国Ⅰ卷（理科）第15题都是典型的对两个原理进行考查的试题.

2. 古典概型与几何概型，能准确判断不同概型，能通过准确的计数计算相关问题

例2 （全国甲卷·文4）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名. 从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ）.

（A）[16] （B）[13] （C）[12] （D）[23]

目标解析：此题考查了古典概型和实际问题中的组合问题等知识点，要求学生准确分辨古典概型，并将所有的可能性全部列举出来，做到不重不漏，解题思路清晰，属于容易题. 此题侧重考查学生的数学运算、逻辑推理、数学建模、数据分析等素养，同时考查学生将实际问题转化为数学模型的能力.

解法分析：此题可以采用列举法或公式法求解. 列举法比较形象直观，但在可能性较多的情况下，容易漏写或重复；公式法则可能混淆排列数和组合数.

解法1：（列举法）依据题意，将高一、高二的4名学生分别记作A1，A2，B1，B2. 从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2六种可能. 其中，这2名学生来自不同年级有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2四种可能，所以这2名学生来自不同年级的概率为[46=23].

解法2：（公式法）依据题意，可知从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有[C24=6]个. 其中，这2名学生来自不同年级的基本事件有[C12C12=4]个，所以这2名学生来自不同年级的概率为[46=23].

题源分析：此题源于人教A版教材必修第二册第237页例8，考查古典概型相关问题，是后续学习事件的样本空间概念的基础，起到了承上启下的作用.

类题赏析：古典概型在近几年的高考试题中经常出现，多为容易题. 例如，2023年全国乙卷（文科）第9题、2022年全国甲卷（文科）第6题、2022年全国新高考Ⅰ卷第5题等，其都综合运用了事件相互独立等知识点.

3. 考查统计图表与数据数字特征，理解数字特征在统计中的意义

例3 （全国乙卷·文 / 理17）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为[xi]，[yi]（[i=1，2，…，10]），试验结果如表1所示.

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

题源分析：此题源于人教A版教材必修第二册第217页习题9.2第7题. 要计算两组数据的平均数与方差，再根据两种数字特征进行科学评价，研究了针对平均值与方差的更加深刻的关系.

类题赏析：与此题立意最接近的是2021年全国乙卷（理科）第17题，其要求学生运用统计中样本估计总体的思想，用样本的数字特征估計总体的数字特征.比较接近的是2018年全国Ⅲ卷（理科）第18题，要求学生借助茎叶图比较两组数据特征的差异.

4. 概率的性质

例4 （全国新高考Ⅱ卷·12）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立. 发送0时，收到1的概率为[α 0<α<1]，收到0的概率为[1-α]；发送1时，收到0的概率为[β 0<β<1]，收到1的概率为[1-β]. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次. 收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（    ）.

（A）采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为[1-α1-β2]

（B）采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为[β1-β2]

（C）采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为[β1-β2+1-β3]

（D）当[0<α<0.5]时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

目标解析：此题是在实际背景中考查概率的性质，即以发送和接收信号的不同方案作为背景，重点考查独立事件和互斥事件相关的概率. 利用概率加法公式和乘法公式求概率，把要求概率的事件拆分成两两互斥事件的和及相互独立事件的积是解题的关键. 重点考查学生的阅读理解能力﹑逻辑思维能力，以及分析与处理数据的能力.

解法分析：求解此题的首要任务就是提取信息，理解试题在表达什么. 选项A和选项B是对独立事件相关概率的求解，它们可以利用乘法计算. 对于选项C，从本质上来看收到对应信号的个数是服从二项分布的，因此可以列出所有情况或直接利用二项分布的结论进行求解. 选项D是概率与不等式的综合，想要比较大小关系，作差法是比较直接的. 但是对选项D还可以进行定性分析，选项中的[α]实际上就是传输的错误率，错误率越低，则传输的次数较多时正确的可能性越大. 这就要求我们尽量去理解一些概念，深入挖掘数字背后的含义.

解：对于选项A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积. 因为它们相互独立，所以所求概率为[1-β1-α1-β=1-α1-β2]. 故正确.

对于选项B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1这3个事件的积. 因为它们相互独立，所以所求概率为[1-ββ1-β=β1-β2.]故正确.

对于选项C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥. 由选项B，可知所求的概率为[C23β1-β2+1-β3=1-β21+2β.] 故错误.

对于选项D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率[p=1-α21+2α，] 单次传输发送0，则译码为0的概率[p=1-α]. 因为[0<α<0.5]，所以[p-][p=1-α21+2α-1-α=α1-α1-2α>0，] 即[p>p.]

故正确. 故答案选ABD.

题源分析：此题是对人教A版教材选择性必修第三册第51页例6的改编. 人教A版教材例6的第（1）小题体现了全概率公式的逻辑结构，第（2）小题是对贝叶斯公式的直接应用.

类题赏析：独立事件和互斥事件的概率问题在历年高考的客观题和解答题中均有出现，但更多出现在解答题中与其他知识综合进行考查. 例如，2020年全国Ⅰ卷（理科）第19题、2021年全国新高考Ⅰ卷第8题、2021年全国新高考Ⅱ卷第21题、2022年全国甲卷（理科）第19题，这些试题主要涉及独立事件和互斥事件概率的定义，并与数列、函数、导数等知识相结合.

目标解析：此题考查的主要知识点是随机抽样、数据的频率分布直方图、概率的概念、频率稳定于概率的原理，并与函数相结合考查学生对新定义的理解、频率的计算、临界值范围的判定、分段函数求最值的方法的掌握情况. 考查目标是检验学生对统计图表的掌握情况，要求学生能根据频率分布直方图获取所需的数据并进行分析，能用样本估计总体，会依据频率与概率的关系估计随机事件的概率，会用概率的方法解决有关统计问题. 重点考查分类讨论思想、数形结合思想和从特殊到一般的思想，以及阅读理解﹑逻辑思维﹑数据分析与处理和运算求解能力.

解法分析：对于第（1）小题，由图1先求出[c]的值，再根据图2求出[c≥97.5]的矩形面积即可求解；对于第（2）小题，根据题意确定分段点[100，] 即可得到[fc]的解析式，再根据分段函数的最值求法即可求解.可以说是用最基础的方法解决了新的问题.

题源分析：此題第（1）小题来源于人教A版教材必修第二册第206页的探究和第208页百分位数的计算；第（2）小题来源于人教A版教材必修第一册第93页例1和第94页例2分段函数的值域与最值问题. 学生可能出现的主要问题为不能准确理解题意和正确进行分段函数的讨论. 除此之外，计算失误也是学生经常会出现的错误.

类题赏析：频率分布直方图是高考中的常考内容，如2017年全国Ⅱ卷（理科）第18题，其中主要涉及频率分布直方图、均值及方差、正态分布的应用等知识点. 值得一提的是，虽然《标准》将中位数的估计拓展为百分位数的估计，但不变的是用样本估计总体的统计思想.

三、优秀试题分析

2023年高考概率与统计试题聚焦核心素养、强化主干内容、突出理性思维、考查关键能力，试题设计突出数学学科特点，体现命题发展趋势，立意深远、选材恰当、难度适中，对高中数学教学具有积极的指导意义. 现优中选优，举例分析如下.

例6 （全国甲卷·理19）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.

题意理解：第（1）小题要明确实验方案情境为“试验组”和“对照组”，即40只小白鼠“平均”分为两组；要能够理解随机变量X的意义，确定概率模型. 第（2）小题要求学生能够注意到题干中给定的两组各20个数据是从小到大排好顺序的，求解第①问要能够依据中位数的概念对两组数据进行整合排序，确定最中间两个数的平均数；依据中位数进行分类，统计相应数据的个数，对原始数据进行整合；依据独立性检验的卡方公式计算，对照表3得出结果.

思路探求：第（1）小题可以运用超几何分布求解：从40只小白鼠中选取其中2只分配到对照组，有[C240]种方法，两只小白鼠全部分配到试验组有[C220C020]种情况，有一只分配到对照组有[C120C120]种情况，全部分配到对照组有[C020C220]种情况，然后利用超几何分布的知识求解出[X]对应取值为0，1，2时事件的概率，进而写出分布列，再结合数学期望的计算公式即可求解. 这是求解此题的最优思路，贴近试验背景，解法具有普遍性. 除此之外，还可以运用古典概型求解：两只小白鼠分在两个组，每只小白鼠都各有2种分配方案，总的分配方案为4种. 两只小白鼠全部分配到试验组有1种情况，有一只分配到对照组有2种情况，全部分配到对照组有1种情况，利用古典概型的概率公式即可得解. 这种解法运算简单，但是不具有应用的普遍性.

第（2）小题第①问需要将数据从小到大排列后找到第20个和第21个数据，求得的这两个数据的平均数即为中位数，再根据中位数分类填写2 × 2列联表. 在求解这40个数据的中位数时，只需要将两组已排好顺序的数据重新组合在一起，按从小到大的顺序排列，只要排到第20个和第21个数据，进而求出两个数的平均数即可. 第②问需要利用列联表中的数据计算出[K2]，依据参考值进行比较，从而得到有多大把握认为两个分类变量是否有关，判断结论是否成立.

所以有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.

回顾反思：第（1）小题的易错点主要包括：超几何分布与二项分布概念模糊，概率模型转化错误；计算概率值时，组合公式应用出错，期望值计算错误；分布列里面，概率值不是最简形式，概率之和不是1. 第（2）小题的易错点主要包括：查找第20个和第21个数据出错，后面就会连续出错，造成大量失分；不清楚偶数个数据的中位数为最中间两个数的平均数，概念模糊导致计算出错；列联表中统计数据出错；计算出错，或判断结论时出错，特别是小于临界值时，直接认为两个变量无关；第②问的解答书写不规范，没下结论，或简单写成“有关”或“无关”. 要想避免这些错误，一是要审清题并标注出关键的条件信息，提炼要点，找到问题解决的突破口；二是厘清超几何分布与二项分布概念的区别；三是准确掌握中位数的求法、概率计算和期望公式的应用，提升运算能力；四是要注意概率与统计解答题的书写规范.

例7 （全国新高考Ⅰ卷·21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8. 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第[i]次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量[Xi]服从两点分布，且[PXi=1=1-PXi=0=qi，i=1，2，…，n，] 则[Ei=1nXi=][i=1nqi]. 记前[n]次（即从第1次到第[n]次投篮）中甲投篮的次数为[Y]，求[EY]．

题意理解：此题是以现实情境为背景命制的概率综合题，涉及条件概率公式、全概率公式、数列递推公式、数列求和、两点分布、随机变量的数学期望等知识，考查了抽象概括、推理论证、数据处理、运算求解等能力，体现了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等素养. 此题第（1）小题直接考查全概率公式的应用，第（2）小题和第（3）小题的求解关键是根据题意找到递推关系式，然后根据数列的基础知识求解．

思路探求：求解第（1）小题，首先需要用数学符号标记相关事件：[Ai=]“第[i]次投篮的人是甲”，[Bi=]“第[i]次投篮的人是乙”. 由于全概率公式是“由因求果”，因此需要找到导致事件[B2]发生的原因：事件[A1]或事件[B1]，所以[B2=A1B2+B1B2.] 再利用全概率公式即可求解. 第（2）小题是第（1）小题的一般化，从特殊到一般，是复杂事件的概率计算问题，这类问题是概率与统计部分的难点，技巧性强、方法灵活，往往与试验次数[n]有关，很难一一枚举，学生难以掌握. 要想解决这类问题，首先要找准完备事件组，然后把每一次试验中某个事件发生的概率看成一个数列，如果能得到这个事件在已知上一次试验结果的条件下发生的概率，便可以利用全概率公式得到这个数列的递推关系式，再结合数列递推关系的求解方法，求解出这个数列的通项公式. 第（3）小题根据题中所给的两点分布的期望和公式，运用等比数列求和公式即可解决.

回顾反思：此题的题源是人教A版教材选择性必修第三册第91页复习参考题7的第10题，其属于利用全概率公式推导概率的递推关系式的典型题目，题目的现实情境相对简单，贴近生活，学生理解起来难度不大，可以作为此类问题的母题. 通过引导学生对教材习题的探究，总结出这类试题的解题思路：利用全概率公式推导概率的递推公式—构造等比数列—求出通项公式. 这样可以使学生对此类问题的理解更加透彻，实现举一反三、触类旁通，同时可以培养学生思维的广阔性和深刻性.

例8 （全国甲卷·理6）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪. 在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ）.

（A）0.8    （B）0.6    （C）0.5    （D）0.4

题意理解：此题是以现实情境为背景命制的概率问题，涉及条件概率公式、积事件、和事件等知识，考查了学生推理论证、数据处理、运算求解等能力，体现了逻辑推理、数学运算、数据分析等素养，体现了高考考查的基础性.

思路探求：此题可以先借助和事件与积事件的关系得到既爱好滑雪又爱好滑冰的学生所占比例，再运用条件概率的定义和运算公式求出结果. 这种解法使得求解目标更加明确，只需要把实际应用问题抽象为条件概率模型即可.

回顾反思：此题的题源为人教A版教材选择性必修第三册第44页的问题1. 条件概率是概率论中的重要概念，是概率论的理论基础. 关注样本空间，先发生的事件可以作为后发生事件的条件为处理复杂问题提供方法，从而也可以解决不独立事件下的积事件的概率，以及为学习全概率公式和贝叶斯公式作铺垫.

教材通过问题呈现向我们展示了生活中遇到的“某一事件的发生总是与其另一件事情有关”，并先直观地通过列聯表为我们指明了一种非常直观的解决问题的方法，进而引导我们把问题抽象为古典概型，借助古典概型求概率的过程解决问题，使得我们更加清楚地认识到条件概率是概率的推广，从而引入了条件概率的定义，使得定义更加合理化. 因此，在平时的教学中，应该引导学生在学习过程中善于发现问题、思考问题，并利用相关知识解决问题，最后总结解决问题的方法. 同时，教师要更加重视教材中的例题和习题，立足教材、用好教材，通过研读教材寻求更好的教学思路，将来源于生活的数学问题更好地呈现给学生，并促进学生有效掌握相关内容.

四、复习备考建议

概率与统计在大数据和人工智能时代发挥着越来越重要的作用，其基础知识已经成为一个未来公民所必备的数学常识. 在高中数学课程中，概率与统计是一个重要主题，贯穿必修和选择性必修课程，是培养学生有关数学核心素养和发展学生应用意识的重要媒介. 因此，近几年高考对这部分知识保持了较高的考查频度，并且考查难度有逐步提高的趋势，以后也必将是高考考查的核心和热点. 鉴于以上趋势及概率与统计知识的特点，提出以下四点复习备考建议.

1. 重视数学阅读能力的培养

近年来，高考数学试题的命制正朝着淡化解题技巧的“反套路”方向迈进，对学生“四能”的要求逐步提升. 概率与统计试题是发展学生“四能”的有效载体. 对于该专题内容的复习切忌题型套路，否则一旦面对新的问题情境时就会显得茫然不知所措，甚至看不懂题意. 因此，要注重学生数学阅读理解能力的提升，提高学生对文字语言、符号语言和图形语言的互译能力.

2. 回归教材，夯实“四基”，重视对基本概念和公式的理解

在复习备考过程中，要特别注重对教材的使用. 作为高考命题的重要参考之一，教材在复习备考中具有不可替代的作用. 师生要利用好教材的引领功能：在重现教材例题的过程中规范解题步骤与格式，在重练教材重点习题的过程中夯实通性通法. 同时，要关注教材内容的变化，注重概念的对比辨析，增强对概率模型的辨识能力. 通过具体的实例，经历问题解决的过程，学会用符号表示事件，进而准确构建概率模型. 例如，可以利用树形图推导全概率公式的递推关系式，以增进对概念的理解.

3. 聚焦数学核心素养，注重提炼思想方法

概率与统计专题内容的复习要聚焦数学核心素养，提升数据分析、数学运算、逻辑推理、数学抽象等素养和能力. 概率与统计试题的解题过程处处体现出对素养的要求，复习过程中要时刻用数学思想引领复习的方向. 随机抽样的原理、随机性中的规律性、统计结论的或然性、频率稳定于概率的原理、样本估计总体的思想、随机变量的概念与含义、独立性检验的思想等概率与统计中特有的思想方法对于掌握概率与统计试题的解题方法至关重要. 因此，要把对这些数学思想方法的参悟贯穿在解题过程中，使复习过程能够体现经验积累和思想升华.

4. 关注知识内涵，注重解题规范

在复习备考过程中，要透过现象看本质，从纷繁复杂的问题背景中看到其考查的数学问题的本质，并将其提炼、简化为基本模式. 对基本模式的提炼本质上是对数学知识内涵的再认识. 对于概率与统计解答题，往往需要先将情境问题抽象为数学模型，再通过数据分析、数学计算、逻辑推理得到数学结论，整个过程需要数学语言和自然语言的转化. 因此，在复习备考过程中要重视解题格式的训练，做到文字符号准确、语言表述规范、逻辑推理严谨.

五、典型模拟题

1.（多选题）某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登录，且每次只能随机选择一个开启. 已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为[27，] 从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为[12]；若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为[13]. 记玩家第[n]次抽盲盒，抽中奖品的概率为[Pn]，则（    ）.

（A）[P2=1942]

（B）数列[Pn-37]为等比数列

（C）[Pn≤1942]

（D）当[n≥2]时，[n]越大，[Pn]越小

答案：[ABC].

2. 糟蛋是新鲜鸭蛋（或鸡蛋）用优质糯米糟制而成，是中国别具一格的特色传统美食，以浙江平湖糟蛋、陕州糟蛋和四川宜宾糟蛋最为著名. 平湖糟蛋采用优质鸭蛋、上等糯米和酒糟糟渍而成，经过糟渍蛋壳脱落，只有一层薄膜包住蛋体，其蛋白呈乳白色，蛋黄为橘红色，味道鲜美. 糟蛋营养丰富，每百克中约含蛋白质15.8克、钙24.8克、磷11.1克、铁0.31克，并含有维持人体新陈代谢必需的18种氨基酸. 现有平湖糟蛋的两家生产工厂，产品按质量分为特级品、一级品和二级品，其中特级品和一级品都是优等品，二级品为合格品. 为了比较两家工厂的糟蛋质量，分别从这两家工厂的产品中各选取了200个糟蛋，产品质量情况统计如表7所示.

答案：（1）[34].（2）依据小概率值[α=0.01]的独立性检验，我们推断[H0]不成立，即认为两家工厂生产的糟蛋质量有差异．

3. 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动. 为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项活动中的参与情况，在该市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如图3所示.

（1）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与越野滑轮活动的人数都超过40人的概率.

（2）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记[X]为教练选中参加旱地冰壶活动的人数在30人以上的学校个数，求[X]的分布列和数学期望.

（3）某校聘請了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”. 在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1. 在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”. 能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？试说明理由．

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

作者简介：赵小强（1974— ），男，中小学正高级教师，主要从事高中数学教育教学和评价研究；

张海营（1964— ），男，中小学正高级教师，主要从事高中数学教育教学和评价研究.