探根源凸本质 重思想育素养

杨永健　夏林林　张晓斌

摘  要：分析2023年高考三角函数与解三角形试题，发现知识点的分布、题型、难易度相对稳定. 从试题特点、优秀试题、典型试题解法三个方面进行了分析，在此基础上提出复习备考的指导思想和教学建议.

关键词：三角函数；解三角形；解法分析；思想方法

2023年高考数学对三角函数与解三角形内容的考查符合《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）和《中国高考评价体系》的要求，注重基础知识的巩固与理解、数学思维的提升和数学方法的掌握，突出对关键能力的考查. 除单独考查三角函数与解三角形外，特别注重从综合性和应用性角度进行考查. 本文重点从三个方面对2023年高考中直接考查三角函数与解三角形的试题进行解题分析和归纳.

一、试题特点分析

2023年高考三角函数与解三角形试题与前几年的考查方式基本一致，考查了三角函数与解三角形的知识，题型多样，比较全面，相较于往年，容易题和中档题居多，难题较少. 同时，大多数试卷仍采用一道选择题和一道解答题的形式考查，分值基本稳定在15～20分之间，全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷考查力度較大，分值约为20分. 其中，全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、全国甲卷（理科）、全国乙卷（文科）、上海卷都设置了填空题对相关内容进行考查. 选择题和填空题重点考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质，解答题继续以考查解三角形为主，结合三角恒等变换解决边角关系，难度较小，试题突出基础性，强化综合应用，着眼于考查数形结合、函数与方程、转化与化归、分类与整合等数学思想方法，进而考查学生的抽象概括、推理论证、运算求解、直观想象和数学建模能力.

相关试题主要按以下三个板块进行考查．三角恒等变换主要包括同角三角函数关系、两角和（差）、二倍角公式等基本概念及基本公式的理解和应用，主要以选择题和填空题的形式呈现，着重考查转化与化归思想、推理论证能力和数学运算素养. 三角函数的图象与性质主要包括任意角三角函数的定义、三角函数的图象变换、三角函数的最值（零点）、三角函数的性质等基础知识的应用，主要以选择题和填空题的形式呈现，重点考查数形结合思想方法、运算求解能力和直观想象素养. 解三角形主要包括正（余）弦定理、三角形的性质、三角形面积公式和重要的线段关系等知识的综合应用，主要以解答题的形式呈现，突出考查分类与整合思想方法、数学建模能力和数学抽象素养.

通过对2023年高考三角函数与解三角形试题考查的知识点分析，得出以下三个方面的试题特点．

1. 突出基础性

例1 （全国乙卷·文14）若[θ∈0， π2，tanθ=12]，则[sinθ-cosθ]的值为________．

目标解析：此题主要考查任意角三角函数的定义、同角三角函数的关系. 要求学生准确掌握正弦、余弦、正切三个量求值（知一求二），蕴含转化与化归、方程等思想方法，考查数学运算素养.

解法分析：该题需要利用商的关系将正切变形为正弦与余弦的关系，再结合平方关系代入消元，依据角的取值范围求出正弦值和余弦值. 此题是一道填空题，且[θ∈0， π2]，还可以直接结合正切的定义，先设角[θ]的对边为[x]，邻边为[2x]，再利用勾股定理求出直角三角形的斜边为[5x]，最后利用正弦和余弦的定义求出对应值. 两种解法都体现了直接利用定义和公式的基础性，回归数学本质．

下同方法1，略.

回顾反思：近几年高考对解三角形的考查，常结合三角形的中线、高、角平分线、面积，以及不等式等知识，渗透方程、整体代换、函数等思想方法. 此题的题源来自人教A版教材必修第二册第6.4节第15题利用余弦定理证明中线长定理. 第（2）小题的四种解法本质上都是对中线长定理[b2+c2=2AD2+2BD2]的灵活应用. 教学中应该注重通性通法，熟练应用互补角的余弦定理、向量中线结论等快速破题，通过多想少算降低运算量，提升运算求解能力.

三、复习备考建议

高考复习备考不能仅停留在刷题层面，应该认真分析近几年的高考试题. 落实基础知识，重视综合应用，领悟数学思想方法是复习备考应该遵循的大方向.

1. 追本源，夯基础，低起点

教材是学习知识的第一手资料，复习时应该以教材为蓝本，将每个章节的基础知识进行整合梳理. 构建知识体系，将零散的知识串联成线，形成基础知识的整体性和系统性.

本部分复习备考应该做好以下三个方面：立足教材，准确理解知识的本质，重视对概念的理解与掌握，如区分正弦与正切的定义，厘清公式间的关联；注重对公式的推导与理解，如同角三角函数的诱导公式、两角和差公式等；加强对解题方法和解题规律的总结.

回归教材，回归基础知识，回归本质过程，在努力将教材中的核心概念、定理、公式、法则等理解透彻的基础上，还要对教材中的例题和习题等进行深层次的剖析和归纳总结，尤其是对通性通法的提炼，以提高数学思维的深刻性.

2. 精选题，重迁移，拓思维

数学解题在精而不在多，在质而不在量. 在复习备考中应该精选例题、练习题，透析题目背后所蕴含的数学原理和数学思想方法，做到举一反三. 对一题多解、一题多变、多题一解的题目更应该抓住本质. 多重视解法策略背后的分析，多思考解题逻辑上的前因后果，多注重通性通法的迁移. 由此，学生的数学思维与解题能力定能得到有效提升、拓展和深化.

3. 树习惯，善反思，提素养

细节决定成败. 在解题过程中要养成良好的审题、解题、书写等习惯. 在复习备考中，注重书写规范和找准关键点解题，重视整理解答题中的关键步骤和思路，呈现出整体的思维过程，可以减少不必要的失误. 同时，要善于总结，用笔记本收集、整理易错题和好题，对经典题目、重要方法、重要思想进行分类整理. 经历再思考和不断反思的过程，不仅可以为攻克难题、寻找思路提供方向，还能将学习思维提升到更高层次，如将三角形中周长的最值问题、面积的最值问题、边角互化问题等进行归类整理.

四、典型模拟题

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［3］陆萍，王剑. 重视逻辑推理  关注全局变化：2022年高考“三角函数与解三角形”专题解题分析［J］. 中国数学教育（高中版），2022（7 / 8）：41-57.

［4］薛红霞，张士彩. 回归“四基”提升能力  化简转化拨云见日：2022年高考“三角函数与解三角形”专题命题分析［J］. 中国数学教育（高中版），2022（9）：32-41.

［5］廖伟君. 基于思维视角的高考数学复习备考［J］. 中国数学教育（高中版），2023（1 / 2）：75-83.

作者简介：杨永健（1967— ），男，中学高级教师，重庆市特级教师，主要从事中学数学教育教学与管理研究；

夏林林（1987— ），女，中学一级教师，主要从事中学数学教育教学研究；

张晓斌（1964— ），男，二级研究员，重庆市特级教师，重庆市政府学术技术带头人，第五届苏步青数学教育奖获得者，主要从事中学数学教育和教学评价研究.