前后一致 逻辑连贯：“数据的分析”单元设计

岳绍杰 于彬 王凤欣 蒋立国

［摘  要］ 文章以“数据的分析”一章为例，在“内容及其解析、教学目标及其解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析”的基础上给出单元整体设计，并指出：单元整体设计应该体现知识的系统性和连贯性，突出逻辑连贯和前后一致，因此教学中教师应力求将所学内容统一在具体情境中，引导学生经历数据的收集、整理、分析、判断和选择整个过程.

［关键词］ 概率与统计；数据分析；数据观念；平均数；方差

数学教育承载着立德树人根本任务、实施素质教育的功能. 义务教育数学课程应使学生通过数学学习，形成和发展面向未来社会和个人所需的核心素养. 核心素养是在学习过程中逐渐形成和发展的. 对单元内容进行分析、整合、重组，形成相对完整的教学结构单元，开展单元教学，可以体现整体性、连贯性、结构性、递进性，有助于提高教学效率［1］.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称《课标2022》）将义务教育阶段的数学内容分为四个领域，分别是数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践［2］. 其中，统计与概率领域由统计和概率两部分组成，统计是概率学习的基础，概率是统计学习的延伸，统计部分主要由数据的收集、整理、分析、表达等几部分内容构成，概率则由初步认识和进一步认识两部分内容构成.

《课标2022》对义务教育阶段的数学核心素养进行了系统阐述. 与“统计与概率”领域对应的核心素养是数据观念，主要是指对数据的意义和随机性有比较清晰的认识. 本环节内容的学习是小学阶段数据意识素养的延伸，更为高中阶段数据分析素养的达成奠定坚实的基础.

以鲁教版教材为例，数据的收集和整理位于六年级下册，数据的分析位于八年级上册，在主体内容学习过程中渗透数据的描述，以及利用各种统计图表刻画数据，进而展现在图表观察和精准计算的基础上做出判断的数据观念形成的完整过程，侧重于对数据意义的理解，而对随机性的认识则在概率的学习过程中渐次形成.

教材整体结构如图1所示.

内容及其解析

1. 内容

“数据的分析”是鲁教版教材八年级上册第三章的教学内容，主要由平均数（2课时）、中位数与众数（1课时）、从统计图分析数据的集中趋势（1课时）、数据的离散程度（2课时）、回顾与思考（1课时）构成，共计5节7课时.

2. 内容解析

“数据的分析”是数据收集和整理过程的延续，是后续做出判断和对数据进行表达的关键环节，更是数据观念形成的重中之重. 教学中教师务必引导学生经历数据的收集、整理、分析和表达的整个过程，为数据观念核心素养的培育贡献一分力量.

第一节“平均数”由两个课时构成，第1课时通过具體的例子，使学生在小学阶段平均数认识的基础上，初步感知学习加权平均数的必要性；第2课时，通过具体的实例进一步感受加权平均数在现实生活中应用的广泛性，同时感受“权”对数据分析（做出判断）的重要影响.

第二节是“中位数与众数”，这节课在第一节初步感受刻画数据集中趋势（平均数）的基础上，通过实例进一步感受中位数和众数在描述数据集中趋势过程中所发挥的重要作用. 同时，结合具体实例感受三个统计量的典型特点.

第三节“从统计图分析数据的集中趋势”是前两节内容的延续，前两节内容重在通过精准计算得到数据的平均数、中位数和众数来判断数据的集中趋势，本课时则是在观察各种统计图表的基础上，结合三个统计量的典型特点，进而做出判断，体现了数形结合的重要思想.

第四节“数据的离散程度”有两个课时，本节内容融统计图观察和数据精准计算于一体，在观察中发现刻画数据离散程度的统计量，在计算中感受极差、方差和标准差的合理性，进一步完善学生数据分析的知识储备和相关能力，为后续准确表达数据、做出判断奠定基础.

第五节是“回顾与思考”，这里以问题串的形式帮助学生构建整章的知识体系，绘制知识网或知识树，引导学生将本章内容纳入原有知识体系，形成完整的数据收集、整理、分析和表达的过程，从而很好地培育学生的数据观念素养.

本章内容整体结构如图2所示.

数形结合是本章渗透的一个重要数学思想. 学生首先通过观察统计图表初步感受数据的集中和离散趋势；然后通过具体的数据，结合具体的公式，获得相应统计量的准确数值；最后将观察获得的结论和计算获得的结论进行比较，感受“数缺形时少直观，形少数时难入微”的精妙所在. 所以本章知识是渗透数形结合思想的良好载体，教师教学时应引起足够的重视.

本章需要学生在对纷繁复杂的数据收集和整理的基础上进行分析，进而做出判断，这对培育学生理性精神和严谨态度起着重要的作用. 为此，教学中需要教师提供真实的情境和数据，引导学生经历知识发生和发展的整个过程，引导学生在分析问题和解决问题的基础上提出问题和发现问题，从而实现“两能”到“四能”的重大突破.

通过上述分析可将本章的教学重点确定为：

在问题解决过程中感受平均数（算术平均数和加权平均数）、中位数、众数、极差、方差、标准差等统计量对数据集中趋势和波动程度的刻画，并掌握各种统计量的典型特点.

教学目标及其解析

《课标2022》对本章的要求如下：理解平均数、中位数、众数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，知道它们是对数据集中趋势的描述. 体会刻画数据离散程度的意义，会计算一组简单数据的离差平方和、方差. 与《义务教育数学课程标准（2011年版）》相比，增加了对中位数和众数意义的理解；增加了计算一组数据的离差平方和，这些变化可以感受到《课标2022》对本章内容提出了更高的要求，以适应大数据时代对学生提出的更高要求.

1. 单元目标

通过上述分析，可确定本单元的教学目标为：

（1）结合具体情境，在前期数据收集和整理的基础上，经历数据分析的全过程.

（2）在问题解决过程中感受平均数（算术平均数和加权平均数）、中位数、众数、极差、方差、标准差等统计量对数据集中趋势和波动程度的刻画，并掌握各种统计量的典型特点，初步体会它们在不同情境中的应用；知道权的差异对平均数的影响，能用加权平均数解释现实生活中一些简单的现象.

（3）结合条形统计图、扇形统计图、折线统计图等各种统计图表直观感受各种统计量对数据集中趋势和波动程度的描述，体会其合理性和必要性.

2. 目标解析

教学目标（1）达成的标志是：学生借助教师提供的具体情境，以自主探究和小组合作的形式对数据进行分析，并能对现实生活中的具体例子进行解释，初步实现“三会”（会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界）.

教学目标（2）达成的标志是：在数据收集和整理的基础上，会计算一组数据的平均数、众数、中位数、极差、方差和标准差；并能用计算（分析）获得的数据解释现实生活中的实际问题，进一步感受“数学来源于生活，又服务于生活”.

教学目标（3）达成的标志是：感受数学思维的严谨性，在问题解决过程中将数据计算和图表观察相结合，进一步体会各种统计量的典型特点，并在实际问题的解决中可以灵活选择相关统计量.

教学问题诊断分析

1. 学生已有基础分析

在信息技术不断发展的社会，特别是大数据时代的来临，时刻要求我们要在纷繁复杂的数据中获取有用的信息，进而做出合理的判断与选择. 在学生的生活和整个学习过程中，数据的分析贯穿始终，高中阶段更是将数据分析作为六大核心素养之一，可见数据的分析对学生生活和学习来说非常重要.

学生在1-5年级已经经历了“简单数据统计过程”（《课标2022》将其改为：数据的收集、整理与表达，是对“数据分类”的进一步学习），对本章所学内容已经有了简单的认识；进入六年级，学生经历了更为完整的数据收集过程，并对数据进行了初步的整理，能用适当的图表反映数据信息.

结合《课标2022》，与数据的分析有关内容的比较如表1所示.

通过上面的分析可以看出，学生经过第二学段和第三学段的学习，对数据的收集、整理、分析和表达已经有了初步的认识，同时对各种统计图表也有了初步的了解，这就为第四学段相关内容的进一步学习奠定了坚实的基础.

2. 学生基础与目标的差距

学生虽然在小学阶段掌握了数据分析的简单方法，进入初中则对相关内容提出了更高的要求，学生在学习过程中实际情况可能与预期目标存在差距，所以需要“具体问题具体分析”. 学生基础与目标差距的比较如表2所示.

3. 教学难点

通过上述分析，可确定本章的教学难点是：

在真实情景中，在具体问题中，在复杂数据中，切实感受各种统计量对数据分析的刻画，以及各种统计图表对各种统计量的描述.

教学支持条件分析

由于学生处于大数据时代，每天都面临着对纷繁复杂的数据做出判断和选择，只是身在其中，没有察觉. 为此，教学中教师应该为学生呈现多样的情境，让学生在真实、具体的情境中，经历数据分析的完整过程. 笔者认为，应提倡布置前置作业，引导学生在课前以小组或个人的形式对数据进行收集和整理，课堂中再进行数据分析，随后根据分析结果做出判断和选择. 基于此，教师还应该为学生提供长作业，引导他们结合现实生活中的真实情境和实际需要开展项目式学习和综合实践活动.

由于数据纷繁复杂，所以教学中教师可在计算方面为学生提供支持，比如提供计算器，引导学生采用计算器的统计功能方便求出一组数据的平均数和方差；甚至在教学中可以尝试用计算机等现代化手段进行数据的处理和分析. 特别地，在实际教学中，教师还可以对EXCEL表格的计算功能进行简单介绍，引导学生感受相关软件为数据处理带来的方便，以激发学生的学习兴趣.

单元整体设计

为了更好地进行单元整体设计，体现知识的系统性和连贯性，突出逻辑连贯和前后一致，下面以鲁教版教材为蓝本，借鉴人教版教材部分处理方式，在教材比较的基础上给出单元整体设计，为此对这两个版本教材相关内容进行比较，详见表3.

通过上述比较可以看出，两个版本教材在内容设置和问题处理上方式基本一致，都是通过具体情境引导学生感受数据的集中趋势和数据的波动程度，将数据计算和图表观察统一起来，引导学生感受统计图表的直观性和数据计算的严谨性. 基于此，本章教学力求将所学内容统一在具体情境中，引导学生经历数据的收集、整理、分析、判断和选择的整个过程，简单思路如下.

（1）给出某一具体情境，引导学生自主发现问题和提出问题，确定调查方向，设计调查问卷等，为数据收集提供基础（前置作业，课前完成）.

（2）对收集的数据进行整理，可以是在小学阶段学习的简单统计表格，也可以是进入初中后学习的条形统计图、扇形统计图、折线统计图等（前置作业，课前完成）.

（3）引导学生在观察图表的基础上做出初步判断，并提出问题“如何让判断更加精准（或谁更好，谁更稳定等）”，从而引出统计量学习的必要性（通过具体情境的分析，给出相关“问题串”的解答，并沿用相同的背景. 为此，在课后作业设计中同样采用一條主线，围绕本节课所学，以及下节课将要学习的内容进行呈现，作业设计中同样体现“前后一致和逻辑连贯”）.

（4）在实际问题解决过程中感受统计量提出的合理性，经历探索过程，通过“为何引入加权平均数？方差公式是如何得到的”等大问题开展具体教学.

（5）再次回归统计图表，能够通过统计图表去计算各种统计量.

（6）做出判断和选择，并不断提出改进措施，完善相应方案，进一步为决策提供数据支持（长作业，贯穿本章学习的整个过程）.

在此基础上，重新划分课时，共计6个课时，如表4所示.

上述单元设计体现了内容的一致性和连贯性，符合单元设计的基本理念，欢迎更多的一线教师参与进来，给出更多合理、有效的设计，为初中数学教学贡献一分自己的力量.

参考文献：

［1］章建跃. 课堂教学要注重数学的整体性［J］. 中小学数学（高中版），2013（05）：66.

［2］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.