基于网络画板的有效教学课例分析

蒋余希　李明树

【摘 要】 为突破几何图形分点问题的探究教学中，折纸数学实验的现实操作和尺规作图的工具特征所具有的局限性，合理利用网络画板为课堂赋能.通过网络画板演示线段N等分点、圆内接正N边形迭代、圆内接黄金矩形展开构造等操作，展现分点问题中的精准作图和极限思想，实现直线型和曲线型分点问题的初步探索，帮助学生找到一条值得推广的研究思路.

【关键词】 分點问题；网络画板；有效教学；数学实验；尺规作图

1 缘起

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：促进信息技术与数学课程的融合，合理利用现代信息技术，提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，促进数学教学方式方法的变革^[1].由数学内部出发，探究几何图形分“点”问题，从直线型分点问题（以线段为例）；到曲线型分点问题（以圆为例）.通过数学实验和尺规作图进行探究时，纸张大小和作图工具的限制，导致分点问题难以深入.因此，借助网络画板实现图形变换可视化，推动深层目标的达成，使学生综合运用已有知识及思维经验，经历“实验操作—尺规作图—逻辑推理—类比迁移—特殊极限—巩固应用”的完整过程，促进问题意识、应用意识和创新意识的发展，实现育人方式变革与数学素养涵育.

2 教学案例

2.1 操作·初探

师：最爱几何的人柏拉图在学园门口写了什么？

生：“不懂几何者，不得入内.”

师：可见几何的魅力之大，本课一起探索几何图形中的分点问题.先考虑直线型，以线段?AB为例，你能找到线段上哪些特殊点？

设计意图 用数学文化引发学生学习兴趣.

活动一：中点

师：如何作出线段?AB的中点？

生：用尺量.

度量的精度会随着工具而改变，所以只能估测.

生：用丝带折.

当两端重合时剩余部分也完全重合，但动手操作需有依据.

生：用尺规作图.以A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，连接交点C，D，CD与AB的交点即为中点.

师尺规教具演示如图1.

追问：为什么要“大于12AB”？

生：保证有两个交点.

师：思路很清晰.其他同学能说出这样作图的依据吗？

生：（法1）利用全等和等腰三角形三线合一可证.（法2）同半径画弧得CA=CB，DA=DB，所以点C，D在线段AB的中垂线上，即CD是AB的中垂线.（法3）菱形对角线互相垂直平分.

师：很棒！重复此操作，还能类似地找到哪些线段的特殊点？

生：四等分点，八等分点，十六等分点，……，2ⁿ等分点.

设计意图 从学生熟悉的线段中点问题开启，动手操作、严谨说理到尺规作图、建模推理.重复操作，由特殊到一般，初步找到一条探索分点问题的综合性、实践性途径.

2.2 类比·深化

活动二：三等分点

师：还能找到线段的其他特殊点吗？小组交流合作.

生：通过折纸构造三等分点.如图2，将一张纸对折两次得三条折痕l₁，l₂，l₃，翻折使点B落在折痕l₃上，则AB′与折痕l₁，l₂的交点M，N即为AB′的三等分点.

师演示折纸过程并引导学生阐述依据.

师尺规教具演示并标注推理过程.

设计意图 解释折纸实验步骤及操作前后图形的关系，探讨几何图形存在性和结构特征.用尺规作基本图形，感悟其合理性和几何特征，逐步过渡到演绎推理，有效培养思维品质.

师：易加学院数学学堂里布置了前学任务“用尺规作图找线段的三等分点”.老师用网络画板整理了部分同学的成果，请认领并分享你的思路.

设计意图 利用园区互动教育平台收集与分享，影响面更大，区域内的学生能分享研究成果，课前进行讨论、引发思考.

生：（法1）如图4，利用⊙B构造△ACD重心.（法2）如图5，利用⊙A和菱形性质构造△BCD重心.（法3）如图6，利用△ACF∽△BEF.

网络画板能节省课堂时间，分步呈现作图思路，强化学生对逻辑推理的阐述.

师：在三等分点的基础上还能类似地找到哪些线段的特殊点？

生：六等分点，十二等分点，……，3×2ⁿ等分点.

设计意图 尺规作图是理解几何对象，启发几何证明的重要工具^[2].利用网络画板动态演示提高课堂效率，增强互动性和展示性，促进有效教学.

活动三：N等分点

师：将上述方法推广，还能找到哪些特殊点？请同学来说说想法.

生：推广折纸实验，若在三等分点的基础上取半得6条折痕，将直角顶点翻折到第6条折痕上，线段AB′与前5条折痕的交点即为线段的五等分点.

师：还有补充吗？

生：理论上如图7，将线段N+1等分会产生N条折痕，直角翻折到第N条折痕上，AB′与前N条折痕的交点即为线段的N等分点.

生：理论上利用尺规作图和平行线等分原理也能构造出线段的N等分点.

师：大家的数学思维都很严谨.那理论上找线段N等分点的方法大家觉得可行吗？

生：不可行.

受限于纸张大小和工具的精度.借助网络画板向学生展示线段N等分点的作法，如图8，9.

师：信息技术的力量强大吗？生感叹：厉害！

用网络画板辅助教学克服现有工具的弊端，一定范围内能实现反复迭代且更为精准.

设计意图 如数学中一切的发生都源自实际需要，学生自然在推广过程中感受纸张大小和作图工具的限制无法支持多次操作，使得探究分点问题必须引入信息技术来促进有效教学.

2.3 巩固·延伸

活动四：特殊点

师：在生活生产中不仅等分点具有价值，还有大家熟悉的特殊点吗？

生：黄金分割点、白银分割点.

师：请根据定义，利用素材进行尝试.

生：

用正方形紙片折黄金分割点，如图10.对折正方形纸片，折痕与AB交于点E.翻折使点C落在DE上，则折痕与BC的交点F即为线段BC的黄金分割点.

师：网络画板动态展示折纸过程并请学生说出依据.

生：（法1）Rt△FEG和Rt△FBE建立勾股定理方程组.（法2）延长DF交AB延长线于点H，用△DCF∽△HBF可证.

师：还有别的想法吗？

生：尺规作图如图11，关键在于构造黄金比中的√?5，联想到勾股定理.设AB=2，作线段AB的中点C，再过点B的垂线上截取BD=BC=1.连接AD则AD=√?5.以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，则DE=BD=1，AE=√?5-1.再以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点F，则点F即为AB的黄金分割点.以B圆心，AF长为半径画弧与AB的交点即为另一个黄金分割点G.

师：尺规教具演示并标注相关量.

师：有理有据.在解决几何问题时要找到敲开问题的关键.

师：类似地构造线段的白银分割点，网络画板的演示如图12，请大家课后实践.

设计意图 本模块与前面有唇齿相依的联系以及“源”与“流”层面的区别.联系是线段等分问题的思维延续，又是后续曲线型问题的猜想依托；区别是实现由特殊到一般的归纳、加工与提炼，达成经历问题解决积淀活动经验的目标，进而提升数学思维的进阶.

2.4 拓展·再识

师：类比探究曲线型的分点问题，以圆为例，能找到圆上哪些特殊点？

活动五：圆的等分点

生：对折，任意一条直径所在直线与圆周交点即为二等分点，对折两次得四等分点，以此类推.

生：作角平分线.

生：尺规作图如图13，构造六等分点，间隔取点得三等分点.

师：大家的思路都很开阔，那有没有不能等分的情况呢？小组交流讨论.

生：能等分圆心角就能找到圆的等分点，但尺规作图和折纸实验的精度有限，都不能任意等分圆心角.

师：大家有什么想法吗？生齐答：网络画板.

活动六：圆的

N等分点

师：看来信息技术提供了探索数学的新途径.

如图14，将圆心角任意等分构造圆内接正N边形，圆上的点即为N等分点.如图15，16，通过将半径这条线段等分，也能近似找到圆的N等分点.

师：虽然信息技术也无法将操作无限次地进行下去，但某种意义上拓宽了数学研究范畴.

设计意图 凭感觉尺规作图未必能提供理论依据；不成熟的折纸操作未必能解释合理性.但从线段到圆的探究，使理性思维不断生长，一些天然留白能延伸学生思维的时空.

2.5 应用·思考

活动七：圆的特殊点

师：分析问题、解决问题很重要，但发现问题、提出问题同样重要，还能研究什么呢？

生：仿照线段研究圆的内接黄金矩形.

师：大家觉得这个问题怎么样？生齐答：好！小组讨论.

生：圆是曲线比较困难，但把圆周拉直，线段的黄金分割点很容易.

网络画板如图17将圆周展开，如图18，用尺规作图的原理作出拉直后圆周的黄金分割点，如图19，拖动圆心将圆周绕回，当与线段黄金分割点重合时，近似得到圆内接黄金矩形.

师：圆内接白银矩形的探索留做课后学习资源.

设计意图 在变式视角下，经历问题的细化—分离—变换，从而达成问题的生长解决、提炼解释、再次解决，实质性地获取探究分点问题的方法经验，提升内在意识和数学素养.

2.6 小结·展望

分享数学家高斯用尺规作图作圆的十七等分点的python语言作图视频.

师：本节课有什么收获和疑惑？

生：尺规作图和折纸实验都要需要逻辑推理来支撑.

生：从纸笔到工具再到网络画板，研究数学的方式不断变革，研究的壁垒不断突破，在挑战未知极限时感受到数学的魅力.

设计意图 几何图形分点问题的探究过程的关键：活动必须是一个过程且是一个缓慢的过程，需要耗时耗力和足够的期待^[3]，“慢”让学生学得踏实，学得实在.

2.7 板书设计

3 教学感悟

3.1 信息技术是促进有效教学的必然选择

利用可视化软件网络画板完成线段

N等分点、圆内接正N

边形迭代、圆内接黄金矩形展开构造等操作，这样的精准作图和极限思想，是传统的黑板粉笔、直尺圆规难以呈现的.用动态几何软件除了便捷的作图方式和强大的变换功能外，还能提供高度的互动性，课中将图形作图的过程分步骤解析，按照所需目标和想法操作几何对象，引导学生进行推导证明.节约几何作图时间，更能推进对几何性质的猜想、讨论、证明的深入学习，培养学生的几何直观.同时，加深学生对几何图形及其创生规律的理解，为学习几何概念和结构创造环境.

3.2 有效教学是信息技术融合的应然追求

信息技术的教学融合应对各个环节起优化作用^[4]，把学习空间还给学生，有效地促进学生自主学习，主动发展，培养创新能力.通过网络画板动态演示折纸实验和尺规作图，让学生把握图形的运动变化规律，经历将问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程.信息技术融入教学能激活数学教学，化静态为动态，化抽象为具体，化被动学习为主动学习，真正达到教学过程的最优化.学生在学习过程中不再是单点的知识发展，而是知识、能力和经验的面状发展，在积累知识和数学活动经验的同时，有效提升数学思维和数学素养，突破几何学习的抽象壁垒.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：57-60.

[2]李正辉.有趣的尺规作图：求作给定线段的三等分点[J].上海中学数学，2020（Z2）：50-52.

[3]朱桂凤，孙朝仁.数学综合实践课的设计与思考[J].中学数学，2020（06）：23-25.

[4]邱廷建.浅谈信息技术与数学教学的有效融合[J].小学教学研究，2016（01）：15-18.

作者简介 蒋余希（1996—），女，江苏苏州人，中学二级教师，李明树（初中数学）名师工作坊成员.

李明树（1977—），男，江苏苏州人，中学高级教师，苏州工业园区初中数学兼职教研员，李明树（初中数学）名师工作坊主持人;荣获苏州市教学成果奖二等奖，主持或参与各级规划（重点）课题14项；发表文章近40篇，其中3篇被中国人民大学《复印报刊资料·初中数学教与学》全文转载.