对初中代数推理教学策略的思考

吕小兵 叶琳

【摘 要】 《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出要加强代数推理教学．为了促进代数推理的教学实践，需要在教学策略层面上作进一步探讨．首先分析了代数推理的教学策略的制定依据，指出教学目标是决定性因素，代数的内容结构和学生的认知结构是影响教学策略制定的重要变量．在充分重视学生智力因素和非智力因素的基础上，提出了与代数推理教学息息相关的教学策略，如基于认知进阶的教材加工策略、提升代数推理水平的命题教学策略、基于学生错误资源利用的习题教学策略等．经过策略整合的代数推理教学，能减少教师教学实践的盲目性，从而实现更高的学习效益．

【关键词】 教学策略；代数推理；推理能力；认知心理学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标2022》在课程内容初中部分中新增了“了解代数推理”，为一线教学提供了新的指引．当前，教师对加强代数推理的理解存在两类误区，一是失之偏颇，热衷于搞代数的题型分类，见题不见人，离不开应试的窠臼；二是失之空泛，在代数推理“本体论”中打转，逐末于“解方程是不是代数推理”之类的问题，这些均不利于具体教学的改进．推理是数学的本质属性，也是学生核心素养的重要表现，其重要性是不言而喻的．可以说，一线教师并不缺少要加强代数推理的教学观念，缺的是相应的教学策略，以及在教学策略指导下的具体教学方法．笔者对初中代数推理教学策略的制定进行了初步探索，以期抛砖引玉．

1 初中代数推理教学策略的制定依据

教学策略是教学设计的有机组成部分，是在特定教學情境中为实现教学目标和适应学生学习需要而采取的教学行为方式或教学活动方式^[1]．教学策略的制定受到教学目标、学习者的初始状态、教师自身的特征以及教学环节与情境的制约．其中，教学目标是教学策略制定的决定性因素．根据《课标2022》中对推理素养表现的表述，可以将代数推理的教学目标分为三个子目标（如表1）．

代数推理能力的培养具有长期性，并通过日常代数学习得以阶段性实现．由于知识生长本身蕴含着推理，而学生的认知水平又决定了知识如何生长，因此学界关注的焦点渐渐落在代数的内容结构和学生的认知结构上．例如，文[2]分析了整个初中代数的内容结构，提出在代数的概念、法则、运算律、公式以及通过代数运算解决问题等各个教学环节，都可以是发展代数推理能力的着力点．文[3]基于《课标2022》中强调的核心素养具有整体性、一致性和阶段性的特征，建构了学生代数推理能力“两层五级”的认知进阶发展模型．两层分别是意识层和能力层，五级具体指具体化算术、结构化算术、符号化概括、形式化建构、一般化推广，并在该认知模型基础上给出一定的教学建议．但是，仅仅从外在和内在两种结构来考虑教学策略仍是过度简单化的，正如奥苏贝尔对“建构主义”者所批评的那样，他们“在某种程度上忽视了以下因素所带来的消极影响——错误相关、错误观念、主观偏见、学习的动机取向、认知风格，以及个性特征等，所有这些因素都会莫名地参与到建构过程”^[4]．可见，代数推理教学策略的制定是一个综合考虑的过程．

2 初中代数推理教学策略的制定与选择

教学策略既是观念驱动的，也是实践操作的，基于不同的角度可以制定不同的教学策略．例如，加涅根据改进教学效果的途径将教学策略分为管理策略和指导策略．张大均根据教学过程的环节，将教学策略分为教学准备策略、教学实施策略和教学监控策略．从加强代数推理教学的角度看，以下几种教学策略或许是重要的．

2.1 基于认知进阶模型的教材加工策略

荷兰著名数学家弗兰登塔尔曾说：“从来没有一种数学的思想会像当初被发现时那样付诸文字，一旦问题解决了，思考的程序便颠倒过来，把火热的思考变成冰冷的美丽”．基于认知进阶模型的教材加工就是要把教材文字中隐藏的思维活动过程还原成学生的火热思考．结合“两层五级”认知模型可制定相应的教材加工策略，如普遍性示例策略、归纳策略、演绎策略、意义引申策略等，如表2．

基于认知进阶模型的教材加工策略，可以有效指导教师对教材的处理，纠正教学中重演绎轻归纳的倾向．项武义教授指出：“归纳乃是整个代数学的基本大法和基本功．”因此，在初中阶段应特别重视归纳推理的价值，不能只教推理的“后半段”．

教学示例

文[5]中，教师执教苏科版七年级下册“完全平方公式”一课时设计了三个学习任务：

任务一 发现“完全平方公式”

计算下列各式：

（1）（x+y）（m-n）;（2）（a-b）（x-y）;（3）（m+1）（m+1）;（4）（a+3）²;（5）（2a+5）².

问题1：观察上面5个运算后的式子，式子的左边和右边分别有什么特点？

问题2：观察式子（3）（4）（5），有什么共同特征？

问题3：你能用一个一般化的式子表示这个特征吗？

任务二 证明“完全平方公式”

问题1：如何说明公式（a+b）²=a²+2ab+b²成立？

问题2：你能用文字语言表述完全平方公式吗？

问题3：结合多项式乘多项式乘法的学习经历，请用几何图形直观描述完全平方公式．

任务三 “完全平方公式”的深入研究

问题1：尝试用不同的方法探究公式（a+b）²（小组探究，并展示）；

问题2：用完全平方公式计算：（1）（5+3p）²;（2）（2x-7y）²;（3）（-2a-5）².

问题3：如何计算（a+b+c）²？

这三个任务以及为了完成任务而设计的问题链很好地对应了认知进阶模型下的教学策略（如图1），也体现了教师具有出色的教材加工策略．

2.2 提高代数推理水平的命题教学策略

史宁中教授提出：“数学推理就是得到数学命题或者验证数学命题的思维过程．”^[6]研究表明，推理能力较强的学习者头脑中拥有更完整的命题结构．因此，无论是通过发现命题来提高合情推理能力，还是通过验证命题提高演绎推理能力，命题学习都是提高学生推理水平的重要途径．制定提升代数推理水平的命题教学策略，着力点在帮助学生完善代数命题网络、推理规则、推理策略等，相应地有命题结构化策略、渐进形式化策略、上游命题库策略等．命题结构化策略指教师先整体分析初中“数与代数”领域重要命题（包括各类典型的性质命题和关系命题），通过命题教学使贮存在学生头脑中零散的命题之间具有逻辑意义和逻辑结构，为后续推理的顺利进行打下坚实基础．以“有理数”单元为例，可以借助语义网络模型建立如图2所示的命题网络．

3结语

教学策略是将教学观念转化为教学行为的桥梁，它是中观层面的教学思考，对提高教学质量起到支撑作用．因此，要准确把握《课标2022》中“强调代数推理”的内涵，制定和选择合理的代数推理的教学策略．对初中代数推理教学策略的深入研究，有助于联结理论与实践，提升教师实践经验，形成解决问题的模型，这对其它教学内容教学策略的研究也具有參考价值．

参考文献

[1]张大均.教育心理学[M].3版.北京：人民教育出版社，2015：314.

[2]江守福，章飞，顾继玲.初中代数学习中发展学生推理能力的着力点分析与建议[J].数学通报，2021，60（11）：21-24.

[3]吴立宝，刘颖超.从意识到能力：代数推理认知发展的进阶理路[J].课程·教材·教法，2023，43（04）：120-126.

[4] （美）戴维·保罗·奥苏贝尔.意义学习新论——获得与保持知识的认知观[M].毛伟，译.浙江：浙江教育出版社，2018.

[5]叶琳.加强初中代数推理教学的实践与思考——以“完全平方公式”为例[J].数学通报，2022，61（12）：22-25.

[6]史宁中.数学基本思想18讲 [M]. 北京：人民教育出版社，2016：116.

[7]陈永明.陈永明讲评数学题——初中习题归类研讨[M].上海：上海科技教育出版社，2022：90.

[8] 陈韦仰，温微纯.数学证明错误类型[J].数学传播，2022，46（04）：56-73.

[9]张大均.有效教与学的策略[M].北京：人民教育出版社，2011：77.

[10]黄秀旺.发展学生代数推理能力的教学建构与实施[J].中学数学教学参考，2022（20）：11-13.

作者简介 吕小兵（1981— ），男，江苏南通人，中学高级教师;主要从事初中数学教育研究工作;2012年获全国中小学优秀课展示一等奖.

叶琳（1982—），男，江苏泰兴人，中学高级教师，江苏省“333”高层次人才培养对象;江苏省五一劳动奖章获得者;2015年获江苏省高中数学评优课一等奖，2019年江苏省中小学青年教师教学竞赛特等奖;主要从事初中数学教育研究工作.