柯西不等式的特例——方差不等式的简单应用

刘大伟 李勇霞

(1.重庆市江津中学校 2.重庆市巴蜀科学城中学校)

在概率论和统计学中,随机变量的方差描述的是数据的离散程度,它能够反映数据波动情况的特征数与期望之间的关系,即该变量离其期望值的距离.同时,方差与不等式也有着密不可分的联系.本文利用方差公式推导出方差不等式,并将之应用于一类函数最值问题的求解过程中,拓宽了解题思路和方法,最后进一步阐述了两者之间的关系,提出了方差不等式为柯西不等式的特殊情况这一结论.方差的定义:

因为S2≥0,所 以,当x1＝x2＝…＝xn时,等号成立.

该不等式称为方差不等式,应用方差不等式可以快速求解一类函数最值问题.

1 方差不等式的简单应用

例1 求函数y＝x－1＋ 5－x的最大值.

解 由方差不等式可知

例2 求函数y＝x－1＋ 9－3x的最大值.

解 原函数可化简为

由方差不等式可知

易错点 对于本例,如果直接利用方差不等式会出现问题,即

再由其定义域{x|1≤x≤3},求得ymax＝2 3.

该解法错在两次不等式等号成立的条件是不同的,所以在运用方差不等式解题的过程中需要注意前提条件为定值.

2 方差不等式的应用总结

结合上面的两个例题,下面给出该类型函数一般形式的求解定理.

证明 原函数等价于

由方差不等式可知即

3 方差不等式的推广应用

若x1＋x2＋…＋xm＝m,则

若x1＋x2＋…＋xm＝a,则

4 方差不等式与柯西不等式的关系阐述

方差不等式是柯西不等式的特殊情况.

对于柯西不等式

当且仅当a1＝a2＝…＝an＝0或bi＝kai(k为常数,i＝1,2…,n)时,等号成立.

由方差不等式得

当x1＝x2＝…＝xn时,等号成立.

在教学过程中为培养学生的化归和转化能力,锻炼学生的发散思维能力,提高学生的数学素养,教师要有意识地培养学生用“跨界”知识解决问题的能力.

(完)