高中数学中探究“新问题”的策略
2023-11-11韩静波石丽娜
韩静波 石丽娜
(人大附中北京经济技术开发区学校)
数学学习的重要作用之一是引导学生学会思考,帮助学生积淀,形成数学思维模式.在高中阶段,这种数学思维模式主要表现为从特例入手、尝试性探索和归纳猜想一般规律或结论.本文将进一步探讨如何从特例入手、尝试性探索和归纳解决“新问题”的思路和方法,其中“新问题”是指学生感觉不熟悉、比较新颖、不容易找到解题突破口或难以形成解题思路的问题.
1 探究“新问题”的策略
合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用.在探究“新问题”时,若缺少观察、试验、归纳、类比、联想、猜测的思维过程,就不善于应用合情推理探索问题的规律.因此,下面探讨如何利用合情推理——归纳和类比,探究“新问题”.
1.1 归纳的应用策略
归纳是特殊到一般的推理,当我们遇到“新问题”时,可以通过观察研究一些特例,并总结特例蕴含的一般规律,猜测一般结论或总结解决此问题的一般方法,思维过程如图1所示.
图1
上述思维过程是从观察、试验、归纳反思,到再观察、再试验的循环往复过程,这是一个需要多次观察试验、逐步深化认识规律的过程,其具体策略如下.
1)从已知条件出发寻找特例,正向归纳规律
复杂、困难的问题其规律往往隐藏于一些特例之中,因此面对“新问题”,应该引导学生将已知条件特殊化,并从特殊的情况开始,逐个分析尝试总结规律,并根据总结的规律,进一步改进特例继续分析探究规律.笔者通过例1,总结选取特例及研究特例的策略.
例1 已知数列{an}满足,k∈N∗),[an]表示不超过an的最大整数(如[1.6]=1),记bn=[an],数列{bn}的前n项和为Tn.
(1)若数列{an}是公差为1的等差数列,求T4;
(2)若数列{an}是公比为k+1 的等比数列,求bn.
(1)T4=6(求解过程略).
(2)方法1 对k归纳
猜想:对任意的k≥2,k∈N∗,有
方法2 对n归纳
猜想:对任意的k≥2,k∈N∗,有
方法3 演绎推理
由例1可知,困难问题的解决往往在于解决好特殊、简单的特例,且特例的寻找不是随意的,而是建立在思考的基础上,是有策略的.一方面,开始寻找的特例应该是特殊的、简单的,即特例与已知条件联系紧密,容易寻找和研究,并且有时需要多个特例;另一方面,需要研究特例的简单性质,并在特例的性质中找到一般规律.
2)从结论出发假设、试验,反向归纳规律
逆向思维是一种很重要的推理方式,当解决问题遇到困难时,从反面思考往往能帮助我们取得突破,在进行归纳推理时也是如此,除了从已知条件寻找、分析特例,还可以从结论出发,合理假设、试验,反向归纳规律.下面笔者通过例2,总结反向归纳策略.
例2 某学校运动会的立定跳远和30s跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段,表1为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
表1
在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30s跳绳决赛的有6人,则( ).
A.2号学生进入30s跳绳决赛
B.5号学生进入30s跳绳决赛
C.8号学生进入30s跳绳决赛
D.9号学生进入30s跳绳决赛
由表1可知,进入立定跳远决赛的为1至8号学生,因为同时进入立定跳远决赛和30s跳绳决赛的有6人,所以1至8号学生中有6人进入跳绳决赛,即有2人被淘汰.
首先从已知条件出发找出特殊数据,即较低的几个30s跳绳成绩为60,63,a,a-1;其次从结论出发假设试验,对以上特殊数据进行尝试与推理.假设30s跳绳成绩为63的学生被淘汰,则30s跳绳成绩为60也一定被淘汰,因此被淘汰的学生至少有3人,这与“1至8 号学生中有6 人进入跳绳决赛”矛盾,所以30s跳绳成绩为63的学生(即1号和5号)进入跳绳决赛,故选B.
正难则反是一种重要的思维方式,从正反两方面全面分析问题也是良好的思维习惯,因此对“新问题”进行观察归纳时,学生除了从已知条件出发正向寻找、分析特例,还可以从结论出发假设、试验,从反面归纳规律.
1.2 类比的应用策略
类比是特殊到特殊的推理,当遇到“新问题”时,可以联想与“新问题”具有相似特征的“旧问题”(即已解决问题),然后迁移“旧方法”,即尝试用解决“旧问题”的方法解决“新问题”,思维过程如图2所示.
图2
由上可知联想“旧问题”与迁移“旧方法”,是做好类比的关键.下面笔者通过例3,总结联想“旧问题”与迁移“旧方法”的策略.
例3 6名学生在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两名学生之间最多交换一次,进行交换的两名学生互赠一份纪念品,已知6名学生之间共进行了13 次交换,则收到4 份纪念品的学生人数为( ).
A.1或3 B.1或4
C.2或3 D.2或4
记这6名学生为a,b,c,d,e,f.由“任意两名学生之间最多交换一次”联想到“任意两名学生之间交换一次”.
表2
“任意两名学生之间最多交换一次,共交换13次”与上述理想情况差了2次,有如下两种可能.
三人之间少交换2次,不妨设a与b,c各少交换一次,交换情况如表3所示.
表3
四人之间少交换2次,不妨设a与b,c与d各少交换一次,交换情况如表4所示.
表4
综上,收到4份纪念品的学生人数为2或4.
由“新问题”联想到“旧问题”,需要将“新问题”特殊化、理想化、简单化,即将问题转化为特殊且容易解决的问题.本题将“任意两名学生之间最多交换一次”类比为“任意两名学生之间交换一次”;另一方面,迁移“旧方法”需要找出“新”与“旧”的差异,处理好差异,问题也就随之解决.
2 策略的应用
例4 (2022年北京卷15)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an•Sn=9(n=1,2,…).给出下列四个结论:
①{an}的第2项小于3;
②{an}为等比数列;
③{an}为递减数列;
④{an}中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是_________.
题目有对“双基”的考查,但主要考查学生的思维,考查学生如何思考问题,考查学生的逻辑推理素养.
1)基于“双基”的初步信息加工
根据基础知识和基本方法对已知、未知条件进行初步的分析,具体思考如下.
a)因为数列{an}的各项均为正数,所以数列{Sn}是各项均为正数的递增数列;
b)因为an>0,Sn>0,an•Sn=9(n=1,2,…),所以an越大,Sn越小,an越小,Sn越大;
c)由an与Sn的关系
可将an•Sn=9(n=1,2,…)转化为通项的关系或转化为前n项和的关系.
由b)或c)都可以判断③是否正确,由b)可以建立对④的直观认识.
2)基于合情推理的进一步探究
对于an•Sn=9(n=1,2,…),依次令n=1,n=2,可求得a1,a2,由此可判断①正确.
对②和④进行假设、试验.
对于②,若通过计算an归纳验证其是否正确,计算量大,耗时多,易出错,因此从结论出发假设、试验,反向归纳规律.假设②成立,根据a22=a1a3,求出a3,验证其是否满足an•Sn=9(n=1,2,…),以此类推归纳规律.
对于④,直接归纳或证明都比较困难,因此从结论出发假设、试验,反向归纳规律.假设{an}中不存在小于的项,即(n=1,2,…),则可用反证法证明④的正确性.
由题意可知∀n∈N∗,an>0,所以∀n∈N∗,Sn+1>Sn>0.
综上,正确结论的序号是①③④.
例5 (2020年北京卷21)已知{an}是无穷数列,给出两个性质:
①对于{an}中任意两项ai,aj(i>j),在{an}中都存在一项am,使得
②对于{an}中任意项an(n≥3),在{an}中都存在两项ak,al(k>l),使得
(1)若an=n(n=1,2,…),判断数列{an}是否满足性质①,说明理由;
(2)若an=2n-1(n=1,2,…),判断数列{an}是否满足性质①和性质②,说明理由;
(3)若{an}是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:{an}为等比数列.
1)基于“双基”的初步信息加工
根据基础知识和基本方法对已知、未知条件进行初步分析,具体思考如下.
考虑aj,ai,am是否成等比数列,首先要考虑ai,am能否为0,由性质①可知{an}中任意一项都不为0,因此在上式中ai,am不为0;其次考虑aj,ai,am是否为三项,即m是否等于j或i;再次通过观察每一问的条件,发现前两问的具体数列都是递增正数列,所以,则m>i>j,第(3)问的条件“{an}是递增数列”和前两问是一致的,但能发现研究的一个重要问题就是“{an}各项的正负”,再结合第(3)问的结论“{an}为等比数列”可猜测数列{an}各项同时为正或同时为负(需要证明),无论哪种情况都可证出重要的结论:若,则ai>ai,所以m>i>j.
2)基于合情推理的进一步探究
a)对数列{an}的特殊化.
本题分层设问,逐层递进,前两问将{an}具体化,从某种意义上就是引导学生从特例中理解抽象的性质①和性质②,又由上述分析可以看出第(3)问的条件“{an}是递增数列”和前两问是一致的,因此也可由前两问的特殊数列发现第(3)问的一些规律,比如,若,则,所以
b)对性质①和性质②的特殊化.
下面验证k=5的情形.
通过对性质①和性质②的特殊化,以及(∗)和{an}是递增数列,我们发现,当a1>0,即数列{an}各项同为正时,a1,a2,a3成等比,若a1,a2,a3,…,ak成等比,性质②的作用是发现ak+1都是以a1,a2,a3为前三项的等比数列中的项,性质①的作用是发现
上面通过归纳、类比、探究得出规律,接下来只需将规律用符号严格地表示出来.另外,问题还有一个难点需要解决,就是要证明数列{an}各项同时为正或同时为负,即当a1<0,数列{an}各项均为负.此处对逻辑推理能力要求较高,而且考查创造性,可用反证法证明:假设am是一个为正的项,则m≥2且{an}只有前m-1 项为负数,由性质①可构造,这m项不同的负数,都是{an}中的项,这就与{an}只有前m-1项为负数矛盾.
假设存在n∈N∗,使bn≠an,记
当a1<0时,下证an<0(n=1,2,…).
假设存在n∈N∗,使an>0,记
则n1≥2,且an<0(n=1,2,…,n1-1),因为{an}是递增数列,所以当n≥n1时,an>0,当n<n1时,an<0.
综上,{an}为等比数列.
题目情境新颖,求解时模式化地照搬、套用公式作用不大,只有经历观察、尝试、归纳、类比、联想、猜测等思维过程,才能找到解题突破口,这也是处理复杂、困难、陌生问题的正确思考方式,笔者认为题目的设计意图也是考查学生是否会思考、探究新问题.
3 小结
在探究“新问题”时,要有敢于尝试的勇气,要有良好的思维习惯,要会思考,即从特例入手、尝试性探索、归纳和猜想一般规律或结论,更要在平时的学习中深刻理解知识方法的本质,不断提升能力和素养.因此,在数学学习的过程中,要注重知识的形成过程,因为知识的形成过程蕴含着数学的思维方法,体现了如何思考数学问题;其次,要注重总结如何思考问题,对于每一个问题要做好总结反思,努力做到“知其然,知其所以然,知其所以必然”;最后,还要培养敢于尝试的勇气,研究“新问题”时需要大胆尝试,从特例中寻找、总结规律是必须的,也是我们解决任何困难问题需要具备的品质.
(完)